Spezielle Potenzreihen

Die Hermite'sche Differentialgleichung

Betrachte

y''-2xy'+\lambda y=0

mit $\lambda\in\mathbb{R}$ . Mit dem Potenzreihenansatz

y(x)=\sum_{k=0}^\infty c_k\cdot x^k

erhalten wir die Bedingung

(2c_2+\lambda c_0) +\sum_{k=1}^\infty[(k+1)(k+2)c_{k+2}-2kc_k+\lambda c_k]\cdot x^k=0,

die wir wie folgt erfüllen können. $c_0$ und $c_1$ können frei gewählt werden, und für $k\geq0$ muss

c_{k+2}=\frac{2k-\lambda}{(k+1)(k+2)}\cdot c_k

gelten. So erhalten wir

y(x)=c_0g(x)+c_1h(x)

mit

g(x)=1-\frac{\lambda}{2!}x^2 -\sum_{k=2}^\infty\frac{[4(k-1)-\lambda][4(k-2)-\lambda]\dotsm[4-\lambda]\lambda}{(2k)!}\cdot x^{2k}

und

h(x)=x +\sum_{k=1}^\infty\frac{[4k-2-\lambda][4(k-1)-2-\lambda]\dotsm[2-\lambda]}{(2k+1)!}\cdot x^{2k+1}.

Besonders interessant ist der Fall $\lambda=2n$ für $n\in\mathbb{N}_0$ . Wenn $n$ gerade ist, ist in diesem Fall $g=g_n$ ein gerades Polynom vom Grad $n$ ; wenn $n$ ungerade ist, ist $h=h_n$ ein ungerades Polynom vom Grad $n$ . Man definiert die \definition{Hermite'schen Polynome} $H_n$ durch

H_n=(-1)^{n/2}\cdot2^{n/2}\cdot3\cdot5\dotsm(n-1)\cdot g_n,

für gerade $n$ und

H_n=(-1)^{(n-1)/2}\cdot2^{(n+1)/2}\cdot3\cdot5\dotsm n\cdot h_n,

falls $n$ ungerade ist.

Exercise 1: Hermite-Polynome

Kannst du die ersten paar Hermite'schen Polynome, vielleicht $H_0$ bis $H_3$ , bestimmen?

Solution

$H_0 = g_0=1$ , $H_1 = h_1=2x$ , $H_2 = (-1)\cdot2(1-\frac{4}{2!}x^2 = -2+4x^2$ , $H_3 = (-1)\cdot 2^2\cdot3(x+\frac{-24}{3!}x^3 = -12x+8x^3$

Es wird gesagt, die Differentialgleichung trete in der Quantentheorie beim Studium der Schwingungen von Molekülen auf.

Die Legendre'sche Differentialgleichung

Sie hat ihren Ursprung in der Astronomie und lautet

(1-x^2)y''-2xy'+\lambda(\lambda+1)y = 0.

Wir suchen eine Potenzreihenentwicklung $y(x)$ um $x_0=0$ . Weil sich die Funktionen

x\mapsto\frac{-2x}{1-x^2}\quad\text{und}\quad x\mapsto\frac{\lambda(\lambda+1)}{1-x^2}

über dem Intervall $(-1,1)$ in Potenzreihen entwickeln lassen, lässt sich über diesem Intervall die Differentialgleichung durch eine Potenzreihe auflösen. Wir beginnen mit

y(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k\cdot x^k

und der Abkürzung $\lambda(\lambda+1) = \alpha$ . Eine kleine Rechnung führt zur Rekursionsformel

c_{k+2} = \frac{k(k+1)-\alpha}{(k+1)(k+2)}\cdot c_k

mit $k\in\mathbb{N}_0$ . Wir können $c_0$ und $c_1$ frei wählen und erhalten die Werte für $c_k, k\geq2$ mit obiger Formel. Dies führt zu

y(x) = c_0g(x)+c_1h(x)

mit

g(x) = 1-\frac{\lambda(\lambda+1)}{2}x^2 - \sum_{k=2}^\infty\frac{\lambda(\lambda+1)}{2k}\left(1-\frac{\lambda(\lambda+1)}{2\cdot3}\right) \dots \cdot \left(1-\frac{\lambda(\lambda+1)}{(2k-2)(2k-1)}\right) x^{2k}

und

h(x) = x + \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(1-\frac{\lambda(\lambda+1)}{1\cdot2}\right) \dots\cdot \left(1-\frac{\lambda(\lambda+1)}{(2k-1)(2k)}\right) x^{2k+1}.

Wieder interessiert der Fall $\lambda=n\in\mathbb{N}$ besonders. Wenn $n$ gerade ist, setzen wir $p_n=g_n$ ; wenn $n$ ungerade ist, setzen wir $p_n=h_n$ . Das \definition{Legendre-Polynom} ist gegeben durch $P_n=\alpha_np_n$ , wobei $\alpha$ so bestimmt werden soll, dass der Koeffizient des Monoms $x^n$ in $P_n$ den Wert $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ annimmt. $P_n$ ist dann eine Lösung der Legendre'schen Differentialgleichung.

Die Tschebyscheff'sche Differentialgleichung

Sie ging aus dem Studium der Kolbenbewegung in Dampfmaschinen hervor und lautet

(1-x^2)y''-xy'+\lambda^2y = 0.

Sie kann ähnlich wie die Legendre-Gleichung durch einen Potenzreihenansatz über dem Intervall $(-1,1)$ gelöst werden und führt zu den Tschebyscheff-Polynomen.