Der Graph einer quadratischen Funktion

Unter einer linearen Gleichung verstehen wir eine Gleichung in einer Variablen $x$ mit Parametern $m, q \in \R$ von der Form

mx+q=0.

Ein kurzes, kommentiertes Recap gibt es hier auf dem Kanal gym math: gym math. Wir können eine lineare Gleichung geometrisch als Funktion $y=mx+q$ interpretieren, von deren Graphen wir den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse suchen – eine sogenannte Nullstelle.

Exercise 1: Anzahl Lösungen einer linearen Gleichung

Wie viele Lösungen hat eine lineare Gleichung?

Solution

Keine, eine oder unendlich viele. Betrachte die möglichen Geraden und ihre Schnittpunkte.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Wie der Name bereits vermuten lässt, geht es erstens um Gleichungen und zweitens taucht in diesen ein Quadrat auf; Letzteres bezieht sich natürlich auf die Variable, oft $x$ genannt. Neu ist also, dass wir nicht bloss einen bereits bekannten linearen Zusammenhang vom Typ $mx+q=0$ haben, sondern möglicherweise üppiger

ax^2+bx+c=0.

Dabei ist der Parameter $a \neq 0$ , sonst wäre die Gleichung ja linear. $b$ und $c$ hingegen dürfen durchaus den Wert $0$ annehmen. Also haben wir bis auf die kleine Ausnahme kompakt formuliert: $a \in \R \setminus \{0\}$ und $b, c \in \R$ .

Auch in diesem Fall kann es für Überlegungen nützlich sein, die quadratische Gleichung als quadratische Funktion zu betrachten, von der wir Nullstellen suchen.

Der Graph einer quadratischen Funktion

Wie sieht der Graph einer quadratischen Funktion aus? Sicher ist er keine Gerade.

Exercise 2: Parabel skizzieren

Skizziere die Funktion $f(x)=x^2$ über dem Intervall $[-3, 3]$ . Rechne ein paar Werte aus.

Solution

Die Kontrolle erfolgt mit Geogebra.

Exercise 3: Parabel skizzieren II

Skizziere die Funktion $g(x)=-\frac{1}{4}x^2+1$ .

Solution

Die Kontrolle erfolgt mit Geogebra.

Exercise 4: Nullstellen

Kannst du die Nullstellen von $f$ und $g$ algebraisch aufzeigen?

Solution

$f(x)\stackrel{!}{=}0$ führt zu $x=0$ . Bei $g$ haben wir $x^2=4$ und daher $x=\pm 2$ .

Wir sehen, dass der Graph einer quadratischen Funktion «gebogen» ist; wir nennen solch eine Form Parabel. Mehr soll zurzeit nicht dazu gesagt werden, da dies nur vom eigentlichen Thema ablenken würde; wir schauen uns diesen wichtigen Typ detaillierter im gym2 an.

Exercise 5: Anzahl Lösungen einer quadratischen Funktion

Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung der Form

ax^2+bx+c=0

haben?

Solution

Keine, eine oder zwei. Dies sieht man in der Diskriminante $D=b^2-4ac$ .

Exercise 6: Ball

Ein Ball wird in die Luft geworfen. Seine Höhe $h$ kann zu sinnvollen Zeitpunkten $t$ via

h(t)=10t-5t^2

berechnet werden.

Skizziere den Graphen der Funktion $h$ .
Wie lange fliegt der Ball durch die Luft?
Wann erreicht er seinen höchsten Punkt? Auf welcher Höhe ist dieser höchste Punkt?

Solution

Die Skizze erledigt man mit Geogebra. Die Nullstellen von $h$ sind $t_1=0$ und $t_2=2$ ; zwei Sekunden. Der höchste Punkt ist der Scheitelpunkt $t_S=1$ und $h(1)=\qty{5}{m}$ .