Die Traktrix

In der xyxy-Ebene ziehe man einen Punkt P(x∣y)P(x|y) an einer Schnur PZPZ der Länge aa. ZZ soll auf der positiven yy-Achse fortrücken, und zu Beginn befinde sich PP in (a,0)(a,0). Welche Kurve beschreibt PP? Wir suchen eine Funktion y=y(x)y=y(x) mit ∣Z−P∣=a|Z-P|=a. Betrachtet man den Steigungswinkel erhält man für den Punkt PP

y′=−Z−yx.y'=-\frac{Z-y}{x}.

Ferner gilt

Z−y=a2−x2Z-y=\sqrt{a^2-x^2}

und damit

y′=−a2−x2x.y'=-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}.

Mit der Bedingung y(a)=0y(a)=0 erhält man als Lösung

y(x)=a⋅ln⁡(a+a2−x2x)−a2−x2.y(x)=a\cdot\ln\left(\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}\right)-\sqrt{a^2-x^2}.

(Die Traktrix kommentiert)

Exercise 1

Überprüfe die Lösung.

Solution

Wir nehmen die Lösung y(x)=aln⁡(a+a2−x2x)−a2−x2y(x)=a\ln\left(\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}\right)-\sqrt{a^2-x^2} und leiten ab:

y′=axa+a2−x2⋅12a2−x2⋅x(−2x)−(a+a2−x2)⋅1x2−12a2−x2⋅(−2x)=axa+a2−x2⋅−x2a2−x2−(a+a2−x2)x2+xa2−x2=axa+a2−x2⋅(−1a2−x2−a+a2−x2x2)+xa2−x2=−ax(a+a2−x2)a2−x2−ax+xa2−x2=−a2a2−x2−a(a2−x2)+x2a2−x2x(a+a2−x2)a2−x2=−a2+aa2−x2−x2x(a+a2−x2)=−a(a+a2−x2)−(a+a2−x2)(a−a2−x2)x(a+a2−x2)=−a2−x2x\begin{align*} y' &= a\frac{x}{a+\sqrt{a^2-x^2}}\cdot\frac{\frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}}\cdot x(-2x)-(a+\sqrt{a^2-x^2})\cdot1}{x^2}-\frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}}\cdot(-2x)\\ &= \frac{ax}{a+\sqrt{a^2-x^2}}\cdot\frac{\frac{-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}-(a+\sqrt{a^2-x^2})}{x^2}+\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ &= \frac{ax}{a+\sqrt{a^2-x^2}}\cdot\left( -\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}\right)+\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ &= -\frac{ax}{(a+\sqrt{a^2-x^2})\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a}{x}+\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ &= \frac{-a^2\sqrt{a^2-x^2}-a(a^2-x^2)+x^2\sqrt{a^2-x^2}}{x(a+\sqrt{a^2-x^2})\sqrt{a^2-x^2}}\\ &= -\frac{a^2+a\sqrt{a^2-x^2}-x^2}{x(a+\sqrt{a^2-x^2})}\\ &= -\frac{a(a+\sqrt{a^2-x^2})-(a+\sqrt{a^2-x^2})(a-\sqrt{a^2-x^2})}{x(a+\sqrt{a^2-x^2})}\\ &= -\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x} \end{align*}