Das Binomialexperiment

Es sei daran erinnert, dass ein mehrstufige Zufallsexperiment aus mehreren anderen Zufallsexperimenten besteht, die hintereinander ausgeführt werden. Im einfachsten Fall sind diese anderen Zufallsexperimente alle identisch, unabhängig voneinander und können nur zwei verschiedene Ergebnisse haben. Ist dies der Fall, nennt man das mehrstufige Experiment ein Binomial-Experiment. Die identischen, unabhängigen Experimente mit nur zwei Ergebnissen nennt man Bernoulli-Experiment. Die Anzahl der Repetitionen des Bernoulli-Experiments (eine feste Zahl $n$ ) nennen wir Wiederholungszahl oder Repetitionszahl.

Mit anderen Worten: Ein Binomialexperiment besteht aus $n$ Bernoulli-Experimenten, die in einer Folge durchgeführt werden. Aus diesem Grund wird ein Binomialexperiment auch als Bernoulli-Kette oder Bernoulli-Prozess der Länge $n$ bezeichnet.

Das prototypische Binomialexperiment ist "das mehrfache werfen einer Münze", etwa $n=5$ Mal werfen. In der Tat: das Experiment "einmal eine Münze werfen" ist ein Bernoulli-Experiment: Es gibt nur zwei Ergebnisse (Kopf oder Zahl), und wenn es mehrmals durchgeführt wird, sind die Ergebnisse des Experimente unabhängig voneinander.

Zusammenfasst, eine etwas formellere Definition:

Definition 1

Betrachte ein Experiment mit den beiden Ereignissen Erfolg ( $S$ ) und Misserfolg ( $F$ ). Wir nennen dieses Experiment ein Bernoulli-Experiment, wenn $S$ und $F$ eine Partition des Stichprobenraums bilden. Mit anderen Worten: Jedes Mal, wenn wir das Experiment durchführen, wird immer entweder $S$ oder $F$ eintreten, aber nie beide (sie schliessen sich gegenseitig aus).

Wir nennen $p(S)$ die Erfolgswahrscheinlichkeit und $p(F)$ die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Offensichtlich gilt

p(S)+p(F)=1

Example 1

Das Werfen einer Münze mit $S$ ="Kopf tritt ein" und $F$ ="Zahl tritt ein" ist ein Bernoulli-Experiment (unter der Annahme, dass der Fall "Landung auf dem Rand" als Möglichkeit ausgeschlossen wird). Wenn die Münze fair ist, ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p(S)=p(H)=0.5$ und die Misserfolgswahrscheinlichkeit $p(F)=p(T)=0.5$ .
Der Wurf eines Würfels mit $S$ ="eine Sechs ist aufgetreten" und $F$ ="keine Sechs ist aufgetreten" ist ein Bernoulli-Experiment. Wenn der Würfel fair ist, ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p(S)=1/6$ und die Misserfolgswahrscheinlichkeit $p(F)=5/6$ .

Definition 2

Betrachte ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p=p(S)$ , das $n$ mal wiederholt wird. Dieses neue Experiment wird Binomialexperiment mit Wiederholungszahl n und Erfolgswahrscheinlichkeit p genannt, falls das Bernoulli-Experiment $n$ mal wiederholt wird, sich die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ von einer Wiederholung zur nächsten nicht ändert und die Bernoulli-Experimente unabhängig voneinander sind.

Wir können dies noch formaler definieren, es ist aber ziemlich technisch. Klicke rechts, um mehr darüber zu erfahren.

Show

Für eine präzisere Formulierung definieren wir die Ereignisse

\begin{array}{lll} S_i&=&\text{"Erfolg in Wiederholung $i$"}\\ F_i&=&\text{"Misserfolg in Wiederholung $i$"}\end{array}

Die konstante Wahrscheinlichkeit können wir dann wie folgt ausdrücken:

\begin{array}{rll} p&=&p(S_1)=...=p(S_n)\\ 1-p&=&p(F_1)=...=p(F_n)\end{array}

und die Unabhängigkeit ist gegeben, falls:

\begin{array}{rll} p(S_2)&=&p(S_2\vert S_1)\\ &=&p(S_2\vert F_1)\\ p(S_3)&=&p(S_3\vert S_1\cap S_2)\\ &=&p(S_3\vert F_1\cap S_2)\\ &=&p(S_3\vert S_1\cap F_2)\\ &=&p(S_3\vert F_1\cap F_2)\\ ... &&\\ p(S_n)&=& p(S_n \vert S_1\cap ...\cap S_{n-1})\\ &=& p(S_n \vert F_1\cap ...\cap S_{n-1})\\ &...&\\ &=& p(S_n \vert F_1\cap ...\cap F_{n-1})\\ \end{array}

Mit anderen Worten: Ein Binomial-Experiment mit den Parametern $n$ und $p$ ist durch den folgenden Wahrscheinlichkeitsbaum repräsentiert:

Der Baum hat $n$ Generationen, und

\begin{array}{lll} S_i&=&\text{"Erfolg in der Wiederholung $i$"}\\ F_i&=&\text{"Misserfolg in der Wiederholung $i$"}\end{array}

und $p$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit und $1-p$ die Misserfolgswahrscheinlichkeit.

Example 2

Handelt es sich bei den folgenden Experimenten um Binomialexperimente? Wenn ja, wie lautet die Wiederholungszahl $n$ und die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ ?

Man wirft eine faire Münze $10$ mal, der Erfolg ist "Kopf trifft ein".
Zweimaliges Werfen eines fairen Würfels, der Erfolg ist "eine Sechs tritt auf".
Eine Schachtel enthält $4$ rote, $5$ weisse und $6$ schwarze Kugeln. Es werden zufällig $4$ Kugeln ausgewählt. Der Erfolg ist "eine schwarze Kugel wird gewählt".

Solution

ja, $n=10, p=0.5$ .
ja, $n=2, p=1/6$ .
Definiere $S_1$ ="schwarze Kugel in erster Auswahl" und $p(S_2)$ ="schwarze Kugel in zweiter Auswahl". Wenn die Auswahl mit Zurücklegen erfolgt, dann handelt es sich um ein Binomialexperiment, weil die Wiederholungen (oder Ereignisse $S_1$ und $S_2$ ) unabhängig voneinander sind. Es ist $n=4$ und die Erfolgswahrscheinlichkeit $p=6/15$ .

Erfolgt die Auswahl jedoch ohne Zurücklegen, dann ist es kein Binomialexperiment, denn $p(S_1)$ und $p(S_2)$ sind nicht gleich: $p(S_1)=6/15$ und $p(S_2)=6/14$ , $6/14$ oder $5/14$ , je nachdem, was zuerst ausgewählt wurde, eine rote, weisse oder schwarze Kugel.

Es sei an die Pfadregeln für Wahrscheinlichkeitsbäume erinnert. Zum Beispiel für $n=3$ ist die Wahrscheinlichkeit für drei Erfolge durch das Produkt der Zweigwahrscheinlichkeiten dieses Pfades gegeben:

p(SSS)=p(S_1\cap S_2\cap S_3)=p\cdot p\cdot p=p^3

und die Wahrscheinlichkeit, dass auf zwei Erfolge ein Erfolg oder ein Misserfolg folgt, ist die Summe der entsprechenden Pfadwahrscheinlichkeiten:

\begin{array}{lll} p(SSS \text{ or } SSF) &=& \underbrace{p(S_1\cap S_2\cap S_3)}_{\text{path }1}+\underbrace{p(S_1\cap S_2\cap F_3)}_{\text{path }2}\\ &=& \underbrace{p^3}_{\text{path }1}+\underbrace{p^2(1-p)}_{\text{path }2}\end{array}

Example 3

Betrachte eine gezinkte Münze mit $p(K)=0.2$ und $p(Z)=0.8$ . Die Münze wird $4$ mal geworfen.

Ist dies ein Binomialexperiment? Warum?
Zeichne den dazugehörigen Wahrscheinlichkeitsbaum. Benutze $K$ und $Z$ statt $S$ und $F$ . Die Indizes können ebenfalls weggelassen werden.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit $p(KZKZ)$ .
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es genau einen Kopf gibt.

Solution

Ja, die Erfahrung zeigt, dass Kopf oder Zahl in einer Wiederholung keinen Einfluss auf das Auftreten von Kopf oder Zahl in der nächsten Wiederholung hat, und die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg (zum Beispiel Kopf) ändert sich auch nicht.
Siehe Abbildung unten (wobei H=K und Z=T).
$p(KZKZ)=0.2\cdot 0.8\cdot 0.2\cdot 0.8=\underline{0.0256}$
Addiere alle Pfadwahrscheinlichkeiten mit Pfaden, die genau einen Kopf und drei Schwänze enthalten:

p(\text{1 Kopf})=4\cdot 0.2\cdot 0.8^3 = \underline{0.4096}

Exercise 1

Ein fairer Würfel wird $3$ -mal gewürfelt. Der Erfolg ist "der Würfel zeigt eine 6". Zeichne den dazugehörenden Wahrscheinlichkeitsbaum und bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "genau zwei Mal eine 6".

Solution

Es handelt sich um einen Binomialexperiment mit $n=3$ und $p=\frac{1}{6}$ (Erfolg ist "eine 6 tritt ein"). Der Baum ist unten dargestellt.

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$ ="genau zwei Mal eine $6$ " ist die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten, bei denen die Pfade durch zwei $6$ und durch "keine 6" führen. Daraus folgt,

p(E)=3\cdot \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\underline{0.069}