Koordinatensysteme

1d-Koordinatensysteme

Betrachte eine horizontale Gerade und einen Punkt $A$ auf der Geraden. Wie können wir die genaue Lage des Punktes auf der Geraden bestimmen? Wir wählen irgendwo auf der Linie einen Ursprung, und vereinbaren, dass wir uns in Schritten einer bestimmten Grösse entlang der Linie bewegen. Ausserdem:

• Wir zeigen die Schritte entlang der Linie mit kleinen Strichen an, und auch mit Zahlen, die die Anzahl der Schritte vom Ursprung aus angeben.
• Wir verwenden die Konvention, für eine positive Schrittzahl rechts zu gehen und für eine negative Schrittzahl links zu gehen.
• Die Richtung für die positiven Schrittzahlen wird immer durch einen Pfeil angegeben (siehe Abbildung).

Wir können nun angeben, wo der Punkt $A$ liegt, indem wir die Anzahl der Schritte zählen, die wir vom Ursprung bis $A$ gehen müssen. Diese Zahl wird die Koordinate von $A$ genannt. In unserem Beispiel hat der Punkt die Koordinate $4$, was bedeutet, dass wir $4$ Schritte gebraucht haben, um $A$ zu erreichen.

Die gerade Linie wird Achse genannt, und manchmal geben wir der Achse einen Namen, z. B. $x$-Achse. Wir sagen dann, dass der Punkt $A$ die Koordinate $x=4$ hat. Oder wir können auch $A(4)$ schreiben.

Exercise 1

Bestimme die Koordinate der unten angegebenen Punkte $A,B,C$ und $D$. Falls der Punkt nicht auf einem Strich liegt, gebe die Koordinate so gut wie möglich durch eine Dezimalzahl oder Bruch an.

Ebenfalls: zeichne so genau wie möglich die Punkte $E(7.75)$ und $F(-3.3)$ auf der Achse an.

Solution

$A(7), B(-2.5), C(0), D(2.5)$

2d-Koordinatensysteme

Betrachte nun eine Ebene (z.B. ein flaches Blatt Papier), und einen Punkt $A$ darauf. Um die genaue Lage von $A$ zu bestimmen, zeichnen wir nun zwei Achsen, eine waagerechte und eine senkrechte, und wählen ihre beiden Ursprünge im Schnittpunkt der Achsen. Ein solches System von zwei Achsen wird Kartesisches Koordinatensystem genannt.

In der Mathematik zeigt die horizontale Achse nach rechts und wird üblicherweise als $x$-Achse bezeichnet, und die vertikale Achse zeigt nach oben und wird üblicherweise als $y$-Achse bezeichnet. Beachte aber, dass dies keine feste Regel ist und diese Bezeichnungen sich ändern können, vor allem in der Physik.

Wir können nun die Lage von $A$ bestimmen, indem wir am Ursprung beginnen, nach rechts oder links gehen (in $x$-Richtung), bis wir genau unter oder über $A$ sind, und dann nach oben oder unten gehen (in $y$-Richtung), bis wir den Punkt erreichen. Die Anzahl der Schritte in $x$-Richtung nennt man die x-Koordinate des Punktes $A$, und die Anzahl der Schritte in $y$-Richtung nennt man die y-Koordinate von $A$.

Im folgenden Beispiel ist die x-Koordinate von $A$ $4$, und die $y$-Koordinate ist $5$, kurz $A(4|5)$, was bedeutet, dass ich 4 Schritte nach rechts gehen muss, bis ich genau unter $A$ bin, und dann $5$ Schritte nach oben, um $A$ zu erreichen. Beachte, dass ich auch zuerst um $5$ Schritte nach oben und dann um $4$ Schritte nach rechts gehen kann, um $A$ zu erreichen.

Beachte, dass es mehrere Schreibweisen für die Koordinaten eines Punktes gibt. Wir haben $A(4|5)$ verwendet, aber man sieht auch oft $A=(4|5)$ oder $A(4,5)$ oder $A=(4,5)$. Die erste Zahl ist immer bezüglich der horizontalen Achse, die zweite bezüglich der vertikalen Achse.

Zum Beispiel, im Koordinatensystem oben ist der Punkt $B$ durch die Koordinate $B(-4|-3)$ gegeben, d.h. ich muss zuerst $4$ Schritte nach links und dann $3$ Schritte nach unten gehen, um zu $B$ zu gelangen, oder umgekehrt, zuerst nach unten und dann nach links.

Das kartesische Koordinatensystem unterteilt die Ebene in $4$ Quadranten, die wir mit den römischen Zahlen $I$, $II$, $III$ und $IV$ bezeichnen (siehe Abbildung unten). Der Punkt $A$ in der obigen Koordinatensystem liegt also im ersten Quadranten (I), und der Punkt $B$ im dritten Quadranten (III).

Exercise 2

Bestimme die Koordinaten der Punkte im Koordinatensystem unten.

Solution

$A(5|1), B(-3|3), C(-2|0), D(3|-2), E(-4|-4)$

Exercise 3

Zeichne ein Koordinatensystem und zeichne die folgenden Punkte ein:

1. $A(1|1), B (-3| 2), C(-1| -3) , D(4| -2)$

2. $E(0| 0) , F(0| -2.5) , G(-4| 0.5) , H = (3| 0)$

Solution

Exercise 4

Zeichne für jede Aufgabe ein Koordinatensystem und gib alle Punkte an, für die die $x$- und $y$-Koordinaten durch die unteren Beziehungen gegeben sind:

1. $x=3$

2. $y=-1$

3. $x\in [-2,1]$

4. $y\in ]-3,3]$

5. $x\in [1,4]$ und $y\in [1,3]$

6. $x \leq -2$ und $y \leq -1$

7. $y=x$

8. $y=x+1$

9. $y=2x-1$

10. $y=-2x+1$

11. $y=-x$

12. $y=x^2$

13. $xy=1$

14. $y=-0.5x$

15. $x^2+y^2=1$

Solution