Lineare GLsys

Exercise 1: Lineare Gleichungssysteme

Veranschauliche die Lösungsmengen folgender Gleichungen in einem kartesischen Koordinatensystem:

a) $x+2y-3=0$

b) $5x-3y=0$

c) $x-5y-5=0$

d) $10x+3y=20$

e) $1.2x+0.5y=0.7$

f) $3x+1\frac{1}{3}y=-6$

Zeige, dass die folgende Gleichung zu einer linearen Gleichung äquivalent ist, und stelle die Lösungsmenge graphisch dar.

a) $(x+1)^2+(y-5)^2=(5-y)^2$

b) $(x+2)^2+(y-3)^2=(x^2+2)+(y^2+3)$

Solution

a) Eine Gerade, die durch die Punkte (3,0) und (1,1) geht.

b) Eine Gerade, die durch den Ursprung (0,0) und den Punkt (3,5) geht.

c) Eine Gerade, die durch die Punkte (5,0) und (0,-1) geht.

d) Eine Gerade, die durch die Punkte (2,0) und (0, 20/3) geht.

e) Eine Gerade, die durch die Punkte (7/12, 0) und (0, 7/5) geht.

f) Eine Gerade, die durch die Punkte (-2,0) und (0, -9/2) geht.

a) Äquivalent zu $y = -\frac{1}{10}x^2 - \frac{1}{5}x + \frac{23}{10}$ , was keine lineare Gleichung ist. Die Aufgabenstellung im Buch scheint hier fehlerhaft zu sein.

b) Äquivalent zu $y=\frac{1}{3}x+1$ , eine lineare Gleichung. Der Graph ist eine Gerade durch (0,1) und (-3,0).

Exercise 2: Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten

Für wie viele Unbekannte muss man bei den folgenden Gleichungen Zahlen vor-schreiben, damit eine Lösung eindeutig bestimmt ist?

a) $4x-2.7y+13z=0$

b) $11w-3x-0.1y-12z=17$

Um die Lösungsmenge $L_1$ der Gleichung $\frac{2x+y+1}{x-y}=1$ zu bestimmen, ist es naheliegend, sie auf die Form $2x+y+1=x-y$ zu bringen. Da jede Lösung der ersten Gleichung auch die zweite Gleichung erfüllt, ist $L_1$ in der Lösungsmenge $L_2$ der zweiten Gleichung enthalten. Lösungen der zweiten Gleichung sind aber nur dann auch Lösungen der ersten, wenn für sie der Nenner $x-y$ von null verschieden ist. Man erhält also $L_1$ aus $L_2$ , indem man alle Lösungen mit $x-y=0$ ausschliesst. Aus $2x+y+1=x-y \Leftrightarrow x+2y=-1$ folgt $L_2=\{(x|y) | x=-2y-1\}$ . Die einzige Lösung aus $L_2$ mit $x-y=0$ ist $x=\frac{2}{3}, y=-\frac{2}{3}$ . Es ergibt sich daher $L_1 = \{(x|y)|y\neq-\frac{1}{2} \wedge x=-2y-1\}$ . Bestimme in derselben Weise die Lösungsmengen folgender Gleichungen:

a) $\frac{x+y}{x-1}=5$

b) $\frac{8x-y}{2y+3}=0$

c) $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y+2}=0$

d) $\frac{x^2+2x-y}{x^2+1}=1$

Solution

a) Man muss für zwei der drei Unbekannten Werte vorschreiben (z.B. für y und z), um die dritte (x) eindeutig zu bestimmen.

b) Man muss für drei der vier Unbekannten Werte vorschreiben.

a) $L = \{(x|y) | x \neq 1 \wedge y = \frac{4x-5}{1}\}$

b) $L = \{(x|y) | y \neq -\frac{3}{2} \wedge y=8x\}$

c) $L = \{(x|y) | x \neq 1 \wedge y \neq -2 \wedge y=-x-1\}$

d) $L = \{(x|y) | y=2x\}$

Exercise 3: Graphische Lösung von Gleichungssystemen

Bestimme graphisch die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme und mache durch Einsetzen die Probe.

a) I $x - y = -1$ II $x+y=3$

b) I $x-3y=4-0$ II $4x-y+6=0$

c) I $x+2y=0$ II $2x-y=5$

d) I $x+y=x-3$ II $4x = y+5$

e) I $4x+y=2$ II $\frac{x}{x+y}=1$

f) I $5x-2y+1=0$ II $\frac{2x+5y-14}{x+2}=1$

Solution

a) $L=\{(1|2)\}$

b) $L=\{(-2|-2)\}$

c) $L=\{(2|-1)\}$

d) $L=\{(0.8|-3)\}$

e) $L=\{(0.5|0)\}$

f) $L=\{(1|3)\}$

Die Cramer'sche Regel

Gibt es für ein System von zwei linearen Gleichungen für zwei Unbekannte eine Lösungsformel? Wir wollen versuchen, diese Frage zu beantworten. Ein solches Gleichungssystem hat allgemein die Form

\text{I} \quad ax+by=e

\text{II} \quad cx+dy=f.

Dabei sind a, b, c, d, e, f beliebige Zahlen. Da durch sie das Gleichungssystem festgelegt ist, muss dies auch für die Lösungen gelten; d.h., die eventuellen Lösungen müssen sich aus diesen Koeffizienten berechnen lassen. Wir versuchen, das System (I, II) durch Äquivalenzumformungen auf die Gestalt $x=u \wedge y=v$ zu bringen. Dazu benützen wir das doppelte Additionsverfahren:

\text{I} \quad ax+by=e \quad || \cdot d \quad || \cdot (-c)

\text{II} \quad cx+dy=f \quad || \cdot (-b) \quad || \cdot a

\text{I'} \quad (ad-bc)x = de-bf \qquad \text{I''} \quad (ad-bc)y = af-ce

Man erkennt, dass es möglich ist, das Eliminieren von y aus der ersten und von x aus der zweiten Gleichung so vorzunehmen, dass bei der jeweils übrig bleibenden Unbekannten derselbe Faktor $ad-bc$ steht. Falls dieser von null verschieden ist, kann man die Rechnung fortsetzen:

\text{I''} \quad x=\frac{de-bf}{ad-bc}, \qquad \text{fals } ad-bc \neq 0.

\text{II''} \quad y=\frac{af-ce}{ad-bc},

In diesem Fall besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung und die Gleichungen I', II'' stellen die gesuchte Lösungsformel dar.

Wenn jedoch $ad-bc=0$ gilt, hat das System (I', II'') die Form

\text{I'} \quad 0 \cdot x = de-bf

\text{II'} \quad 0 \cdot y = af-ce

und lässt sich nicht auf die Form $x=u \wedge y=v$ bringen. Man kann zeigen, dass es in diesem Fall entweder keine oder unendlich viele Lösungen gibt. Vergleiche dazu die Beispiele 2 und 3 auf Seite 141 f. Die für $ad-bc \neq 0$ gefundene Lösungsformel halten wir fest in

Theorem 1: Cramersche Regel

Das Gleichungssystem

ax+by=e

cx+dy=f

hat für $ad-bc \neq 0$ genau eine Lösung, nämlich

x=\frac{de-bf}{ad-bc}, \quad y=\frac{af-ce}{ad-bc}.

Der Term $ad-bc$ , von dessen Wert es abhängt, ob das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht, heisst Determinante* des Gleichungssystems. Die zwei Lösungsformeln in obigem Satz, nach denen man die Lösung berechnen kann, falls diese Determinante von null verschieden ist, werden als Cramersche Regel bezeichnet.

Für Determinanten gibt es eine besondere Schreibweise, vereinbart durch

Definition 1: Zweireihige Determinante

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} := ad-bc

heisst zweireihige Determinante.

Wenn man sich die Differenz der beiden Produkte in dieser Definition näher ansieht, erkennt man folgende Merkregel für die Berechnung einer zweireihigen Determinante:

Zahl oben links $\cdot$ Zahl unten rechts minus Zahl oben rechts $\cdot$ Zahl unten links

Nennt man die im Determinantenschema von links oben nach rechts unten verlaufende Diagonale Hauptdiagonale und die andere Nebendiagonale, so ergibt sich für $ad-bc$ der Merkspruch

Hauptdiagonale minus Nebendiagonale

Auch die Zähler der in der Cramer'schen Regel auftretenden Brüche kann man als Determinanten schreiben. Es gilt nämlich

de-bf = \begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}, \quad af-ce = \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}.

Exercise 4: Lösungsmengen mit dem Einsetzungsverfahren bestimmen

Bestimme die Lösungsmengen nach dem Einsetzungsverfahren:

a) I $2x+y=4$ II $x+y=3$

b) I $3.5x+5y=0$ II $2.1x+3y=6$

c) I $9x+4y=55$ II $-5x+y=-37$

d) I $\frac{2}{3}x+y=4$ II $x+\frac{3}{2}y=6$

Solution

a) $L=\{(1|2)\}$

b) $L=\{(10|-7)\}$

c) $L=\{(7|-2)\}$

d) $L=\mathbb{Q}$ (unendlich viele Lösungen)

Exercise 5: Lösungsmengen mit dem Additionsverfahren bestimmen

Verwende das Additionsverfahren:

a) I $x+y=-8$ II $x-y=2$

b) I $3x+12y=5$ II $2x+8y=4$

c) I $29x+37y=0$ II $13x-17y=0$

d) I $2x-5y=186$ II $3x+4y=279$

Solution

a) $L=\{(-3|-5)\}$

b) $L=\{\}$ (keine Lösung)

c) $L=\{(0|0)\}$

d) $L=\{(123|12)\}$