Grenzwerte

In diesem Abschnitt untersuchen wir das langfristige Verhalten einer Folge -- in anderen Worten: Was passiert mit den Folgengliedern (an)(a_n) für n→∞n\rightarrow\infty (lies: "nn gegen Unendlich").

Exercise 1

Bestimmen Sie für die folgenden Folgen die Elemente für n∈{10,11,100,101,1000,1001}n\in\{10, 11, 100, 101, 1000, 1001\}. Können Sie das Verhalten für n→∞n\rightarrow \infty beschreiben?

  1. an=5+1na_n = 5 + \frac{1}{n}

  2. bn=nn+2b_n = \frac{n}{n+2}

  3. cn=n2n−1c_n = \frac{n^2}{n-1}

  4. dn=1+(−1)nd_n = 1 + (-1)^n

Solution
nn 10 11 100 101 1000 1001
ana_n 5.15.1 5.09‾5.\overline{09} 5.015.01 5.0099‾5.\overline{0099} 5.0015.001 5.000999‾5.\overline{000999}
bnb_n 0.83‾0.8\overline{3} 0.846…0.846\ldots 0.98039…0.98039\ldots 0.98058…0.98058\ldots 0.99800399…0.99800399\ldots 0.99800598…0.99800598\ldots
cnc_n 11.1‾11.\overline{1} 12.112.1 101.01‾101.\overline{01} 102.01102.01 1001.001‾1001.\overline{001} 1002.0011002.001
dnd_n 2 1 2 1 2 1
Note 1

Ihnen sollten drei verschiedene Verhaltensweisen aufgefallen sein:

Solution
  1. Die Elemente einer Folge ana_n nähern sich für n→∞n\rightarrow\infty einer festen reellen Zahl L∈RL\in\mathbb{R} an. In diesem Fall heisst LL der Grenzwert (engl. Limit/lat. Limes) der Folge (an)(a_n), und wir schreiben lim⁡n→∞an=L\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = L
  2. Die Elemente einer Folge ana_n gehen für n→∞n\rightarrow\infty gegen +∞+\infty oder −∞-\infty. Dann schreiben wir lim⁡n→∞an=∞\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \infty bzw. lim⁡n→∞an=−∞\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = -\infty.
  3. Die Elemente einer Folge (an)(a_n) verhalten sich weder wie im ersten noch wie im zweiten Fall.

Im ersten Fall nennen wir die Folge konvergent, in den anderen beiden Fällen nennen wir sie divergent.

Festzustellen, ob eine Folge konvergiert, und/oder die Bestimmung des Grenzwertes können mühsam sein. Es gibt jedoch Rechenregeln, die uns das Leben erleichtern:

Theorem 1: Grenzwertsätze

Falls die beiden Folgen ana_n und bnb_n konvergieren, gilt:

  1. lim⁡n→∞(an±bn)=lim⁡n→∞an±lim⁡n→∞bn\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left(a_n \pm b_n\right) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n \pm \lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n
  2. lim⁡n→∞(an⋅bn)=lim⁡n→∞an⋅lim⁡n→∞bn\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left(a_n \cdot b_n\right) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n \cdot \lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n
  3. lim⁡n→∞(anbn)=lim⁡n→∞anlim⁡n→∞bn,\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n}{ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n}, falls lim⁡n→∞bn≠0\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n \neq 0
Exercise 2

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge

an=2n2+3n−33n2−5n+7a_n = \frac{2n^2 + 3n - 3}{3n^2 - 5n + 7}
Solution

Der Zähler und Nenner divergieren. Erweitern Sie zunächst mit 1n2\frac{1}{n^2}, damit beide konvergieren. Dann erhalten Sie lim⁡n→∞an=23\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n = \frac{2}{3}

Es gibt noch eine präzisere Definition des Grenzwerts, die wir hier jedoch nicht besprechen werden.

Exercise 3

Bestimmen Sie jeweils, ob die Folge konvergiert, und falls ja, ihren Grenzwert:

  1. an=1na_n = \frac{1}{n}

  2. bn=3n+1nb_n = \frac{3n + 1}{n}

  3. cn=(−1)nc_n = (-1)^n

  4. dn=(−1)nnd_n = \frac{(-1)^n}{n}

Solution
  • an=1n→0a_n = \frac{1}{n}\rightarrow 0
  • bn=3n+1n→3b_n = \frac{3n + 1}{n}\rightarrow 3
  • cn=(−1)nc_n = (-1)^n divergiert
  • dn=(−1)nn→0d_n = \frac{(-1)^n}{n}\rightarrow 0
    • Exercise 4

    Bestimmen Sie die Grenzwerte der folgenden Folgen:

    1. an=2+1na_n = 2 + \frac{1}{n}

    2. bn=1−n2nb_n = \frac{1-n}{2n}

    3. cn=n+1nc_n = \frac{n+1}{n}

    4. dn=2n2+1n2d_n = \frac{2n^2 + 1}{n^2}

    5. en=3n+12ne_n = \frac{3n+1}{2n}

    6. fn=1n(n+1n)f_n = \frac{1}{n}\left(n+\frac{1}{n}\right)

    Solution
  • an=2+1n→2a_n = 2 + \frac{1}{n}\rightarrow 2
  • bn=1−n2n→−12b_n = \frac{1-n}{2n}\rightarrow -\frac{1}{2}
  • cn=n+1n→1c_n = \frac{n+1}{n}\rightarrow 1
  • dn=2n2+1n2→2d_n = \frac{2n^2 + 1}{n^2}\rightarrow 2
  • en=3n+12n→32e_n = \frac{3n+1}{2n}\rightarrow \frac{3}{2}
  • fn=1n(n+1n)→1f_n = \frac{1}{n}\left(n+\frac{1}{n}\right) \rightarrow 1
    • Exercise 5

    Finden Sie heraus, ob die Folge konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert, falls er existiert:

    1. an=n+12n+1−3a_n = \frac{n+1}{2n+1} - 3

    2. bn=n+12nb_n = \frac{\sqrt{n}+1}{2\sqrt{n}}

    3. cn=1−1n21+1n2c_n = \frac{1-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}

    4. dn=n2+1−n+3d_n = \sqrt{n^2+1} - n + 3

    5. en=n3+3n4−2e_n = \frac{n^3+3}{n^4 - 2}

    6. fn=3cos⁡(nπ)nf_n = \frac{3\cos(n\pi)}{n}

    7. gn=n4+3n2−12n3−4n2+ng_n = \frac{n^4+3n^2 - 1}{2n^3 - 4n^2 + n}

    8. hn=(3+sin⁡(nπ4)n2)+2nn+1h_n = \left(3 + \frac{\sin\left(n\frac{\pi}{4}\right)}{n^2}\right)+\frac{2n}{n+1}

    Solution
    1. an=n+12n+1−3→−2.5a_n = \frac{n+1}{2n+1} - 3\rightarrow -2.5
    2. bn=n+12n→12b_n = \frac{\sqrt{n}+1}{2\sqrt{n}}\rightarrow \frac{1}{2}
    3. cn=1−1n21+1n2→1c_n = \frac{1-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}\rightarrow 1
    4. dn=n2+1−n+3→3d_n = \sqrt{n^2+1} - n + 3\rightarrow 3
    5. en=n3+3n4−2→0e_n = \frac{n^3+3}{n^4 - 2}\rightarrow 0
    6. fn=3cos⁡(nπ)n→0f_n = \frac{3\cos(n\pi)}{n}\rightarrow 0
    7. gn=n4+3n2−12n3−4n2+n→∞g_n = \frac{n^4+3n^2 - 1}{2n^3 - 4n^2 + n}\rightarrow \infty (divergiert)
    8. hn=(3+sin⁡(nπ4)n2)+2nn+1→6h_n = \left(3 + \frac{\sin\left(n\frac{\pi}{4}\right)}{n^2}\right)+\frac{2n}{n+1}\rightarrow 6
    Exercise 6

    Für welche x∈Rx\in\mathbb{R} konvergiert die folgende geometrische Folge?

    1,xx+1,(xx+1)2,…1, \frac{x}{x+1}, \left(\frac{x}{x+1}\right)^2, \ldots
    Solution