Bogenlänge

Zur Herleitung der Formel betrachten wir den Graphen einer im Intervall (a,b)(a,b) differenzierbaren Funktion ff. Sei La(x)L_a(x) die Länge des Bogens von der Stelle aa bis zur Stelle xx; betrachte auch Abbildung oben.

Dann ist AQ^=La(x+Δx)\hat{AQ}=L_a(x+\Delta x) und PQ^=AQ^−AP^=La(x+Δx)−La(x)\hat{PQ}=\hat{AQ}-\hat{AP}=L_a(x+\Delta x)-L_a(x). Aus der Graphik erkennt man PQ‾≤PQ^\overline{PQ}\leq\hat{PQ}. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras folgt

PQ‾=Δx2+Δy2=Δx2(1+Δy2Δx2)=Δx1+Δy2Δx2 \overline{PQ} =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\sqrt{\Delta x^2\left(1+\frac{\Delta y^2}{\Delta x^2}\right)}=\Delta x\sqrt{1+\frac{\Delta y^2}{\Delta x^2}}

Daraus folgt

Δx1+Δy2Δx2≤La(x+Δx)−La(x)\Delta x\sqrt{1+\frac{\Delta y^2}{\Delta x^2}}\leq L_a(x+\Delta x)-L_a(x)

und nach Division mit Δx\Delta x

1+Δy2Δx2≤La(x+Δx)−La(x)Δx.\sqrt{1+\frac{\Delta y^2}{\Delta x^2}}\leq\frac{L_a(x+\Delta x)-L_a(x)}{\Delta x}.

Nun lassen wir QQ gegen PP gehen:

lim⁡Δx→0Δy2Δx2=f′(x)2\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y^2}{\Delta x^2}=f'(x)^2

und

lim⁡Δx→0La(x+Δx)−La(x)Δx=La′(x)\lim_{\Delta x\to0}\frac{L_a(x+\Delta x)-L_a(x)}{\Delta x}=L_a'(x)

wobei nun Gleichheit für die Längen gilt, PQ‾=PQ^\overline{PQ}=\hat{PQ}. Nun muss man noch eine Stammfunktion für 1+f′(x)2\sqrt{1+f'(x)^2} finden, dann haben wir auch La(x)L_a(x). Somit folgt für die Bogenlänge entlang ff von aa nach bb

La(b)=∫ab1+f′(x)2 dx.L_a(b)=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x.
Note 1

An ff muss zusätzlich zur Differenzierbarkeit auf (a,b)(a,b) auch noch die Stetigkeit der Ableitung vorausgesetzt werden.