Gleichungen und der Logarithmus

Es gibt zwei Typen von Gleichungen, bei dem der Logarithmus involviert ist. Der eine Typ enthält den Logarithmus in der Gleichung, der andere Typ enthält einen Exponent xx in der Gleichung. Wir diskutieren hier, wie diese Gleichungen gelöst werden können. Beginnen wir mit dem ersten Typ.

Gleichungen mit xx im Logarithmus

Betrachte die folgende Gleichung:

Example 1
4+3⋅log⁡5(4x)=104+3\cdot \log_5(4x)=10

Die Unbekannte Variable xx erscheint im Logarithmus. Wie finden wir xx? Die Strategie besteht darin, zunächst den logarithmischen Term zu isolieren:

4+3⋅log⁡5(4x)=10∣−4,:3log⁡5(4x)=2\begin{array}{rll} 4+3\cdot \log_5(4x)&=&10\quad\vert -4,:3\\ \log_5(4x)&=&2\\ \end{array}

Mit den Anwendung der Spirale (Definition des Logarithmus) sehen wir nun, dass

52=4x5^2=4x

Es folgt also x=254=6.25‾x=\frac{25}{4}=\underline{6.25}

Exercise 1

Löse die Gleichungen

  1. log⁡5(x)=2\log_5(x)=2

  2. log⁡4(2x)=−2\log_4(2x)=-2

  3. 20⋅log⁡7(x2)=80920\cdot \log_7(x^2)=\frac{80}{9}

  4. 1−log⁡2(4x)+3=−71-\log_2(4x)+3=-7

  5. log⁡10(x2−2x+1)=2\log_{10}(x^2-2x+1)=2

  6. log⁡3(x−1)=0\log_3(x-1)=0

  7. 3ln⁡(2x)−1=53\ln(2x)-1=5

Solution
  1. x=25x=25
  2. x=132x=\frac{1}{32}
  3. x1=1.541...,x2=−1.541...x_1=1.541..., x_2=-1.541...
  4. x=512x=512
  5. x1=−9,x2=11x_1=-9, x_2=11
  6. x=2x=2
  7. x=3.69...x=3.69...

Gleichungen mit xx im Exponenten

Betrachte doe folgende Gleichung

Example 2
3+2⋅5x=753+2\cdot 5^x=75

Die Unbekannte Variable xx erscheint im Exponenten. Um die Gleichung zu lösen, isolieren wir zunächst den exponentiellen Term:

3+2⋅5x=75∣−3,:25x=36\begin{array}{rll} 3+2\cdot 5^x&=&75\quad\vert -3,:2\\ 5^x &=& 36\\ \end{array}

Wir wenden nun den Logarithmus zur Basis 55 (weil wir 5x5^x haben) auf beiden Seiten an:

5x=36∣log⁡5(.)log⁡5(5x)=log⁡5(36)x=log⁡5(36)\begin{array}{rll} 5^x &=& 36 \quad\vert \log_5(.)\\ \log_5(5^x)&=&\log_5(36)\\ x &=&\log_5(36) \end{array}

Beachte, dass wir log⁡5(5x)\log_5(5^x) zu xx vereinfachen können (Spirale). Mit dem Taschenrechner erhalten wir x=2.226...‾x=\underline{2.226...}.

Weitere Aufgaben

Exercise 2

Löse die Gleichungen

  1. 3⋅1.5x−1=173\cdot 1.5^x -1=17
  2. 4⋅22x−1+7=11.24\cdot 2^{2x-1}+7=11.2
  3. (3.2)x−3=5(3.2)^{\sqrt{x}}-3=5
  4. 4ex−1=164e^{x-1}=16
  5. 10log⁡10(2x+1)=410^{\log_{10}(2x+1)}=4
Solution

Die Lösungen sind

  1. x=4.419...x=4.419...
  2. x=0.535...x=0.535...
  3. x=3.196...x=3.196...
  4. x=2.386...x=2.386...
  5. x=1.5x=1.5
Exercise 3: Exponentialgleichungen lösen

Bestimme die Lösung xx für die folgenden Gleichungen, indem du beide Seiten auf eine gemeinsame Basis bringst:

  1. 23x+1⋅4x=322^{3x+1} \cdot 4^{x} = 32

  2. 9x−2⋅(13)x=279^{x-2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{x} = \sqrt{27}

  3. 0.2x⋅25=125x−10.2^{x} \cdot 25 = 125^{x-1}

Solution

  1. Mache gemeinsame Basis 22:

    23x+1⋅(22)x=2523x+1⋅22x=2525x+1=25\begin{aligned} 2^{3x+1} \cdot (2^2)^{x} &= 2^5 \\ 2^{3x+1} \cdot 2^{2x} &= 2^5 \\ 2^{5x+1} &= 2^5 \end{aligned}

    Exponentenvergleich: 5x+1=5  ⟹  5x=4  ⟹  x=0.8‾5x + 1 = 5 \implies 5x = 4 \implies x = \underline{0.8}

  2. Mache gemeinsame Basis 33:

    (32)x−2⋅(3−1)x=(33)1/232x−4⋅3−x=31.53x−4=31.5\begin{aligned} (3^2)^{x-2} \cdot (3^{-1})^{x} &= (3^3)^{1/2} \\ 3^{2x-4} \cdot 3^{-x} &= 3^{1.5} \\ 3^{x-4} &= 3^{1.5} \end{aligned}

    Exponentenvergleich: x−4=1.5  ⟹  x=5.5‾x - 4 = 1.5 \implies x = \underline{5.5}

  3. Mache gemeinsame Basis 55 (beachte 0.2=15=5−10.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}):

    (5−1)x⋅52=(53)x−15−x⋅52=53x−35−x+2=53x−3\begin{aligned} (5^{-1})^{x} \cdot 5^2 &= (5^3)^{x-1} \\ 5^{-x} \cdot 5^2 &= 5^{3x-3} \\ 5^{-x+2} &= 5^{3x-3} \end{aligned}

    Exponentenvergleich: −x+2=3x−3  ⟹  5=4x  ⟹  x=1.25‾-x + 2 = 3x - 3 \implies 5 = 4x \implies x = \underline{1.25}

Exercise 4: Exponentielles Wachstum der Bevölkerung

Die Weltbevölkerung betrug 1950 2.52.5 Milliarden (2,5⋅1092,5\cdot 10^9). Im Jahr 1970 waren es 3.73.7 Milliarden. Wann wird die Bevölkerung unter der Annahme eines exponentiellen Wachstums zum ersten Mal 1010 Milliarden überschreiten? Und wann wird dies bei einem linearen Wachstum der Bevölkerung der Fall sein?

Solution

Fall Exponentielles Wachstum: Zeichne das Diagramm und finden Sie die Funktionsgleichung des Wachstums in Abhängigkeit von der Zeit xx:

y:2.5⋅109→⋅u3.7⋅109→⋅u...→⋅uyx (year):1950→+201970→+20...→+20x\begin{array}{rlll} \text{$y$}:& 2.5\cdot 10^9 &\xrightarrow[]{\cdot u} & 3.7\cdot 10^9 &\xrightarrow[]{\cdot u}& ... & \xrightarrow[]{\cdot u} & y\\ \text{$x$ (year)}:& 1950 & \xrightarrow[]{+20} & 1970 &\xrightarrow[]{+20}& ... &\xrightarrow[]{+20} & x\\ \end{array}

Der Wachstumsfaktor ist

u=3.7⋅1092.5⋅109=1.48u=\frac{3.7\cdot 10^9}{2.5\cdot 10^9}=1.48

Die Exponentialfunktion ist somit

f(x)=2.5⋅109⋅1.48(x−1950)/20f(x)=2.5\cdot 10^9\cdot 1.48^{(x-1950)/20}

Finde xx so, dass

2.5⋅109⋅1.48(x−1950)/20=10⋅1092.5\cdot 10^9\cdot 1.48^{(x-1950)/20}=10\cdot 10^9

Wir lösen nun die Gleichung:

2.5⋅109⋅1.48(x−1950)/20=10⋅109∣:(2.5⋅109)1.48(x−1950)/20=4∣log⁡1.48(.)x−195020=⋅log⁡1.48(4)∣⋅20,+1950x=2020.7 years‾\begin{array}{rll} 2.5\cdot 10^9\cdot 1.48^{(x-1950)/20}&=&10\cdot 10^9\quad\vert : (2.5\cdot 10^9)\\ 1.48^{(x-1950)/20} &=& 4 \quad\vert \log{1.48}(.)\\ \frac{x-1950}{20} &=& \cdot \log_{1.48}(4) \quad\vert \cdot 20, +1950\\ x &=& \underline{2020.7\text{ years}} \end{array}

Fall lineares Wachstum:

y:2.5⋅109→+u3.7⋅109→+u...→+uyx (year):1950→+201970→+20...→+20x\begin{array}{rlll} \text{$y$}:& 2.5\cdot 10^9 &\xrightarrow[]{+ u} & 3.7\cdot 10^9 &\xrightarrow[]{+ u}& ... & \xrightarrow[]{+ u} & y\\ \text{$x$ (year)}:& 1950 & \xrightarrow[]{+20} & 1970 &\xrightarrow[]{+20}& ... &\xrightarrow[]{+20} & x\\ \end{array}

Die Zunahme ist

u=3.7⋅109−2.5⋅109=1.2⋅109u=3.7\cdot 10^9-2.5\cdot 10^9=1.2\cdot 10^9

und somit

f(x)=2.5⋅109+1.2⋅109⋅x−195020f(x)=2.5\cdot 10^9+1.2\cdot 10^9\cdot \frac{x-1950}{20}

Finde xx mit

2.5⋅109+1.2⋅109⋅x−195020=10⋅1092.5\cdot 10^9+1.2\cdot 10^9\cdot \frac{x-1950}{20}=10\cdot 10^9

Also

2.5⋅109+1.2⋅109⋅x−195020=10⋅109∣−2.5⋅109,:(1.2⋅109)x−195020=6.25∣⋅20,+1950x=2070 years‾\begin{array}{rlll} 2.5\cdot 10^9+1.2\cdot 10^9\cdot \frac{x-1950}{20}&=&10\cdot 10^9\quad\vert -2.5\cdot 10^9, :(1.2\cdot 10^9)\\ \frac{x-1950}{20} &=& 6.25\quad\vert \cdot 20,+1950\\ x &=&\underline{2070\text{ years}} \end{array}
Exercise 5

Plutonium 239 ist ein vom Menschen hergestelltes radioaktives Isotop, das für Kernsprengstoffe verwendet wird. Es hat eine Halbwertszeit von 24110 Jahren, was bedeutet, dass alle 24110 Jahre die Hälfte des Plutoniums in einer Probe zerfällt und die Hälfte übrig bleibt. Wie viele Jahre wird es dauern, bis 1%1\% in der Probe übrig ist?

Solution

Nehmen wir an, die Anfangsmasse des Plutoniums (zum Zeitpunkt x=0x=0) sei mm. Wenn Sie weniger abstrakt sein wollen, nehmen Sie einfach einen Wert für mm an, z.B. m=100m=100 (mm wird sich letztendlich sowieso aufheben, also ist das Ergebnis unabhängig von mm). Ausserdem setzen wir hier der Einfachheit halber x=0x=0, aber jeder beliebige Wert für den Startzeitpunkt funktioniert ebenfalls, da wir an der Dauer interessiert sind.

y:m→⋅0.50.5m→⋅0.5...→⋅0.50.01mx (year):0→+2411024110→+24110...→+24110x\begin{array}{rlll} \text{$y$}:& m &\xrightarrow[]{\cdot 0.5} & 0.5m &\xrightarrow[]{\cdot 0.5}& ... & \xrightarrow[]{\cdot 0.5} & 0.01m\\ \text{$x$ (year)}:& 0 & \xrightarrow[]{+24110} & 24110 &\xrightarrow[]{+24110}& ... &\xrightarrow[]{+24110} & x\\ \end{array}

Der Wachstumsfaktor ist u=0,5u=0,5, so dass wir die folgende Funktionsgleichung haben, die das Wachstum beschreibt:

f(x)=m⋅0.5(x−0)/24410f(x)=m\cdot 0.5^{(x-0)/24410}

Finde xx so dass

m⋅0.5(x−0)/24410=0.01mm\cdot 0.5^{(x-0)/24410} = 0.01m

Beachte nun, dass wir mm streichen können, da es als Multiplikation auf beiden Seiten der Gleichung erscheint:

m⋅0.5x/24410=0.01m∣:m0.5x/24410=0.01∣log⁡0.5(.)x24410=log⁡0.5(0.01)∣⋅24110x=160183.37... years‾\begin{array}{rll} m\cdot 0.5^{x/24410} &=& 0.01m\quad\vert :m\\ 0.5^{x/24410}&=&0.01\quad\vert \log_{0.5}(.)\\ \frac{x}{24410}&=&\log_{0.5}(0.01)\quad\vert \cdot 24110\\ x &=& \underline{160183.37... \text{ years}} \end{array}

Beachte, dass wir mit einer anderen Zeit beginnen, sagen wir x=1x=1, das Endergebnis wäre 160184.37... Jahre160184.37... \text{ Jahre}, und um die Dauer zu finden, müssten wir 11 von diesem Ergebnis subtrahieren, um wieder den obigen Wert zu erhalten.