Logistisches Wachstum bei Walen

Zur mathematischen Modellierung

Nach diesem theoretischen Teil geht es nun an einige konkrete Beispiele. Zum Einstieg in die diskrete Modellierung eignet sich meines Erachtens das folgende Walmodell. Weiter folgen etwas detaillierte Modelle (wie das während der CoV19-Pandemie bekannt gewordenen SIR-Model, dass Sie bei mir unter Masern finden), wobei man immer den Merksatz von George Box im Hinterkopf haben sollte:

All models are wrong, but some are usefull.

Anschliessend an dieses Skript zeige ich mit Hilfe von Vereinfachungen ausgehend vom Walbeispiel über die logistische Funktion bis zur Mandelbrotmenge einen Zusammenhang von deterministischem Chaos. Eine schöne Reise, die man sich nicht entgehen lassen sollte. Dazu existiert aber meinerseits noch keine Skriptvariante, jedoch habe ich mit interaktiven Jupyter Notebooks diese schönen Einsichten illustriert. Wenn man nicht bei mir das Schwerpunktfach PAM oder Ergänzungsfach AM besucht, trotzdem aber reingucken möchte, dann empfehle ich als Einstieg dieses Video als Startpunkt. Ich versuche auch sukzessive Teile als Anhänge zu diesem Skript zu generieren. Der folgende Link startet ein für fortgeschrittene AM-ler empfehlenswertes Repetitionsmodul "das Burger-King-Problem") mit vielen Recaps und Anwendungen des Stoffs.

Rettet die Wale

Die Situation

Eine Population von ca. 1200 Grönlandwalen (bowhead whale, Balaena mysticetus) lebt in einem abgegrenzten Lebensraum des nördlichen Eismeeres (Nordpolarmeer). Da die Wale keine natürlichen Feinde haben und im bezeichneten Lebensraum ein reichhaltiges Nahrungsangebot vorfinden, werden sie sich zunächst exponentiell vermehren. Durch die Zunahme der Anzahl der Wale sinkt aber das Nahrungsangebot, da das als Nahrung dienende Plankton nicht in unbeschränktem Masse zur Verfügung steht. Das Eismeer bietet nur eine begrenzte Zahl $G$ von Grönlandwalen Lebensraum. Diese Zahl liegt nach Schätzungen bei 20000 Tieren.

Ein Modell

Bei Annäherung an die Sättigungsgrenze $G$ wird der Zuwachs der Wale abnehmen. Das Wachstum der Grönlandwalpopulation kann demnach im Anfangszustand, wenn der Bestand noch weit von der Sättigungsgrenze entfernt ist, als exponentielles Wachstum und im fortgeschrittenen Stadium, wenn sich der Bestand der Sättigungsgrenze nähert, als begrenztes Wachstum beschrieben werden. Die Vermehrung kann somit unter den genannten Rahmenbedingungen als .deflogistisches Wachstum modelliert werden:

wobei $W_n$ die Anzahl der Wale im Jahr $n$, $G=20000$ die Sättigungsgrenze und $W_0=1200$ die Anfangspopulation bezeichnet.

  import matplotlib.pyplot as plt
  # Rekursive Funktion zur Berechnung des exponentiellen Wachstums
  def exponential_growth(n, rate, current_value=1):
    if n == 0:
        return current_value
    else:
        return exponential_growth(n-1, rate, current_value * rate)

  # Parameter
  n = 10  # Anzahl der Perioden
  rate = 1.5  # Wachstumsrate

  # Werte berechnen
  values = [exponential_growth(i, rate) for i in range(n+1)]

  # Werte plotten
  plt.plot(range(n+1), values, marker='o')
  plt.title('Exponentielles Wachstum')
  plt.xlabel('Perioden')
  plt.ylabel('Wert')
  plt.grid(True)
  plt.show()

  # Funktion zur Berechnung des logistischen Wachstums mit einem Parameter p
  def logistic_growth(n, G, x0, p):
    values = [x0]
    for i in range(n):
        x_next = values[-1] + p * (G - values[-1])
        values.append(x_next)
    return values

  # Parameter
  n = 10  # Anzahl der Perioden
  G = 100  # Kapazitaetsgrenze
  x0 = 10  # Anfangswert
  p = 0.1  # Wachstumskoeffizient

  # Werte berechnen
  values = logistic_growth(n, G, x0, p)

  # Werte plotten
  plt.plot(range(n+1), values, marker='o')
  plt.title('Logistisches Wachstum mit Parameter p')
  plt.xlabel('Perioden')
  plt.ylabel('Wert')
  plt.grid(True)
  plt.show()

Die Analyse

Naturschützer beobachten die Tiere und ermitteln, dass die Anzahl der Tiere im ersten Beobachtungsjahr um $p=8$ wächst.

Exercise 2: Walpopulation

Stelle auf der Grundlage des iterativen logistischen Wachstumsmodells die Entwicklung der Grönlandwalpopulation für einen Zeitraum von 100 Jahren dar. $p$ ist aus dem Wachstumsfaktor des ersten Beobachtungsjahres zu berechnen. Stelle den Populationsumfang in Abhängigkeit der Jahre graphisch dar.

Solution

Mit der Wachstumsbeobachtung berechnen wir

$$\begin{align*} W_0\cdot1.08 &= W_0+pW_0(G-W_0)\\ 0.08W_0 &= pW_0(G-W_0)\\ p &= \frac{0.08}{G-W_0}\approx4.2553\cdot10^{-6} \end{align*}$$

Der Plot sieht damit singemäss so aus: