Die Mandelbrotmenge

Geschichte

1979 Mandelbrot, IBM
1978 Brooks, Matelsky
~ 1905 Fatou/Julia

Popularisierung der Mandelbrotmenge durch Benoît Mandelbrot

Wie geht die Mandelbrotmenge?

Man nimmt sich einen Startwert $c\in\mathbb{C}$ .
Danach bastelt man sich die Folge $c$ , $c^2+c$ , $(c^2+c)^2+c$ , $\dots$ .
Man macht das für viele Startwerte $c$ .

Also hat man im Grunde genommen eine Iteration

z_{k+1} = z_k^2+c

mit $z_0=c$ .

Wir schreiben präziser $z_{c,k}$ .

Wir rechnen ein paar Orbits von Hand:

$c=0$ : $0$ , $0$ , $0$ , ...
$c=1$ : $1$ , $2$ , $5$ , $26$ , ...
$c=-1$ : $-1$ , $0$ , $-1$ , $0$ , ...

Also gibt es unterschiedliche Arten von Folgen (konstant, divergent, alternierend)

Theorem 1

Ist $|z_{c,k}| > 2$ für ein $k$ , dann ist $\langle z_{c,k}\rangle_k$ unbeschränkt.

Proof

Graphischer Beweis mit Fallunterscheidung $|c| > 2$ und $|c| \leq 2$ . Dann guckt man sich den Absolutbetrag als Abstand an und sieht, dass vektoriell die Folge nicht in den $r=2$ -Kreis zurück hinein kommen kann. Für den zweiten Fall gilt dann nach Voraussetzung für ein $k$ $|z_{c,k}| > 2$ voraus fast unmittelbar die Behauptung analog zum ersten Fall folgt.

Definition 1: Mandelbrotmenge

Man definiert die Mandelbrotmenge als

\mathbb{M} := \{c\in\mathbb{C} \mid \langle z_{c,k}\rangle_k\text{ ist beschränkt}\}

Man überlege grob den Bereich möglicher Punkte (der 5 bereits bekannten). Es ist aber nicht so offensichtlich, welche Punkte innerhalb des Kreises mit Radius $2$ zur Mandelbrotmenge gehören und welche nicht. Ein Computer kann das für relativ viele Startwerte relativ gut abschätzen.

Wir betrachten ein ganz grobes Mandelbrotraster, so ähnlich wie es damals von Brooks realisiert wurde.

Man kann jetzt also die Feinheiten farblich abstufen, je nachdem wie lange die Punkte gebraucht haben, um aus dem Kreis mit Radius 2 zu entfliehen. Also je mehr Iterationen ich wähle, umso detaillierter kann ich die Farbabstufungen machen.

Mandelbrot Plots

Jetzt wollen wir die Mandelbrotmenge plotten...

Exercise 1

Man guckt nach, an welcher Stelle hier jeweils "reingezoomt" wird.

Die Mandelbrotmenge wird im Volksmund auch "Apfelmännchen" genannt. Sieht halt irgendwie nach Apfel aus...

Wie lässt man solche Bilder berechnen?

Grundsätzlich guckt man, ob für einen Wert $c\in\mathbb{C}$ der Orbit von $f(z) = z^2+c$ mit Startwert $z=0$ divergiert. Falls nein, dann wird der Startpunkt schwarz eingefärbt. Falls aber ja, dann wird der Punkt mit einer Farbe eingefärbt, die vom Index des Iterationsschrittes abhängt, an dem die Folge als divergent erklärt wird. Stellt sich also die Frage, wann dass eine Folge als divergent eingestuft werden darf?

Wer oben das mandelbrotProgramm überflogen hat, dem ist aufgefallen, dass als Abbruchbedingung für die Iteration eines Startwerts die Bedingung $|z_k| > 2$ verwendet wurde. Man kann nämlich zeigen, dass, falls für einen Wert $z_k$ in der Itartionsfolge $|z_k| > 2$ gilt, der Orbit sicher divergiert. Diesen Fact macht man sich in der Programmierung zu Nutze.

Theorem 2: Nicht-Mandelbrot-Kriterium

Ist für ein $k\in\mathbb{N}$ der Betrag $|z_k| > 2$ , so divergiert die Folge $\langle z_k\rangle$ definiert durch $z_{k+1} = z_k^2+c$ mit fixem $c\in\mathbb{C}$ und Startwert $z_0 = 0$ .

Proof

Für $f(z)=z^2+c$ mit $z_0=0$ haben wir $z_0=0, z_1=c, z_2=c^2+c,\dots$ Ferner ist $\frac{|f(z)|}{|z|}=\frac{|z^2+c|}{|z|}\geq\frac{|z|^2-|c|}{|z|}=|z|-\frac{|c|}{|z|}>|z|-1>1$ wobei die Dreiecksungleichung verwendet wurde. Das heisst wir haben ein Wachstum pro Zeitschritt mit Faktor grösser $1$ .

Ist nun $|c|<2$ und für ein $k$ $|z_k|>2$ , dann erfüllt $z=z_k$ die Voraussetzung und die Folge wird divergieren. Ist $|c|>2$ , dann ist $|c^2+c|\geq |c|^2-|c|=|c|\cdot|c-1|>|c|>2$ . Also erfüllt $z=z_2$ die Voraussetzung.

Der kommentierte Beweis zur Divergenz im Apfelmännchen von gym math gibts unter eben dem Link.

Das Apfelmännchen ist mit den Walen verwandt!

Betrachte die Iteration $z_{k+1} = z_{k}^2+c$ und setze eine affine Transformation $z_k = ax_k+b$ mit $a,b,x_k\in\mathbb{R}$ . Es ist

ax_{k+1}+b = (ax_k+b)^2+c = a^2x_k^2+2abx_k+b^2+c.

Es folgt

x_{k+1} = 2bx_k(1+\frac{a}{2b}x_k)+\frac{b^2-b+c}{a}.

Exercise 2

Zeige obige Folgerung.

Solution

Falls es nicht klappt, dann kannst du dir den Zusammenhang zwischen Mandelbrot und Wale anschauen.

Exercise 3: Parameter-Vergleich

Begründe, dass ein Vergleich mit der logistischen Funktion $f_r(x)$ heisst: $b=\frac{r}{2}$ und $a=-r$ . Ferner zeige man, dass der interessante Bereich $1<r<4$ den Werten $-2<c<\frac{1}{4}$ entspricht.

Exercise 4: Bestimme die c-Bereiche der Fixpunktregionen 1<r<3 und 3<r<1+\sqrt{6}.

Mandelbrotbereiche für Fixpunkte der Ordnung 1 und 2 von $f_r$

Abschliessend begreife man folgendes Bild !

Enjoy! Don't Freak out!

Exercise 5

Jetzt kommt eine gemütliche Pflichtaufgabe. Höre zum Video Mandelbrot Zoom, in dem eine Stelle in der komplexen Ebene vergrössert wird, den sinnigen Titel "Functionality" dazu. Mindestens bis Minute 7.5 den Zoom angucken. Dem Video voraus schicken möchte ich, dass die Dimension des Unversiums im Verhältnis zu einem Atomkern in etwa $10^{40}\div1$ ist. In Längen gedacht heisst dies also für Zahlen, welche sich erst an der $40$ -sten Stelle nach dem Komma unterscheiden, dass das Universum um einen Atomdurchmesser verschoben wurde. Erinnere dich an diesen Fact, wenn jeweils die Grössenordnung im Video eingeblendet wird.

So, los gehts! Zuerst den Sound einrichten...