Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer ZV

Wir beginnen mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Definition 1

Gegeben sei eine Zufallsvariable $X$ eines Zufallsexperiments, wobei $X$ die möglichen Werte $x_1, ..., x_r$ annehmen kann. Die Liste der Wahrscheinlichkeiten

p(X=x_1), ..., p(X=x_r)

nennt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$ . Sie beschreibt, wie sich die Wahrscheinlichkeiten über die Ergebnisse $x_1,...,x_r$ verteilen.

Die Funktion

F_X(x)=p(X\leq x)

für jede reelle Zahl $x$ nennt man die kumulative Verteilungsfunktion von $X$ . $F_X(x)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert von $x$ oder kleiner annimmt. Es ist somit die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ausgang des Experiments den Wert $\leq x$ hat.

Note 1

Wo ist eigentlich die Funktion, welche im Namen Wahrscheinlichkeitsfunktion steckt? Sie wird oft nicht explizit gezeigt, ist aber wiefolgt definiert:

f_X(x) = \begin{cases} p(X=x) & x\in \{x_1,...x_r\} \\ 0 & \text{andernfalls} \end{cases}

Es ist also zum Beispiel $f_X(x_1)=p(X=x_1)$ , und $f(x)=0$ für alle $x$ verschieden von den Werten $x_1,...,x_r$ .

Häufig zeichnen wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion in ein Koordinatensystem, wobei die Werte $x_1, ..., x_r$ entlang der $x$ -Achse und die Wahrscheinlichkeiten $p(X=x_1), ..., p(X=x_r)$ entlang der $y$ -Achse angegeben werden. Bei der kumulativen Verteilungsfunktion zeichnen wir, wie immer bei Funktionen, die $x$ -Werte entlang der $x$ -Achse und die Ausgabe $p(X=x)$ entlang der $y$ -Achse. Hier ist ein Beispiel:

Exercise 1

Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Die Zufallsvariable ist $N$ ="Anzahl der Köpfe".

Bestimme die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $N$ , und zeichne die Verteilung in einem Koordinatensystem.
Zeichne die kumulative Verteilungsfunktion $f_N$ .

Solution

Die möglichen Werte von $N$ sind $\{0,1,2\}$ , wobei

\begin{array}{lll} N=0 &=& \{ZZ\}\\ N=1&=&\{ZK,KZ\}\\ N=2&=&\{KK\} \end{array}

Da es sich um ein Laplace-Experiment handelt, haben wir die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion von $N$ :

\begin{array}{lll} p(N=0) &=& \frac{1}{4}\\ p(N=1)&=&\frac{2}{4}\\ p(N=2)&=&\frac{1}{4} \end{array}

(siehe die Skizze unten).

Die kumulative Verteilungsfunktion $F_N(x)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Köpfe gleich oder kleiner als $x$ ist. Zum Beispiel,

\begin{array}{lll} F_N(0) &=& \frac{1}{4}\\ F_N(0.5) &=& \frac{1}{4}\\ F_N(1)&=&\frac{3}{4}\\ F_N(1.5)=&=&\frac{3}{4}\\ F_N(2)&=&\frac{4}{4}\\ F_N(2.5)&=&\frac{4}{4}\\ \end{array}

Und so weiter. Der Graph bildet eine Treppe, wobei die Sprünge bei den Werten $x=0, 1$ and $2$ erfolgen. Siehe die Skizze unten rechts.

Da die Ereignisse $X=x_1, ... X=x_k$ sich paarweise gegenseitig ausschliessen und eine Partition des Stichprobenraums $S$ bilden, haben wir die folgenden wichtigen Eigenschaften von Verteilungen:

Theorem 1

Es sei $p(X=x_1), ... p(X=x_r)$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable $X$ . Es gilt:

Für beliebige Werte von $X$ , etwa $x_1, x_2$ und $x_3$ gilt
$p(X=x_1 \cup X=x_2 \cup X=x_3) = p(X=x_1)+p(X=x_2)+p(X=x_3)$
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Verteilung ist $1$ :
$\sum_{k=1}^r p(X=x_k)=p(X=x_1)+...+p(X=x_r)=1$
$F_X(x)$ ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten $p(X=x_k)$ mit $x_k\leq x$ . Wenn also für ein gegebenes $x$ gilt, dass genau die Werte $x_1, x_2, x_3 \leq x$ , dann ist
$F_X(x)=p(X=x_1)+p(X=x_2)+p(X=x_3)$

Proof

Der Beweis ist recht einfach.

Dies folgt aus der Tatsache, dass sich die Ereignisse paarweise gegenseitig ausschliessen.
Aus Aussage 1 und der Tatsache, dass die Vereinigung all dieser Ereignisse den Stichprobenraum $S$ bildet (da Partition), ergibt sich
$\begin{array}{lll} 1 &=& p(S)\\ &=& p(X=x_1\,\cup\, ... \,\cup\, X=x_r)\\ &=& p(X=x_1)+...+p(X=x_r)\\ \end{array}$
Ergibt sich aus Aussage $1$ .

Exercise 2

Ein fairer Würfel wird zweimal gewürfelt. Betrachte die Zufallsvariable $S$ ="Summe der beiden Zahlen".

Bestimme die möglichen Werte von $S$ .
Bestimme und zeichne die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $S$ .
Bestimme die kummulative Verteilungsfunktion $F_S(4)$ .
Zeichne den Graphen von $F_S$ .

Solution

Der Stichprobenraum ist

\begin{array}{l|ccccccc} + & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 6 & 7 & 7 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \end{array}

Die möglichen Werte von $S$ : $\{ 2,3,4,..., 11, 12\}$
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist (Abbildung siehe unten)
$\begin{array}{lll} p(S=2)&=&\frac{1}{36}\\ p(S=3)&=&\frac{2}{36}\\ p(S=4)&=&\frac{3}{36}\\ p(S=5)&=&\frac{4}{36}\\ p(S=6)&=&\frac{5}{36}\\ p(S=7)&=&\frac{6}{36}\\ p(S=8)&=&\frac{5}{36}\\ p(S=9)&=&\frac{4}{36}\\ p(S=10)&=&\frac{3}{36}\\ p(S=11)&=&\frac{2}{36}\\ p(S=12)&=&\frac{1}{36} \end{array}$
Wir haben
$\begin{array}{lll} f_S(4)&=&p(S\leq 4)\\ &=&p(S=2)+p(S=3)+p(S=4)\\ &=&\frac{6}{36}=\frac{1}{6} \end{array}$
Der Graph von $f_S$ ist unten dargestellt. Es hilft, die Punkte des Graphen zu berechnen, wo er springt:
$\begin{array}{lll} f_S(2)&=&\frac{1}{36}\\ f_S(3) &=&\frac{3}{36}\\ f_S(4)&=&\frac{6}{36}\\ f_S(5)&=&\frac{10}{36}\\ f_S(6)&=&\frac{15}{36}\\ f_S(7)&=&\frac{21}{36}\\ f_S(8)&=&\frac{26}{36}\\ f_S(9)&=&\frac{30}{36}\\ f_S(10)&=&\frac{33}{36}\\ f_S(11)&=&\frac{35}{36}\\ f_S(12)&=&\frac{36}{36}=1\\ \end{array}$

Exercise 3

Die Wahrscheinlichkeiten $p(X=1)=x^2$ , $p(X=2)=3x$ , $p(X=3)=0.1$ bilden die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable $X$ . Bestimme den Wert $x$ und die Wahrscheinlichkeiten.

Solution

Wegen $p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)=1$ folgt

x^2+3x+0.1=1

x^2+3x-0.9=0

Lösen wir die Gleichen nach $x$ auf (Mitternachtsformel), erhalten wir $x_1=-3.27$ und $x_2=0.275$ . Da Wahrscheinlichkeiten $<0$ nicht möglich sind, müssen wir $x_1$ aus den Lösungen ausschliessen. Also $p(X=1)=\underline{0.076}$ , und $p(X=2)=\underline{0.824}$ .