Lösen von quadratischen Gleichungen 2

Betrachte eine quadratische Gleichung in Normalform,

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

wobei aa, bb und cc die Koeffizienten sind, die wir als bekannte Werte annehmen. In der allerletzten Übung des vorigen Abschnitts haben wir gesehen, dass die Lösungen dieser Gleichung mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden kann, die wir die Mitternachts-Formel nennen. Das ist kein offizieller Name für diese Formel, aber viele Leute und Lehrbücher verwenden ihn, andere hassen ihn aber auch ... .

Theorem 1: Mitternachtsformel

Die Lösungen der quadratischen Gleichung

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

lassen sich wie folgt berechnen:

x1=−b+b2−4ac2ax_{1}=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}x2=−b−b2−4ac2ax_{2}=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

oder kurz

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Anstatt sich also die Mühe zu machen, das Quadrat zu vervollständigen, setzen wir einfach die Werte von a,ba,b und cc in die Mitternachtsformel ein, um die Lösungen zu berechnen. Natürlich ist die Mitternachtsformel nichts anderes als die eigentliche Lösung der quadratischen Gleichung durch Vervollständigung des Quadrats (nochmals, siehe vorheriger Abschnitt, letzte Aufgabe).

Hier sind ein paar Beispiele:

Example 1: Zwei Lösungen
Solution

Es ist a=3,b=−2a=3, b=-2 and c=−5c=-5. Wir erhalten

x1,2=−(−2)±(−2)2−4⋅3⋅(−5)2⋅3=2±86\begin{array}{lll} x_{1,2}&=&\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-5)}}{2\cdot 3}\\ &=&\frac{2\pm 8}{6} \end{array}

Wir haben also x1=106=53‾x_1=\frac{10}{6}=\underline{\frac{5}{3}} and x2=−1‾x_2=\underline{-1}.

Finde die Lösungen der Gleichung 3x2−2x−5=03x^2-2x-5=0 mit Hilfe der Mitternachtsformel.

Example 2: Eine Lösung
Solution

Es ist a=1,b=−2a=1, b=-2 and c=1c=1 und wir erhalten

x1,2=−(−2)±(−2)2−4⋅1⋅12⋅1=2±02=1\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}\\ &=&\frac{2\pm 0}{2}\\&=&1 \end{array}

also x1=x2=1‾x_1=x_2=\underline{1}.

Finde die Lösungen der Gleichung x2−2x+1=0x^2-2x+1=0 mit Hilfe der Mitternachtsformel.

Example 3: Keine Lösung
Solution

Es ist a=1,b=1a=1, b=1 and c=1c=1. Wir erhalten

x1,2=−1±12−4⋅1⋅12⋅1=−1±−32\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}\\ &=&\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2} \end{array}

Da es die Wurzel einer negativen Zahl keine reelle Zahl ist, hat diese Gleichung keine Lösung.

Finde die Lösungen der Gleichung x2+x+1=0x^2+x+1=0 mit Hilfe der Mitternachtsformel.

Beachte, dass der Ausdruck unter der Wurzel der Mitternachtsformel die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung bestimmt (siehe die Beispiele oben). Wenn die Zahl unter der Wurzel positiv ist, gibt es zwei Lösungen, wenn die Zahl unter der Wurzel 00 ist, haben wir eine Lösung, und wenn die Zahl unter der Wurzel negativ ist, gibt es keine Lösung. Formulieren wir das um, aber zuerst eine Definition:

Definition 1

Gegeben ist die quadratische Gleichung in Normalform

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

wobei die Koeffizienten aa, bb und cc bekannte Zahlen sind. Der Wert unter der Wurzel der Mitternachtsformel,

D=b2−4acD=b^2-4ac

wird Diskriminante genannt.

Theorem 2

Sei DD die Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Wir haben

D>02 Lo¨sungen (daher x1≠x2)D=01 Lo¨sung (daher x1=x2)D<0keine Lo¨sung \begin{array}{lll} D>0 & \text{2 Lösungen } & (\text{daher } x_1\neq x_2)\\ D=0 & \text{1 Lösung } & (\text{daher } x_1=x_2)\\ D<0 & \text{keine Lösung } & \end{array}
Example 4

Ermittle die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung, ohne sie tatsächlich zu lösen

2x2−2+1=02x^2-2+1=0
Solution

Wir haben a=2,b=−2a=2, b=-2 und c=1c=1, die Diskriminante ist somit

D=b2−4ac=(−2)2−4⋅2⋅1=−4<0D=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 2\cdot 1=-4 <0

also keine Lösung.

Hier sind noch weitere Übungen.

Exercise 1

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit der Mitternachtsformel.

  1. 2x2−7x+3=02x^2 - 7x + 3 = 0

  2. 5x+4x2−6=05x +4x^2- 6 = 0

  3. 1+2x−x2=01+2x-x^2 = 0

  4. 5x2=4−8x5x^2 = 4-8x

  5. 5x2−6x−2x+4=05x^2 - 6x -2x + 4 = 0

  6. −x2+70x−1225=0-x^2 + 70x - 1225 = 0

  7. x2−83x+36=0x^2 - 8\sqrt{3} x + 36 = 0

  8. 2x2+x−2=0\sqrt{2}x^2+ x -\sqrt{2} = 0

  9. (1+3)x2+x=−1+3(1 +\sqrt{3})x^2+ x = -1 +\sqrt{3}

  10. 12x2+13x−16=0\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}=0

  11. 75x2+11x−66=−2x275x^2 + 11x - 66 = -2x^2

  12. 0.5x2−2.3x+1.2=00.5x^2 - 2.3x + 1.2 = 0

Solution
  1. x1=0.5‾,x2=3‾x_1=\underline{0.5}, x_2=\underline{3}
  2. x1=−2‾,x2=0.75‾x_1=\underline{-2}, x_2=\underline{0.75}
  3. x1=1−2‾,x2=1+2‾x_1=\underline{1-\sqrt{2}}, x_2=\underline{1+\sqrt{2}}
  4. x1=−2‾,x2=2/5‾x_1=\underline{-2}, x_2=\underline{2/5}
  5. no solution (root is negative)
  6. x1=x2=35‾x_1=x_2=\underline{35} (one solution)
  7. x1=23‾,x2=63‾x_1=\underline{2\sqrt{3}}, x_2=\underline{6\sqrt{3}}
  8. x1=12‾,x2=−2‾x_1=\underline{\frac{1}{\sqrt{2}}}, x_2= \underline{-\sqrt{2}}
  9. x1=1−3‾,x2=0.53−0.5‾x_1=\underline{1-\sqrt{3}}, x_2=\underline{0.5\sqrt{3}-0.5}
  10. x1=−1‾,x2=1/3‾x_1=\underline{-1}, x_2=\underline{1/3}
  11. x1=−1‾,x2=6/7‾x_1=\underline{-1}, x_2=\underline{6/7}
  12. x1=0.6‾,x2=4‾x_1=\underline{0.6}, x_2=\underline{4}
Exercise 2

Wie viele Lösungen gibt es? Finde es heraus, ohne die Gleichung tatsächlich zu lösen.

  1. x2+100x+1=0x^2+100x+1=0

  2. 0.3x2−2.4x+4.8=00.3x^2-2.4x+4.8=0

  3. 16x2+25x+10=016x^2+25x+10=0

  4. x2−3x+cx^2-3x+c (Finde die Anzahl Lösungen in Abhängigkeit von cc).

  5. x2+bx+1=0x^2+bx+1=0 (Finde die Anzahl Lösungen in Abhängigkeit von bb).

Solution

Diskriminante D=b2−4acD=b^2-4ac

  1. D=9996>0→D=9996>0 \rightarrow zwei Lösungen.
  2. D=0→D=0 \rightarrow eine Lösung.
  3. 16x2+25x+10=016x^2+25x+10=0 D=−15<0→D=-15<0 \rightarrow keine Lösung.
  4. D=9−4cD=9-4c.
    • eine Lösung falls D=9−4c=0→c=9/4=2.25‾D=9-4c=0 \rightarrow c=9/4=\underline{2.25}.
    • keine Lösung falls D=9−4c<0→c>2.25‾D=9-4c<0 \rightarrow \underline{c>2.25}.
    • zwei Lösungen falls D=9−4c>0→c<2.25‾D=9-4c>0 \rightarrow \underline{c<2.25}.
  5. D=b2−4D=b^2-4
    • eine Lösung falls D=b2−4=0→b=±2‾D=b^2-4=0 \rightarrow b=\underline{\pm 2}.
    • keine Lösung falls D=b2−4<0→−2<b<2‾D=b^2-4<0 \rightarrow \underline{-2<b<2}.
    • zwei Lösungen falls D=b2−4>0→b<−2 or b>2‾D=b^2-4>0 \rightarrow \underline{b<-2 \text{ or } b>2}.
Exercise 3: Textaufgaben
Solution

  1. xx kleinere Zahl. x(x+1)=1122→x1=33‾,x2=−34‾x(x+1)=1122 \rightarrow x_1=\underline{33}, x_2=\underline{-34}.

  2. xx Breit. x(x+5)=50→x1=5cm‾,x2=−10cmx(x+5)=50 \rightarrow x_1=\underline{5cm}, x_2=-10cm (nicht möglich).

  3. x2+(x+1)2=52→x1=−4x^2+(x+1)^2=5^2 \rightarrow x_1=-4 (nicht möglich) und x2=3‾x_2=\underline{3}, die Fläche ist 6‾\underline{6}.

  4. xx und yy die zwei Zahlen. x+y=9,x2+y2=41→x1=5‾x+y=9, x^2+y^2=41 \rightarrow x_1=\underline{5} und x2=4‾x_2=\underline{4}.

  5. (8+x)(20−x)=0.6⋅8⋅12→x1=16‾(8+x)(20-x)=0.6\cdot 8\cdot 12 \rightarrow x_1=\underline{16} und x2=−4x_2=-4 (nicht möglich).

  6. 15/(x+2)+15/(x−2)=3→3x2−30x−12=0→x1=10.385km/h‾15/(x+2)+15/(x-2)=3 \rightarrow 3x^2-30x-12=0 \rightarrow x_1=\underline{10.385km/h} und x2=−0.385km/hx_2=-0.385 km/h.

  1. Das Produkt von zwei aufeinander folgenden Zahlen ist 11221122. Finde die beiden Zahlen (alle Lösungen).
  2. Die Länge eines Rechtecks ist 5cm5cm grösser als seine Breite, und der Flächeninhalt ist 50cm250cm^2. Bestimmen Sie die Länge und die Breite des Rechtecks.
  3. Die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind xx, x+1x+1, und 55 (längste Seite). Bestimme den Flächeninhalt.
  4. Die Summe von zwei Zahlen ist 99, die Summe der quadrierten Zahlen ist 4141. Finde die beiden Zahlen.
  5. Ein Rechteck hat die Seitenlängen 8cm und 20cm. Vergrössert man die kleinere um xx und verkleinert die grössere um xx, so ergibt sich eine neue Rechteckfläche die 60%60\% der alten Rechteckfläche beträgt. Finde xx.
  6. Eine insgesamt 3 Stunden dauernde Flussfahrt geht 15km flussaufwärts und dann wieder zurück. Der Fluss hat eine Strömung von 2 km pro Stunde. Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Bootes auf dem Wasser?