Lösen von quadratischen Gleichungen 1

Die Fähigkeit, das Quadrat zu vervollständigen, hilft uns, jede quadratische Gleichung zu lösen. Hier ist ein Beispiel.

Example 1

Betrachte die quadratische Gleichung

x2+3x+1=0x^2+3x+1=0

Ergänzen wir quadratisch:

x2+3x+1=0(x+32)2−(32)2+1=0(x+1.5)2−2.25+1=0(x+1.5)2−1.25=0\begin{array}{lll} x^2+3x+1&=& 0\\ \left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+1 &=&0\\ \left(x+1.5\right)^2-2.25+1 &=&0\\ \left(x+1.5\right)^2-1.25 &=&0\\ \end{array}

Somit haben wir

(x+1.5)2=1.25\left(x+1.5\right)^2=1.25

Nimm die Wurzel auf beiden Seiten

x+1.5=±1.25x+1.5 = \pm \sqrt{1.25}

und wir bekommen die zwei Lösungen

x1,2=±1.25−1.5x_{1,2}=\pm \sqrt{1.25}-1.5

Wir haben somit

x1=1.25−1.5=−0.381...‾x_1=\sqrt{1.25}-1.5=\underline{-0.381...}x2=−1.25−1.5=−2.681...‾x_2=-\sqrt{1.25}-1.5=\underline{-2.681...}

Falls wir einen Faktor a≠1a\neq 1 vor dem x2x^2-Term haben, dividieren einfach zuerst durch aa. Hier ist ein Beispiel, das wiederum zwei Lösungen besitzt:

Example 2: Zwei Lösungen
Solution

Wir dividieren zunächst beide Seiten durch 33, so dass wir einen einfachen Term erhalten

x2−3x+2=0x^2-3x+2=0

Nun ergänzen wir quadratisch:

x2−3x+2=0(x−32)2−(32)2+2=0(x−1.5)2−2.25+2=0(x−1.5)2−0.25=0∣+0.25(x−1.5)2=0.25∣xx−1.5=±0.25=±0.5\begin{array}{lll} x^2-3x+2&=&0\\ \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2 +2 &=&0\\ \left(x-1.5\right)^2-2.25 +2 &=&0\\ \left(x-1.5\right)^2-0.25 &=&0\quad|+0.25\\ \left(x-1.5\right)^2 &=&0.25\quad|\sqrt{\phantom{x}}\\ x-1.5&=&\pm\sqrt{0.25}\\ &=&\pm 0.5\\ \end{array}

Wir haben also

x1,2=±0.5+1.5x_{1,2}=\pm0.5+1.5

und somit

x1=0.5+1.5=2‾x_1=0.5+1.5=\underline{2}x2=−0.5+1.5=1‾x_2=-0.5+1.5=\underline{1}

Löse die quadratische Gleichung

3x2−9x+6=03x^2-9x+6=0

durch quadratische Ergänzung.

Beachten, dass eine quadratische Gleichung nicht immer genau zwei Lösungen haben muss. Hier ist ein Beispiel mit keiner Lösung:

Example 3: Keine Lösung
Solution

Wir haben

x2−3x+3=0(x−32)2−(32)2+2=0(x−1.5)2−2.25+3=0(x−1.5)2+0.75=0∣−0.75(x−1.5)2=−0.75\begin{array}{lll} x^2-3x+3&=&0\\ \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2 +2 &=&0\\ \left(x-1.5\right)^2-2.25 +3 &=&0\\ \left(x-1.5\right)^2+0.75 &=&0\quad|-0.75\\ \left(x-1.5\right)^2 &=&-0.75\\ \end{array}

Und wir sehen, dass die linke Seite immer positiv oder 00 ist, aber die rechte Seite ist negativ. Es gibt also keinen Wert für xx, so dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist. Diese Gleichung hat also keine Lösung!

Löse die quadratische Gleichung

x2−3x+3=0x^2-3x+3=0

durch quadratische Ergänzung.

Es ist auch möglich, dass eine quadratische Lösung genau eine Lösung besitzt. Hier ist ein Beispiel:

Example 4: Eine Lösung
Solution

Wir haben

x2−10x+25=0(x−5)2−52+25=0(x−5)2=0∣xx−5=0x==5‾\begin{array}{lll} x^2-10x+25&=&0\\ \left(x-5\right)^2-5^2 +25 &=&0\\ \left(x-5\right)^2 &=&0\quad|\sqrt{\phantom{x}}\\ x-5 &=&0\\ x=&=&\underline{5} \end{array}

Löse die quadratische Gleichung

x2−10x+25=0x^2-10x+25=0

durch quadratisches Ergänzen.

Sind mehr als zwei Lösungen für eine quadratische Gleichung möglich? Nein. Wir werden sehen, warum, wenn wir später die quadratischen Funktionen besprechen.

Exercise 1

Lösen Sie die folgenden Gleichungen durch quadratisches Ergänzen.

  1. x2+14x+13=0x^2+14x+13=0

  2. x2+12x−12=0x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0

  3. 2x2−10x+8=02x^2-10x+8=0

  4. −2x2+3x+2=0-2x^2+3x+2=0

  5. x2−18x+81=0x^2-18x+81=0

  6. x2+x+1=0x^2+x+1=0

  7. x2+bx+c=0x^2+bx+c=0

  8. ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

Solution
  1. (x+7)2−49+13=0→x1=−1‾,x2=−13‾(x+7)^2-49+13=0 \rightarrow x_1=\underline{-1}, x_2=\underline{-13}
  2. (x+14)2−116−12=0→x1=12‾,x2=−1‾(x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}-\frac{1}{2}=0 \rightarrow x_1=\underline{\frac{1}{2}}, x_2=\underline{-1}
  3. Dividiere beide Seiten durch a=2→x2−5x+4=0→(x−2.5)2−2.52+4=0→x1=1‾,x2=4‾a=2 \rightarrow x^2-5x+4=0 \rightarrow (x-2.5)^2-2.5^2+4=0 \rightarrow x_1=\underline{1}, x_2=\underline{4}
  4. Dividiere beide Seiten durch a=−2→x2−1.5x−1=0→(x−0.75)2−0.752−1=0→x1=2‾,x2=−0.5‾a=-2 \rightarrow x^2-1.5x-1=0 \rightarrow (x-0.75)^2-0.75^2-1=0 \rightarrow x_1=\underline{2}, x_2=\underline{-0.5}
  5. (x−9)2−92+81=0→x1=x2=9‾(x-9)^2-9^2+81=0 \rightarrow x_1=x_2=\underline{9}
  6. (x+0.5)2−0.52+1=0→(x+0.5)2=−0.75→(x+0.5)^2-0.5^2+1=0 \rightarrow (x+0.5)^2=-0.75 \rightarrow keine reelle Lösung (Wurzel einer negativen Zahl)
  7. Ergänze quadratisch (x+b2)2−(b2)2+c=0\left(x+\frac{b}{2} \right)^2 - \left(\frac{b}{2} \right)^2 +c=0 x+b2=±(b2)2−c=±b24−c=±b2−4c4=±12b2−4cx+\frac{b}{2} = \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2} \right)^2 - c} = \pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4c}{4}}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{b^2-4c} Wir erhalten x1,2=−b2±12b2−4c=−b±b2−4c2x_{1,2}=-\frac{b}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{b^2-4c}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}
  8. Dividiere durch aa, x2+ba+ca=0x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}=0 und ergänze quadratisch (x+b2a)2−(b2a)2+ca=0\left(x+\frac{b}{2a} \right)^2 - \left(\frac{b}{2a} \right)^2 +\frac{c}{a}=0 x+b2a=±(b2a)2−ca=±b24a2−ca=±b2−4ca4a2=±12ab2−4acx+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}} = \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ca}{4a^2}}=\pm \frac{1}{2a}\sqrt{b^2-4ac} Wir erhalten x1,2=−b2a±12ab2−4ac=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=-\frac{b}{2a} \pm \frac{1}{2a}\sqrt{b^2-4ac}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}