Taylorreihen

Definition 1: Stetig in x_0

Eine Funktion $f:\mathbb{I}\longrightarrow\mathbb{R}$ auf einem offenen Intervall $\mathbb{I}\subset\mathbb{R}$ heisst stetig in $x_0$ , falls

\lim_{h\to0}f(x_0+h)=f(x_0).

Definition 2: Differenzierbar in x_0

Eine Funktion $f:\mathbb{I}\longrightarrow\mathbb{R}$ auf einem offenen Intervall $\mathbb{I}\subset\mathbb{R}$ heisst differenzierbar in $x_0$ , falls

\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

existiert.

Ist $f$ auf ganz $\mathbb{I}$ unendlich oft differenzierbar, so nennen wir $f$ glatt.

Theorem 1

Jede in $x_0$ differenzierbare Funktion ist stetig.

Proof

Sei $f$ in $x_0\in\mathbb{I}$ differenzierbar. Dann existiert

\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h};

dabei muss $\lim_{h\to0}f(x_0+h)-f(x_0)=0$ sein, da sonst wegen $h\to0$ der Quotient explodieren würde. Es folgt unmittelbar $\lim_{h\to0}f(x_0+h)=f(x_0)$ , das heisst $f$ ist stetig in $x_0$ .

Exercise 1: f als Polynomfunktion

Betrachte das Polynom $n$ -ten Grades

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0.

Notiere $f^{(k)}(0)$ für $k\in\{0,\dots,n\}$ .

Solution

Für die $k$ -te Ableitung gilt $f^{(k)}(0)=k!a_k$ und daher $a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}.$

Daraus schliesst man, dass eine unendlich oft differenzierbare Funktion $f$ in der Form

f(x)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}+\dots+\frac{f'(0)}{1!}x+f(0)

dargestellt werden, wobei ein Fehlerrest auftauchen kann, auf den hier nicht eingegangen wird.

Für die Fortsetzung brauchen wir ergänzend

Definition 3: Analytisch

Sei $D \subseteq \mathbb{R}$ eine offene Teilmenge.

Eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{R}$ heisst analytisch im Punkt $x_0 \in D$ , wenn es eine Potenzreihe der Form

\sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n

gibt, die in einer Umgebung von $x_0$ gegen $f(x)$ konvergiert.

Ist $f$ in jedem Punkt von $D$ analytisch, so heisst $f$ analytisch auf $D$ .

Zu den analytischen Funktionen gehören die Polynome, die trigonometrischen und Exponentialfunktionen und deren Umkehrfunktionen, sowie die aus ihnen durch Grundrechenarten erzeugten Funktionen.

Note 1

Es gibt glatte Funktionen, die nicht analytisch sind. Klassisches Beispiel:

f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}\quad &x\neq0\\ 0\quad &x=0 \end{cases}

Ihre Taylorreihe bei $x_0=0$ ist überall gleich null und stimmt daher in $x\neq0$ nicht mit der Funktion $f$ überein.

Da jedoch viele, "wichtige" unendlich oft differenzierbare Funktionen näherungsweise als Reihe dargestellt werden können, definiert man

Definition 4: Taylorreihe

Sei $f$ eine bei $x_0=0$ definierte und beliebig oft differenzierbare, analytische Funktion. Dann heisst das Polynom

\mathcal{T}_f(x,x_0=0)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\dots

die MacLaurin-Reihe von $f$ . Soll nicht zwangsläufig um $x_0=0$ entwickelt werden, so spricht man allgemein von der Taylor-Reihe von $f$ an der Stelle $x_0$ . (Taylor-Reihe kommentiert)

Example 1

Wir betrachten einige Funktionen und deren Taylorentwicklung um $x_0=0$ .

a) Für $\sin(x)$ erhalten wir die bekannte Darstellung

\mathcal{T}_{\sin}(x,x_0=0)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots.

Es scheint so, als ob $\sin(x)$ als Taylorreihe darstellbar wäre.

b) $f(x)=\frac{1}{1-x}$ wird zu

\mathcal{T}_f(x,x_0=0)=1+x+x^2+x^3+\dots,

was wir aus der Theorie über Folgen & Reihen kennen. Damit kann aber die Taylorentwicklung höchstens für $-1<x<1$ gegen $f$ konvergieren.

Solution

a) Es ist $f(x)=\sin(x)$ , $f'(x)=\cos(x)$ , $f''(x)=-\sin(x)$ , $f^{(3)}(x)=-\cos(x)$ und danach $f^{(4)}(x)=f(x)$ . Um $x=0$ entwickelt gilt dann $f(0)=0$ , $f'(0)=1$ , $f''(0)=0$ , $f^{(3)}(0)=-1$ . Damit ergibt sich die oben stehende Taylorreihe.

b) Hier haben wir $f(x)=\ln(x+1)$ , $f'(x)=\frac{1}{x+1}=(x+1)^{-1}$ , $f''(x)=-(x+1)^{-2}$ , $f^{(3)}(x)=-2(x+1)^{-3}$ und also $f^{(k)}(x)=(-1)^k(k-1)!(x+1)^{-k}$ . Daraus folgt $f(0)=0$ , $f'(0)=1$ , $f''(0)=-1$ , $f^{(k)}(0)=(-1)^k(k-1)!$ und damit obige Taylorreihe.

Open in GeoGebra

Die Animation zeigt die Entwicklung der MacLaurin-Reihe der Funktion $f(x) = \sin(x)$ , wobei k $\in \mathbb{N}$ , die Anzahl der Terme der Potenzreihe, beziehungsweise den Grad des zugehörigen des Polynoms bezeichnet. Mit zunehmendem k nähert sich das Polynom der Funktion $f$ immer genauer an.

Exercise 2: Taylorreihen bestimmen

Bestimme die Taylorreihe um $x_0=0$ der folgenden Funktionen:

f(x)=\mathrm{e}^x

f(x)=\ln(x+1)

s(t)=\frac{1}{2}\mathrm{g}t^2+v_0t+s_0

m(v)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{\mathrm{c}^2}}}

Solution

a) Es ist $f^{(k)}(x)=\mathrm{e}^x$ und $f^{(k)}(0)=1$ für alle $k\in\mathbb{N}_0$ . Also lautet die Taylorreihe von $f$ um $x_0=0$

\mathcal{T}_{\mathrm{e}^x}(x,x_0=0)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\dots=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}x^k.

b) $\ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots...$

c) Da $s$ selbst ein Polynom ist, repräsentiert $s$ seine Taylorreihe.

d) Wir berechnen die Ableitungen:

\begin{align*} m'(v) &= \frac{v m_0}{c^2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\tfrac{3}{2}}\\ m''(v) &= \frac{m_0}{c^2} \left( \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-3/2} + v \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \left( \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-5/2} \cdot \left(-\frac{2v}{c^2}\right) \right) \right) \end{align*}

Wir faktorisieren $\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-\tfrac{5}{2}}$ und erhalten:

m''(v) = \frac{m_0}{c^2} \left(1 + 2\frac{v^2}{c^2}\right) \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-\tfrac{5}{2}}

etc.

Mit $v = 0$ erhalten wir folgenden Taylorreihe:

m(v) = m_0+\frac{1}{2}m_0\left(\frac{v}{c}\right)^2+\frac{3}{8}m_0\left(\frac{v}{c}\right)^4+\frac{5}{16}m_0\left(\frac{v}{c}\right)^6+\dots

Note 2

Für die Taylorentwicklung allgemein in einem Punkt $x_0\neq0$ einer Funktion $f$ findet man

\begin{align*} \mathcal{T}_f(x,x_0) &= f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots\\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k. \end{align*}

Exercise 3: Taylorreihen bestimmen II

Bestimme die Taylorentwicklung bei $x_0$ von

f(x)=\frac{1}{1-x}.

Berechne dazu zuerst $f^{(k)}(x)$ . Notiere dann $\mathcal{T}_f(x,x_0=a)$ in geschlossener Form und explizite die ersten drei Summanden. Berechne anschliessend Näherungen für z.B. $x_0=-2,0,2,\dots$ .

Solution

Wir bemerken zuerst, dass wir bei $x_0=1$ eine Definitionslücke haben. Wir sehen $f(x)=(1-x)^{-1}$ und damit $f'(x)=(1-x)^{-2}$ , $f''(x)=2(1-x)^{-3}$ , $f'''(x)=6(1-x)^{-4}$ . Allgemein $f^{(k)}(x)=k!(1-x)^{-(k+1)}$ . Also gilt für die Taylorentwicklung um $x_0$

\mathcal{T}_f(x,x_0=a)=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{(1-a)^2}(x-a)+\frac{1}{(1-a)^3}(x-a)^2+\dots

Den Rest kann man sich selber denken.

Rechnen mit Potenzreihen

Schaut man sich die ersten vier nichtverschwindenden Terme der MacLaurin-Reihe von $\sin(x^2)$ an, so stellt man sich die Frage, ob diese Funktion nicht einfacher zu entwickeln wäre.

\begin{align*} f(x) &= \sin(x^2) \\ f'(x) &= 2x\cos(x^2) \\ f''(x) &= 2\cos(x^2)-4x^2\sin(x^2) \\ f'''(x) &= -8x^3\cos(x^2)-12x\sin(x^2) \\ f^{(4)}(x) &= 16x^4\sin(x^2)-48x^2\cos(x^2)-12\sin(x^2) \end{align*}

Somit $\mathcal{T}_f(x)=x^2+\dots$ und die weiteren Terme sind mühsam zu bestimmen. Einfacher geht es aber mit folgendem Satz.

Theorem 2

Innerhalb des Konvergenzradius dürfen Potenzreihen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert, gliedweise differenziert und integriert und in den Potenzreihen substituiert werden.

Proof

Skizze: Mit dem Wurzelkriterium für Konvergenz findet man für den Radius

R=\frac{1}{\lim\mathrm{sup}_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}.

Daraus nimmt man immer einen lokal minimalen Wert.

Example 2

\sin(x^2)=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\frac{x^{14}}{7!}+\dots

Example 3

\begin{align*} \sin x\cdot\cos x &= \left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\dots\right)\cdot\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots\right)\\ &= x-\left(\frac{1}{2!1!}+\frac{1}{3!}\right)x^3+\left(\frac{1}{5!}+\frac{1}{4!1!}+\frac{1}{3!2!}\right)x^5-\dots\\ &\stackrel{*}{=}x-\frac{4}{3!}x^3+\frac{16}{5!}x^5-\frac{64}{7!}x^7+\dots\\ &=\frac{1}{2}\left(2x-\frac{(2x)^3}{3!}+\frac{(2x)^5}{5!}-\frac{(2x)^7}{7!}+\dots\right)\\ &=\frac{1}{2}\sin(2x) \end{align*}

Wir begründen noch die Umformung bei $*$ :

\begin{align*} &\phantom{=}\frac{1}{(2k+1)!}+\frac{1}{(2k)!\cdot1!}+\frac{1}{(2k-1)!\cdot2!} +\dots+\frac{1}{(k+1)!k!}\\ &=\frac{1+(2k+1)+\frac{(2k+1)2k}{2!}+\dots+\frac{(2k+1)!}{(k+1)!k!}}{(2k+1)!}\\ &=\frac{\binom{2k+1}{0}+\binom{2k+1}{1}+\dots+\binom{2k+1}{k+1}}{(2k+1)!}\\ &=\frac{2^{2k+1}/2}{(2k+1)!}\\ &=\frac{2^{2k}}{(2k+1)!} \end{align*}

Exercise 4: MacLaurin-Reihe bestimmen

Gib die ersten $4$ nicht verschwindenden Terme der MacLaurin-Reihe für

a) $f(x)=\frac{x}{1-x^2}$

b) $g(x)=\frac{\ln(x+1)}{x}$

Solution

a) $f(x)=x(1-x^2)^{-1}$ interpretieren wir als geometrische Reihe. Daher haben wir

\mathcal{T}_f(x,x_0=0) = x+x^3+x^5+\dots

für $-1<x<1$ .

b) Oben haben wir die Taylorreihe für $\ln(x+1)$ berechnet:

\ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots...

Daraus folgt

\mathcal{T}_g(x) = 1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x^3+\dots

Ist eine Funktion $f$ durch ihre Taylorreihe darstellbar, so kann auf beiden Seiten der Gleichung abgeleitet oder integriert werden. Damit erhält man neue Beziehungen.

Example 4

Sei

f(x)=\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\dots,

dann folgt bei Ableitung die aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung bekannte "Warten-auf-einen-Erfolg-Wahrscheinlichkeit"

f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+\dots.

Integriert man, so erscheint mit $C=0$

\int f(x) \mathrm{d}x=-\ln(1-x)=x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\dots.

Note 3

Als Zückerchen erhält man Näherungen für Stammfunktionen nicht geschlossen integrierbaren Funktionen wie zum Beispiel

\int \mathrm{e}^{x^2}\mathrm{d}x =\int\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\dots\right)\mathrm{d}x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{10}x^5+\dots.

Nun ist auch klar, dass sich Taylorreihen eignen, um numerische Lösungen von Differentialgleichungen zu finden. Wir verfolgen

Example 5

Betrachte

y'' = y-x^3

mit den Anfangsbedingungen $f(0)=a_0=0$ und $f'(0)=a_1=6$ . Wir wählen als Ansatz eine Potenzreihe

y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots

mit zweiter Ableitung

y''=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+20x^3+\dots.

Daraus erhalten wir

y-x^3=a_0+a_1x+a_2x^2+(a_3-1)x^3+\dots.

Es folgt

\begin{align*} a_2&=\frac{1}{2}a_0, &a_3&=\frac{1}{6}a_1,\\ a_4&=\frac{1}{12}a_2=\frac{1}{24}a_0, &a_5&=\frac{1}{20}(\frac{1}{6}a_1-1) \end{align*}

also

y=6x+x^3.

Komplexe Exponentialfunktion

Mit Hilfe der Taylorentwicklung für

\mathrm{e}^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}

müsste

\begin{align*} \mathrm{e}^{\mathrm{i}x}&=\sum_{k=0}^\infty\frac{(\mathrm{i}x)^k}{k!}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k-1}}{(2k-1)!}\\ &=\cos(x)+\mathrm{i}\sin(x) \end{align*}

gelten. Wir finden auch die altebekannte Formel

\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0

unter anderem Zugang. Via

\mathrm{e}^z=\mathrm{e}^{a+\mathrm{i}b}=\mathrm{e}^a\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}b}=\mathrm{e}^a\mathrm{cis}(b)

erahnt man, dass die Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen im Komplexen erhalten bleiben.