Rechtwinklige Dreiecke und der Satz des Pythagoras

Ein Dreieck, bei dem ein Winkel $90^\circ$ beträgt, wird als rechtwinkliges Dreieck bezeichnet. Winkel von $90^\circ$ werden auch als rechte Winkel bezeichnet.

In der folgenden Abbildung bezeichnen wir die anderen beiden Winkel als $\alpha$ und $\beta$ (griechische Buchstaben für $a$ und $b$ ). Die Seitenlängen sind $a$ , $b$ und $c$ .

Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt Folgendes:

Es kann keinen zweiten Winkel von $90^\circ$ haben (versuche einfach, eines mit zwei $90^\circ$ zu zeichnen, wird nicht gehen ...).
Es hat immer eine Seite, die länger ist als die anderen beiden Seiten, und diese Seite ist gegenüber dem rechten Winkel (wiederum, zeichne ein paar rechtwinklige Dreiecke um dies zu sehen). Diese längste Seite wird mit Hypotenuse bezeichnet.
Die Summe der beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ ergibt $90^\circ$ : $\alpha+\beta=90^\circ$ wobei $\alpha$ und $\beta$ die anderen beiden Innenwinkel sind, die von $90^\circ$ verschieden sind. Dies folgt daraus, dass in jedem Dreieck die Summe seiner Innenwinkel immer $180^\circ$ beträgt.
Sowohl $\alpha$ als auch $\beta$ liegen im Intervall $]0^\circ,90^\circ[$

Der Satz des Pythagoras

Eine der wichtigsten Eigenschaften von rechtwinkligen Dreiecken wird als Satz des Pythagoras bezeichnet:

Theorem 1

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seitenlängen gleich dem Quadrat der längsten Seitenlänge:

a^2+b^2=c^2

Klicke rechts, um einen von vielen Beweisen zu sehen.

Proof

Es gibt viele Beweise, hier ist einer: Betrachte das grosse Quadrat unten - es wird erhalten, indem das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten $a$ , $b$ und $c$ viermal kopiert und dabei jedes Mal um $90^\circ$ gedreht wird.

Die Fläche des grossen Quadrats beträgt $c^2$ , aber das gilt auch für die Summe der vier Dreiecke ( $4\cdot \frac{ab}{2}$ ) plus die Fläche des kleinen Quadrats in der Mitte ( $(a-b)^2$ ). Somit haben wir

\begin{array}{lll} c^2 & = &4\cdot \frac{ab}{2}+(a-b)^2\\ & = & 2ab+a^2-2ab+b^2\\ & = & a^2+b^2\end{array}

Exercise 1

Bestimme die fehlende Seitenlänge:

Solution

Bezeichne die fehlende Seitenlänge mit $x$ .

$10^2=8^2+x^2 \rightarrow x^2=10^2-8^2=36 \rightarrow x=\underline{6}$
$15^2=2^2+x^2 \rightarrow x^2=15^2-2^2=221 \rightarrow x= \underline{14.86...}$

Exercise 2

Bestimme $x$ :

Solution

$u=\sqrt{17^2-8^2}=15, x=\sqrt{20^2+15^2}=\underline{25}$
$u=\sqrt{65^2-25^2}=60, x=\sqrt{60^2+11^2}=\underline{61}$
$x=\sqrt{(3.5-2.6)^2+2.4^2}=\underline{2.563}$
$u=\sqrt{8^2+7^2}=\sqrt{113}, x=\sqrt{12^2-(\sqrt{113})^2}=\sqrt{31}=\underline{5.568}$

Exercise 3

Bestimme (siehe Bild unten):

die Höhe $h$ und die Fläche des gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge $s=5$ .
die Höhe $h$ und die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks mit den Seitenlängen $a=5$ und $b=7$ .
die Diagonale $d$ und die Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen $a=4$ und $b=6$ .
die Diagonale $d$ und das Volumen des Quaders mit den Seitenlängen $a=5$ , $b=4$ und $c=3$ .

Solution

$5^2=h^2+2.5^2 \rightarrow h^2=5^2-2.5^2=18.75 \rightarrow h=\underline{4.33...}$ Fläche $A=\frac{5\cdot 4.33...}{2}=\underline{10.82...}$
$7^2=h^2+2.5^2 \rightarrow h^2=7^2-2.5^2=42.75 \rightarrow h=\underline{6.53... }$ Fläche $A=\frac{5\cdot 6.53...}{2}=\underline{16.34...}$
$d^2=4^2+6^2=\underline{52} \rightarrow d=7.21...$ Fläche $A=4\cdot 6=\underline{24}$
Siehe Abbildung unten. $u^2=5^2+3^2=34$ . $d^2=u^2+4^2=34+16=50 \rightarrow d=\underline{7.07...}$ Volumen $V=5\cdot 4\cdot 3= \underline{60}$

Exercise 4

Betrachte einen Quader mit den Seitenlängen $a, b$ und $c$ . Finde eine Formel zur Berechnung der Länge $d$ der Diagonale.
Betrachte ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $s$ . Finde eine Formel zur Berechnung seiner Fläche.

Solution

$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
$h=\sqrt{s^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2}=\sqrt{s^2-\frac{s^2}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}s^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}s$ . Die Fläche ist daher $A=\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ .

Exercise 5

Bestimme die Höhe und das Volumen der abgebildeten rechtwinkligen Pyramide. Die Basis ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $6cm$ .

Solution

$V=\frac{Bh}{3}$ , mit Basis $B=36cm^2$ . Um die Höhe $h$ zu finden, berechnen wir zuerst die Diagonale $u$ der Basis $B$ , die $u=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}$ ist. Daher ist $h=\sqrt{10^2-\left(0.5\sqrt{72}\right)^2}=9.055$ , und folglich ist $A=\underline{108.66cm^3}$ .

Exercise 6

Bestimme die Höhe und das Volumen des abgebildeten rechtwinkligen Kegels. Die Basis ist ein Kreis mit dem Durchmesser $12cm$ .

Solution

Der Radius des Kreises ist $r=6cm$ . Wir haben $V=\frac{Bh}{3}$ , mit Basis $B=6^2\pi=36\pi$ und $h=\sqrt{10^2-6^2}=8$ . Daher ist $A=96\pi=\underline{301.593cm^3}$ .

Exercise 7

Bestimme die Länge $x$ der Spirale.

Solution

Die erste Speiche hat die Länge $s_1=\sqrt{1^1+1^1}=\sqrt{2}$ . Die zweite Speiche hat die Länge $s_2=\sqrt{s_1^2+1^2}=\sqrt{3}$ , die dritte Speiche hat die Länge $s_3=\sqrt{s_2^2+1^2}=\sqrt{4}$ und so weiter. Daher hat die letzte Speiche die Länge $x=s_{15}=\sqrt{16}=\underline{4}$ .

Exercise 8

In der Ecke $C$ eines rechteckigen Gartens steht ein Baum mit einer Höhe von $4m$ . Bestimme die Entfernung $d$ von der Ecke $A$ des Rechtecks bis zur Spitze des Baums $E$ .

Solution

Die Diagonale des Rechtecks ist $u=\sqrt{10^2+9^2}=\sqrt{181}$ . Daher ist die Entfernung $d$ gleich $d=\sqrt{\left(\sqrt{181}\right)^2+4^2}=\sqrt{197}=\underline{14.03m}$ .