Erste Beispiele

Das Interesse an Differentialgleichungen ist schon alt. Denn sie eignen sich hervorragend zum Modellieren von Problemen der realen Welt, insbesondere physikalischer Natur. Es handelt sich dabei um Gleichungen, in denen eine Funktion $f$ und Ableitungen von $f$ vorkommen.

Die meisten Differentialgleichungen können nicht analytisch gelöst werden. Analytische Methoden liefern aber oft Aufschluss über Langzeitverhalten, Stabilität etc. Während das quantitative Verhalten heute recht bequem mit dem Computer untersucht werden kann, sind qualitative Aussagen fast ausschliesslich analytischen Untersuchungen zu verdanken.

Problemstellung

Example 1

Als erstes, einfaches Beispiel betrachten wir die Gleichung

f'(x)=f(x).

Exercise 1: Einfachste DGL

Nenne eine Lösungen obiger Differentialgleichung.

Solution

Beispielsweise erfüllt $f(x)=\mathrm{e}^x$ obige Differentialgleichung.

Definition 1: Gewöhnliche Differentialgleichung

Sucht man eine Funktion $f$ und gibt eine Relation zwischen $f$ und mindestens einer Ableitung von $f$ an, so spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

Modellprobleme

Bei einigen Problemen werde ich zur Begründung, warum gerade die angegebene Differentialgleichung untersucht wird, physikalischen Hintergrund erläutern. Diese sind aber für das Verstehen der Mathematik nicht notwendig.

Radioaktiver Zerfall

Example 2: Radioaktiver Zerfall

Durch Beobachtungen stellt man fest, dass zu einem Zeitpunkt $t$ die Anzahl Zerfälle proportional zur noch vorhandenen Stoffmenge $N(t)$ ist. Bezeichnen wir mit $N(t)$ die zum Zeitpunkt $t$ noch verbleibenden Reststoffmenge und mit $N_0$ die Stoffmenge zur Zeit $t=0$ , dann haben wir

\dot{N}(t)=-kN(t)

für ein $k\in\mathbb{R}^+$ . Das negative Vorzeichen oben interpretiert die Abnahme mit zunehmender Zeit. Wie im ersten Beispiel kann man eine Lösung sofort hinschreiben:

N(t)=N_0\mathrm{e}^{-kt}.

Wie lange dauert es, bis sich die Menge der radioaktiven Substanz halbiert hat? Bezeichnen wir mit $T$ diese Halbwertszeit, so erhalten wir

T=\frac{\ln(2)}{k}

und stellen fest, dass $T$ unabhängig von $N_0$ ist. (Radioaktiver Zerfall kommentiert)

Exercise 2: Halbwertszeit

Leite die Formel $T=\frac{\ln(2)}{k}$ her.

Solution

Es ist $N(T)=\frac{N_0}{2}$ , also $\frac{N_0}{2}=N_0\mathrm{e}^{-kT}$ . Daraus folgt $\frac{1}{2}=\mathrm{e}^{-kT}$ und sofort $\ln(\frac{1}{2})=-kT\Leftrightarrow T=\frac{\ln(2)}{k}$ .

Note 1

Allgemein führen Wachstums- und Zerfallsprozesse, bei denen die Veränderung proportional zur gegenwärtigen Grösse ist, auf Differentialgleichungen zu ähnlicher Gestalt wie oben.

RC Schaltkreis

Wir verwenden das bekannte

U=RI=\frac{Q}{C}.

Da der Strom die Änderung der Ladung pro Zeit darstellt, $\dot{Q}=-I$ , folgt

\dot{Q} = -\frac{Q}{RC}.

Als Lösung mit $Q(0) = Q_0$ erhält man

Q = Q_0 \mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}}.

(RC-Schaltkreis kommentiert)

Exercise 3: Einsetzübung

Rechne die Lösung nach.

Solution

Die innere Ableitung liefert den Koeffizienten: $\dot{Q}(t) = -\frac{1}{RC}\cdot Q_0 \mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}} = -\frac{1}{RC}\cdot Q(t)$ $\quad\checkmark$ .

Mathematisches Pendel

Example 3: Mathematisches Pendel

Ein Pendel der Länge $L$ und Masse $m$ sei an einem festen Punkt $P$ aufgehängt und schwinge in einer Ebene um die Ruhelage. Wir wollen den zeitlichen Verlauf dieser Bewegung studieren. Wir geben die Winkelauslenkung $\varphi$ zu jedem Zeitpunkt $t$ an, suchen also $\varphi(t)$ .

Offensichtlich wirkt auf $m$ die Kraft $F_G=mg$ , wobei der radiale Anteil dafür sorgt, dass die Schnur gespannt bleibt, und der Winkelanteil $mg\sin(\varphi)$ für die Winkelbeschleunigung $L\ddot{\varphi}$ verantwortlich ist. Damit ergibt sich

mL\ddot{\varphi}(t)=-mg\sin(\varphi(t)).

Formen wir die Gleichung nach $\ddot{\varphi}$ um und benutzen die bekannte Näherung für kleine Winkel, $\sin(\alpha)\approx\alpha$ , so haben wir

\ddot{\varphi}(t)=-\frac{g}{L}\varphi(t).

Setzt man $\omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}}$ , ergibt sich als Lösung

\varphi(t)=c_1\sin(\omega_0 t)+c_2\cos(\omega_0 t),

wobei $c_1,c_2\in\mathbb{R}$ beliebig sind. Man erkennt, dass für eine Anfangsauslenkung und eine Anfangsgeschwindigkeit eine eindeutige Lösung vorliegt. (Das Mathematische Pendel kommentiert)

Exercise 4: Pendel

Prüfe obige Lösung.

Solution

Es ist $\ddot{\varphi}(t)=-c_1\omega_0^2\sin(\omega_0 t)-c_2\omega_0^2\cos(\omega_0 t)=-\omega_0^2(c_1\sin(\omega_0 t)+c_2\cos(\omega_0 t))=-\omega_0^2\varphi(t)=-\frac{g}{L}\varphi(t)$ .

Die Traktrix

Example 4: Traktrix

In der $xy$ -Ebene ziehe man einen Punkt $P(x|y)$ an einer Schnur $PZ$ der Länge $a$ .

$Z$ soll auf der positiven $y$ -Achse fortrücken, und zu Beginn befinde sich $P$ in $(a,0)$ . Welche Kurve beschreibt $P$ ? Wir suchen eine Funktion $y=y(x)$ mit $|Z-P|=a$ . Betrachtet man den Steigungswinkel erhält man für den Punkt $P$

y'=-\frac{Z-y}{x}.

Ferner gilt

Z-y=\sqrt{a^2-x^2}

und damit

y'=-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}.

Mit der Bedingung $y(a)=0$ erhält man als Lösung

y(x)=a\cdot\ln\left(\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}\right)-\sqrt{a^2-x^2}.

(Die Traktrix kommentiert)

Exercise 5: 🧩

Überprüfe die Lösung.

Solution

Wir nehmen die Lösung $y(x)=a\ln\left(\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}\right)-\sqrt{a^2-x^2}$ und leiten ab:

\begin{align*} y' &= a\frac{x}{a+\sqrt{a^2-x^2}}\cdot\frac{\frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}}\cdot x(-2x)-(a+\sqrt{a^2-x^2})\cdot1}{x^2}-\frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}}\cdot(-2x)\\ &= \frac{ax}{a+\sqrt{a^2-x^2}}\cdot\frac{\frac{-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}-(a+\sqrt{a^2-x^2})}{x^2}+\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ &= \frac{ax}{a+\sqrt{a^2-x^2}}\cdot\left( -\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}\right)+\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ &= -\frac{ax}{(a+\sqrt{a^2-x^2})\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a}{x}+\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ &= \frac{-a^2\sqrt{a^2-x^2}-a(a^2-x^2)+x^2\sqrt{a^2-x^2}}{x(a+\sqrt{a^2-x^2})\sqrt{a^2-x^2}}\\ &= -\frac{a^2+a\sqrt{a^2-x^2}-x^2}{x(a+\sqrt{a^2-x^2})}\\ &= -\frac{a(a+\sqrt{a^2-x^2})-(a+\sqrt{a^2-x^2})(a-\sqrt{a^2-x^2})}{x(a+\sqrt{a^2-x^2})}\\ &= -\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x} \end{align*}