Brüche

Eine Division wird oft als Bruch dargestellt.

\boxed{a:b = \frac{a}{b}}

wobei wir die folgende Namensgebung haben:

\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}=\text{Quotient}

Beispiele:

$4:2=\frac{4}{2}$
$1:3 = \frac{1}{3}$
$(2x+y):(z+3)=\frac{2x+y}{z+3}$
$(ab):(abc)=\frac{ab}{abc}$
$\frac{2}{3}:4 = \frac{\frac{2}{3}}{4}$

Brüche sind Terme. Daher wollen wir noch einmal die möglichen Operationen verstehen, die wir auf Terme mit Brüchen anwenden können, ohne sie zu verändern (d. h. äquivalente Umformungen). Dies wird im folgenden Abschnitt behandelt.

Auflösen des Bruchstrichs

Da $a:1=a$ und $a:a=1$ , folgt

\boxed{\frac{a}{1}=a} \quad \text{and}\quad \boxed{\frac{a}{a}=1}

Beispiele:

$\frac{3}{1}=3$
$\frac{-10}{-10}=1$
$\frac{3x-3+2y+b}{1}=3x-3+2y+b$
$\frac{2x+1}{2x+1}=1$

Multiplikationsregel für Brüche

Die Multiplikation zweier Brüche kann auf folgende Weise als ein Bruch geschrieben werden: Man multipliziert die beiden Zähler und multipliziert die beiden Nenner:

\boxed{\frac{a}{b}\cdot \frac{u}{v} = \frac{a\cdot u}{b\cdot v} }

oder ohne Multiplikationszeichen:

\frac{a}{b}\frac{u}{v} = \frac{a u}{b v}

Beispiele:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 7} = \frac{10}{21}$
$\frac{3}{5} \cdot \frac{x}{4} = \frac{3x}{5\cdot 4}=\frac{3x}{20}$
$\frac{x}{y} \cdot \frac{(x+1)}{z} = \frac{x(x+1)}{yz}$
$\frac{1}{a}\frac{1}{b}=\frac{1\cdot 1}{ab}=\frac{1}{ab}$
$2\cdot \frac{3}{4}= \frac{2}{1}\cdot \frac{3}{4}=\frac{2\cdot 3}{1\cdot 4}=\frac{6}{4}$

Besonderer Fall:

\boxed{\frac{a}{b}=a\cdot \frac{1}{b}=a\frac{1}{b}}

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Wir haben

\frac{a}{b}=\frac{a\cdot 1}{1\cdot b}=\frac{a}{1} \cdot \frac{1}{b} = a\cdot \frac{1}{b}

Beispiele

$3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
$a\cdot \frac{1}{a}=\frac{a\cdot 1}{a}=\frac{a}{a}=1$
$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}=(x+1)\frac{x-1}{x-1}=(x+1)\cdot 1=x+1$

Exercise 1

Schreibe als einen einzigen Bruch:

$x \frac{d}{p}$
$\frac{u}{k} y$
$3y\frac{9z}{8}$
$\frac{u}{i}:x$
$\frac{t}{k}\frac{a}{b}$
$\frac{2ax}{3p}\frac{5c}{7z}$
$(x+y)\frac{a-b}{2k}c$
$\frac{2p+x}{c-d}(u+f)$
$\frac{e+f}{m+n}\frac{x-2y}{x+y}$

Solution

$x \frac{d}{p}=\frac{x}{1}\frac{d}{p}=\frac{xd}{p}$
$\frac{u}{k} y=\frac{u}{k}\frac{y}{1}=\frac{uy}{k}$
$3y\frac{9z}{8}=\frac{3y}{1}\frac{9z}{8}=\frac{27yz}{8}$
$\frac{u}{i}:x=\frac{\frac{u}{i}}{x}$
$\frac{t}{k}\frac{a}{b}=\frac{at}{bk}$
$\frac{2ax}{3p}\frac{5c}{7z}=\frac{10acx}{21pz}$
$(x+y)\frac{a-b}{2k}c = \frac{c(a-b)(x+y)}{2k}$
$\frac{2p+x}{c-d}(u+f)=\frac{(2p+x)(u+f)}{c-d}$
$\frac{e+f}{m+n}\frac{x-2y}{x+y}=\frac{(e+f)(x-2y)}{(m+n)(x+y)}$

Brüche und das negative Vorzeichen

Das Minuszeichen kann nach oben oder unten oder nach vorne verschoben werden:

\boxed{\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}}

Auch ein negatives Vorzeichen im Zähler und im Nenner kann gestrichen werden

\boxed{\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}}

Beispiele:

$\frac{1}{-3}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$
$\frac{-(x+2)}{3}=\frac{x+2}{-3}=-\frac{x+2}{3}$
$\frac{-(a+3c+1)}{a+3c}=\frac{a+3c+1}{-(a+3c)}=-\frac{a+3c+1}{a+3c}$
$\frac{-(x-1)}{-(x+2)}=\frac{x-1}{x+2}$

Wichtig: Achten in den obigen Beispielen darauf, wie wir die Klammern verwenden:

\frac{-(a-4)}{b+5}=\frac{a-4}{-b+5}\quad\text{FALSCH!!}

\frac{-(a-4)}{b+5}=\frac{a-4}{-(b+5)}\quad\text{RICHTIG!!}

Warum sind diese Regeln richtig? Klicke rechts für eine Erklärung.

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Erklärung

Es folgt aus der Notation von Brüche, dass

$1=\frac{-1}{-1}$ . Thus we have, for example

\frac{-2}{3}=1\cdot \frac{-2}{3}=\frac{-1}{-1}\cdot\frac{-2}{3} = \frac{-1\cdot-2}{-1\cdot 3}=\frac{2}{-3}

Beobachte, wie das Minuszeichen nach unten wandert. Um zu verstehen, warum wir das Minuszeichen vor den Bruch stellen können, können wir schreiben

\frac{-2}{3}=\frac{-1 \cdot 2}{3}=-1 \cdot\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}

Exercise 2

Was ist richtig?

$\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$
$\frac{-3x}{y}=\frac{3x}{-y}$
$-\frac{8z}{11k}=\frac{-8z}{-11k}$
$\frac{-4}{7}=\frac{1}{7}\cdot (-4)$
$\frac{0}{25}=0$
$\frac{25}{0}=0$

Solution

$\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$ richtig
$\frac{-3x}{y}=\frac{3x}{-y}$ richtig
$-\frac{8z}{11k}=\frac{-8z}{-11k}$ falsch
$\frac{-4}{7}=\frac{1}{7}\cdot (-4)$ richtig
$\frac{0}{25}=0$ richtig, da $0:25=0$ (teilt man nichts durch $25$ erhält man immer noch nichts)
$\frac{25}{0}=0$ falsch, ist unendlich (da unendlich viele 0en in 25 passen)

Vereinfachen von Brüchen

Gleiche Faktoren(!!) im Zähler und im Nenner können gestrichen werden (gekürzt):

\boxed{ \frac{a u}{a v} = \frac{u}{v}}

Wir können dies auf Unterbegriffe verallgemeinern, die wir jetzt mit Grossbuchstaben bezeichnen:

\boxed{ \frac{A\cdot U}{ A\cdot V} = \frac{U}{V}}

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Daraus folgt, dass

\frac{au}{av}=\frac{a}{a} \frac{u}{v}=1\cdot \frac{u}{v}=\frac{u}{v}

Beispiele:

$\frac{4}{6}=\frac{2\cdot 2}{2\cdot 3}=\frac{2}{3}$
$\frac{2a+4}{8}=\frac{2(a+2)}{ 2\cdot 4} = \frac{a+2}{4}$
$\frac{ax+ay}{2a}=\frac{a(x+y)}{2 a}=\frac{x+y}{2}$
$\frac{(x+1)x}{(x+1)y}=\frac{x}{y}$

Es ist wichtig zu beachten, dass wir einen Term (Zahl, Variable, ...) nur dann kürzen können, wenn er sowohl im Nenner wie auch im Zähler als Faktor auftritt, daher durch eine Multiplikation getrennt ist. Zum Beispiel

\frac{a+x}{b\cdot x}= \frac{a}{b} \quad \text{FALSCH!!}

\frac{a+x}{b+x}= \frac{a}{b} \quad \text{FALSCH!!}

\frac{a\cdot x}{b\cdot x}= \frac{a}{b} \quad \text{RICHTIG!!}

Exercise 3

Vereinfache soweit wie möglich:

$\frac{2ax}{22xby}$
$\frac{2a+x}{22xby}$
$\frac{2ax+cx}{22xby}$
$\frac{14cd}{9cx-5x}$
$\frac{3ax}{33xby-6x}$
$\frac{-2pq}{-5ax}$
$\frac{abx-2ax}{3ab+bx}$
$\frac{21(2x+y)(a-c)}{3(a+c)(2x+y)}$
$\frac{3an-2a^2n^2}{5xan-an}$
$\frac{5ax+ax^2-2a}{a^2+5ax}$

Solution

$\frac{2ax}{22xby}=\frac{2x\cdot a}{2x\cdot 11by}=\frac{a}{11by}$
$\frac{2a+x}{22xby}$ kann nicht vereinfacht werden
$\frac{2ax+cx}{22xby}=\frac{x\cdot (2a+c)}{x\cdot 22by}=\frac{2a+c}{22by}$
$\frac{14cd}{9cx-5x}$ kann nicht vereinfacht werden
$\frac{3ax}{33xby-6x}=\frac{3x\cdot a}{3x\cdot (11by-2)}=\frac{a}{11by-2}$
$\frac{-2pq}{-5ax}=\frac{2pq}{5ax}$
$\frac{abx-2ax}{3ab+bx}$ kann nicht vereinfacht werden
$\frac{21(2x+y)(a-c)}{3(a+c)(2x+y)}=\frac{3(2x+y)\cdot 7(a-c)}{3(2x+y)\cdot (a+c)}=\frac{7(a-c)}{a+c}$
$\frac{3an-2a^2n^2}{5xan-an}=\frac{an(3-2an)}{an(5x-1)}=\frac{3-2an}{5x-1}$
$\frac{5ax+ax^2-2a}{a^2+5ax}=\frac{a(5x+x^2-2)}{a(a+5x)}=\frac{x^2+5x-2}{a+5x}$

Erweitern von Brüchen

Das Gegenteil von Kürzen ist Erweitern. Wir erweitern einen Bruch um $x$ , wenn wir den Zähler und den Nenner mit $x$ multiplizieren:

\boxed{\frac{a}{b}=\frac{ax}{bx}}

Example:

$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{10}{15}$ (erweitert um $5$ )
$\frac{3}{x}=\frac{3(a+1)}{x(a+1)}$ (erweitert um $a+1$ )

Es stimmt, dass der Bruch komplizierter wird, wenn er erweitert wird. Aber für die Addition und die Subtraktion von Brüchen wird die Erweiterung benötigt (siehe später).

Exercise 4

Erweitere ...

$\frac{x}{y}$ by $3$
$\frac{a+b}{c}$ by $x$
$\frac{2az}{3b}$ by $x+y$
$\frac{2u+2ax-p^2}{7a-22p}$ by $x$
$\frac{s+t}{2s-t}$ by $s+t$

Solution

$\frac{x}{y}=\frac{3x}{3y}$
$\frac{a+b}{c}=\frac{x(a+b)}{xc}$
$\frac{2az}{3b}=\frac{2az(x+y)}{3b(x+y)}$
$\frac{2u+2ax-p^2}{7a-22p}=\frac{x(2u+2ax-p^2)}{x(7a-22p)}$
$\frac{s+t}{2s-t}=\frac{(s+t)(s+t)}{(s+t)(2s-t)}=\frac{(s+t)^2}{(s+t)(2s-t)}$

Division von Brüchen, oder Doppelbrüche

Wenn sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Bruch steht, haben wir einen Doppelbruch vor uns, der wie folgt umgewandelt werden kann:

\boxed{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{u}{v}} = \frac{a}{b}\cdot \frac{v}{u}}

Wir können also den oberen Bruch mit dem Kehrwert des unteren Bruches multiplizieren. Zum Beispiel

\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{7}} = \frac{2}{3}\cdot \frac{7}{4} =\frac{14}{12}

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Es ist

\frac{u}{v} \cdot \frac{v}{u}=\frac{uv}{vu}=1

Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch $\frac{u}{v}$ dividieren, bekommen wir

\frac{v}{u}=\frac{1}{\;\frac{u}{v}\; }

Also

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{u}{v}} = \frac{a}{b}\cdot \frac{1}{\frac{u}{v}} = \frac{a}{b}\cdot \frac{v}{u}

Was aber, wenn ein Bruch nur im Zähler oder im Nenner steht? Dann verwandeln wir den Term einfach in einen Doppelbruch:

\boxed{\frac{\frac{a}{b}}{u}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{u}{1}}=\frac{a}{b}\frac{1}{u}=\frac{a}{bu}}

\boxed{\frac{a}{\frac{u}{v}}=\frac{\frac{a}{1}}{\frac{u}{v}}=\frac{a}{1}\frac{v}{u}=\frac{av}{u}}

Beispiele:

$\frac{2}{\frac{3}{4}}=\frac{\frac{2}{1}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}=\frac{8}{3}$
$\frac{\frac{3}{4}}{2}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{2}{1}}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$

Exercise 5

Schreibe als einen einzigen Bruch und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich:

$\frac{1}{\frac{3}{2}}$
$\frac{1}{\frac{2x}{5y}}$
$5:\frac{35}{17}$
$\frac{35}{17}:5$
$\frac{9x}{\frac{8x}{7a}}$
$\frac{5y}{\frac{2x}{7y}}$
$\frac{\frac{13}{25}}{\frac{9}{5}}$
$\frac{2cx}{3a}:\frac{5ac}{6y}$
$\frac{\frac{16ux}{3pz}}{\frac{4uy+x}{4u}}$

Solution

$\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{1}{1}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{1}\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$
$\frac{1}{\frac{2x}{5y}}=\frac{\frac{1}{1}}{\frac{2x}{5y}}=\frac{1}{1}\frac{5y}{2x}=\frac{5y}{2x}$
$5:\frac{35}{17}=\frac{5}{\frac{35}{17}}=\frac{\frac{5}{1}}{\frac{35}{17}}=\frac{5}{1}\frac{17}{35}=\frac{5\cdot 17}{5\cdot 7}=\frac{17}{7}$
$\frac{35}{17}:5=\frac{\frac{35}{17}}{5}=\frac{\frac{35}{17}}{\frac{5}{1}}=\frac{35}{17}\frac{1}{5}=\frac{5\cdot 7}{5\cdot 17}=\frac{7}{17}$
$\frac{9x}{\frac{8x}{7a}}=\frac{\frac{9x}{1}}{\frac{8x}{7a}}=\frac{9x}{1}\frac{7a}{8x}=\frac{9x7a}{8x}=\frac{63a}{8}$
$\frac{5y}{\frac{2x}{7y}}=\frac{\frac{5y}{1}}{\frac{2x}{7y}}=\frac{5y}{1}\frac{7y}{2x}=\frac{35y^2}{2x}$
$\frac{\frac{13}{25}}{\frac{9}{5}}=\frac{13}{25}\frac{5}{9}=\frac{13\cdot 5}{5\cdot 5\cdot 9}=\frac{13}{45}$
$\frac{2cx}{3a}:\frac{5ac}{6y}=\frac{\frac{2cx}{3a}}{\frac{5ac}{6y}}=\frac{2cx}{3a}\frac{6y}{5ac}=\frac{3c\cdot 4 xy}{3c\cdot 5a^2}=\frac{4 xy}{5a^2}$
$\frac{\frac{16ux}{3pz}}{\frac{4uy+x}{4u}}=\frac{16ux}{3pz} \frac{4u}{4uy+x}=\frac{64u^2x}{3pz(4uy+x)}$

Additions- und Subtraktionsregel

Um zwei Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen die Brüche zunächst so erweitert werden, dass beide Brüche den gleichen Nenner haben. Dann können die Zähler addiert oder subtrahiert werden.

\boxed{\frac{a}{b} +\frac{u}{v} = \frac{av}{bv}+\frac{bu}{bv}=\frac{av+bu}{bv}}

Beispiele:

$\frac{2}{3}+\frac{4}{7}=\frac{14}{21}+\frac{12}{21}=\frac{26}{21}$
$\frac{3}{8}-\frac{5}{6}=\frac{9}{24}-\frac{20}{24}=-\frac{11}{24}$
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$
$\frac{a}{2cx}+\frac{b}{3dx}= \frac{3d\cdot a}{3d\cdot 2cx}+\frac{2c\cdot b}{2c\cdot 3dx}=\frac{3da+2cb}{6cdx}$
$3+\frac{1}{4}=\frac{12}{4}+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}$
$a+\frac{2}{b}=\frac{ab}{b}+\frac{2}{b}=\frac{ab+2}{b}$

Exercise 6

Schreibe als einfachen Bruch und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich:

$\frac{4}{15}+\frac{7}{18}$
$\frac{5}{12}-\frac{11}{42}$
$\frac{2p}{7}+\frac{9f}{7}$
$\frac{5z}{8s}-\frac{2z}{8s}$
$\frac{9x+y}{7ab}+\frac{6x-2y}{7ab}$
$\frac{2a-3b}{5kt}-\frac{a-2b}{5kt}$
$\frac{x}{z}+\frac{p}{n}$
$\frac{k}{2py}+\frac{n}{3px}$
$\frac{4}{5xz}-\frac{7}{18xy}$
$\frac{a-b}{6xt}-\frac{2a+b}{9ty}$
$\frac{3t}{10acd}+\frac{5s}{6bd}-\frac{7v}{15ab}$
$\frac{4a}{45xz}-\frac{7b}{30xyz}+\frac{2c}{75zy}$

Solution

$\frac{4}{15}+\frac{7}{18}=\frac{24}{90}+\frac{35}{90}=\frac{59}{90}$
$\frac{5}{12}-\frac{11}{42}=\frac{35}{84}-\frac{22}{84}=\frac{13}{84}$
$\frac{2p}{7}+\frac{9f}{7}=\frac{2p+9f}{7}$
$\frac{5z}{8s}-\frac{2z}{8s}=\frac{5z-2z}{8s}=\frac{3z}{8s}$
$\frac{9x+y}{7ab}+\frac{6x-2y}{7ab}=\frac{9x+y+6x-2y}{7ab}=\frac{15x-y}{7ab}$
$\frac{2a-3b}{5kt}-\frac{a-2b}{5kt}=\frac{2a-3b-a+2b}{5kt}=\frac{a-b}{5kt}$
$\frac{x}{z}+\frac{p}{n}=\frac{xn}{zn}+\frac{pz}{nz}=\frac{xn+pz}{nz}$
$\frac{k}{2py}+\frac{n}{3px}=\frac{3kx}{6pxy}+\frac{2ny}{6pxy}=\frac{3kx+2ny}{6pxy}$
$\frac{4}{5xz}-\frac{7}{18xy}=\frac{72y}{90xyz}-\frac{35z}{90xyz}=\frac{72y-35z}{90xyz}$
$\frac{a-b}{6xt}-\frac{2a+b}{9ty}=\frac{3y(a-b)}{18xyt}-\frac{2x(2a+b)}{18xyt}=\frac{3ay-3yb-4ax-2bx}{18xyt}$
$\frac{3t}{10acd}+\frac{5s}{6bd}-\frac{7v}{15ab}=\frac{9bt}{30abcd}+\frac{25acs}{30abcd}-\frac{14cdv}{30abcd}=\frac{9bt+25acs-14cdv}{30abcd}$
$\frac{4a}{45xz}-\frac{7b}{30xyz}+\frac{2c}{75zy}=\frac{40ay}{450xyz}-\frac{105b}{450xyz}+\frac{12cx}{450xyz}=\frac{40ay-105b+12cx}{450xyz}$