Kurze Repetition von Mengen

Der Begriff der Menge und der dazugehörige Formalismus ist zentral in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Hier also eine kleine Auffrischung.

Wir betrachten $m$ verschiedene Objekte $o_1,..., o_m$, von denen wir einige auswählen. Konkret, die $m$ Objekte seien die Zahlen von $1$ bis $10$, und die ausgewählten Objekte seien die Zahlen von $1$ bis $6$. Die Menge $A$ mit den Elementen $1,2,...,6$ wird mit

bezeichnet.

Gleichheit von Mengen

Die Reihenfolge der Elemente in $A$ ist nicht wichtig, und identische Objekte zählen nur einmal, also gilt

Mit anderen Worten, zwei Mengen sind gleich (identische Mengen), wenn sie die gleichen Elemente enthalten, egal wie oft diese vorkommen.

Spezielle Mengen

• Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält, und wird mit

  $$\{ \}$$

  bezeichnet.

• Die Menge $S$, die alle $m$ Elemente enthält, heisst Grundmenge. Im Beispiel ganz oben könnte diese zum Beispiel , $S=\{1,2,3,...,10\}$ sein, oder alle natürlichen Zahlen.

Betrag

Der Betrag von $A$ ist die Anzahl der verschiedenen Elemente in $A$ und wird mit $\vert A \vert$ bezeichnet, es ist also

Mengenbeziehungen

• Die Zahl $5$ ist ein Element von $A$, geschrieben

  $$5\in A$$

  während das Element $7$ kein Element von $A$ ist, geschrieben

  $$7\not\in A$$

• Eine beliebige Auswahl von Elementen von $A$, z.B. $1,2,4$, ist ebenfalls eine Menge und wird Teilmenge von $A$ genannt, geschrieben

  $$\{1,2,4\} \subset A$$

  Aber

  $$\{1,4,2,7\} \not\subset A$$

  Beachte, dass jede Menge ihre eigene Teilmenge ist, $A\subset A$, und dass die leere Menge immer eine Teilmenge ist, $\{ \} \subset A$. Die Menge $A$ ist übrigens eine Teilmenge von $S$.

Mengenoperationen

Aus zwei Mengen $A$ und $B$ von $S$ können wir eine neue Menge bilden, die den logischen Aussagen NICHT, UND und ODER entsprechen:

• Das die Komplementärmenge von $A$,

  $$A^c\,\text{ oder }A^\prime\,\text{ oder }\overline{A}$$

  ist die Menge aller Elemente, die NICHT in $A$ enthalten sind (aber immer noch in $S$ sind). In einem Venn-Diagramm wird diese Menge durch den Bereich ausserhalb des Kreises von $A$ dargestellt (unten links).

• Die Schnittmenge von $A$ und $B$,

  $$A\cap B$$

  ist die Menge aller Elemente, die in $A$ UND in $B$ sind (also die gemeinsamen Elemente). In einem Venn-Diagramm wird diese Menge durch den überlappenden Teil der Kreise von $A$ und $B$ dargestellt (unten Mitte).

• Die Vereinigung von $A$ und $B$,

  $$A\cup B$$

  ist die Menge aller Elemente, die in $A$ ODER in $B$ ist (also alle Elemente). In einem Venn-Diagramm wird diese Menge durch die beiden Flächen von $A$ und $B$ dargestellt (unten rechts). Beachte, dass wir hier das inklusive 'oder' verwenden (in $A$, in $B$ oder in beiden Mengen). Das exklusive 'oder' bezeichnet die Menge aller Elemente, die entweder in $A$ oder in $B$ sind, aber nicht in beiden. Wir verwenden dazu keine spezielles Symbol.

  

Disjunkte Mengen

Wir sagen, dass zwei Mengen $E$ und $F$ disjunkt sind, wenn sie sich nicht schneiden, d.h. wenn

Wir sagen, dass die Teilmengen $E, F$ und $G$ paarweise disjunkt sind, wenn jedes Paar von Mengen disjunkt ist, das heisst, $E \cap F=\{\}$, $E \cap G=\{\}$, $F \cap G=\{\}$. Es ist klar, dass disjunkte und paarweise disjunkte Teilmengen keine gemeinsamen Elemente haben (siehe Abbildung unten).

Es ist einfach, dies auf eine beliebige Anzahl von Ereignissen zu verallgemeinern.

Partitionen

Es seien $m$ Teilmengen $A_1, A_2, ... A_m$ von $S$ gegeben. Wir sagen, dass diese Teilmengen eine Partition von $S$ bilden, falls die Teilmengen paarweise disjunkt sind:

und die Vereinigung dieser Teilmengen gerade $S$ ist:

Das Venn-Diagramm ähnelt dann einem Puzzle.

Hier sind zwei Partitionen von $S=\{1,2,3,4,5,6\}$:

• $\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\}$
• $\{1\},\{2,3,4,5\},\{6\}$

Exercise 1

F1

$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A=\{1,3,5,8\}$, und $B=\{2,5,10\}$.

1. Bestimme die Mengen $A\cap B$, $A\cup B$, $A^\prime$, $A\cap B^\prime$ und $A \cup B^\prime$.
2. Ist $3\in B$?
3. Ist $B\subset A$?

F2

$A$ sei eine Teilmenge der Grundmenge $S$. Bestimme $\{ \}^\prime$, $S^\prime$, $A\cup A^\prime$, $A\cap A^\prime$, and $(A^\prime)^\prime$.

F3

Gegeben seien die Mengen $A$ und $B$, wobei $A\subset B$. Bestimme $A\cap B$ und $A\cup B$.

F4

Es sein eine Grundmenge $S$ gegeben, und zwei Mengen $A$ und $B$ von $S$. Bilden die folgenden Mengen eine Partition von $S$?

1. $A$ and $A^\prime$
2. $A\cap B, A^\prime\cap B, A\cap B^\prime$ and $A^\prime\cap B^\prime$

Hinweis: Bestimme das Venn-Diagramm.

F5

Zeige, dass für die Mengen $A$ und $B$ in $S$ immer gilt:

$$\vert A\cup B\vert = \vert A\vert +\vert B\vert -\vert A\cap B\vert$$

Vereinfache die Formel für den Fall wo $A$ und $B$ disjunkt sind.

Hinweis: Bestimme das Venn-Diagramm.

F6

Es sei $A_1,...,A_m$ eine Partition von der Grundmenge $S$. Zeige, dass gilt

$$|A_1|+|A_2|+...+|A_m|=|S|$$

F7

Zeige, dass

1. $(A\cup B)^\prime = A^\prime \cap B^\prime$

2. $(A\cap B)^\prime = A^\prime \cup B^\prime$

Solution

A1

1. $A\cap B=\{ 5\}$, $A\cup B=\{1,2,3,5,8,10 \}$, $A^\prime=\{2,4,6,7,9,10\}$, $A\cap B^\prime=\{ 1,3,8\}$ and $A \cup B^\prime=\{ 1,3,4,5,6,7,8,9\}$
2. $3\not\in B$
3. $B\not\subset A$.

A2

$\{ \}^\prime=S$, $S^\prime=\{ \}$, $A\cup A^\prime=S$, $A\cap A^\prime=\{ \}$, und $(A^\prime)^\prime=A$

A3

$A\cap B=A$ und $A\cup B=B$

A4

Siehe Skizze unten

1. ja
2. ja

A5

Siehe Skizze unten

Falls $A$ und $B$ disjunkt sind, so ist $\vert A\cap B\vert =0$, und somit

$$\vert A\cup B\vert = \vert A\vert +\vert B\vert$$

A6

Verallgemeinerung von A5. Da die Teilmengen $A_1$, ..., $A_m$ sich nicht überlappen, gilt

$$|\underbrace{A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_m}_{=S}| = |A_1|+|A_2|+...+|A_m|$$

aber die Vereinigung all dieser Mengen ist gerade $S$. Also ist

$$|A_1|+|A_2|+...+|A_m|=|S|$$

A7

Siehe Skizze unten