Zufallsexperimente

Die Natur scheint Prozesse, Verfahren oder Experimente zuzulassen, deren Endergebnis nicht mit absoluter Sicherheit vorhergesagt werden kann. Der Zweig der Mathematik, der diese Ungewissheit und Zufälligkeit untersucht und nach Regeln im Chaos sucht heisst Wahrscheinlichkeitstheorie, oder etwas allgemeiner Stochastik (griechisch für "die Kunst des Vorhersehen").

Ein wichtiges Teilgebiet der Stochastik ist die Statistik. Da Daten oft unsicher sind (z. B. Messfehler oder unvollständige Erhebungen), sind alle Interpretationen und Schlussfolgerungen, die auf einem Datensatz basieren, nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit gültig. Die Wahrscheinlichkeitstheorie hilft, diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

Wir beginnen mit dem Begriff des Zufallsexperiments.

Definition 1

Ein Zufallsexperiment ist ein Verfahren mit den folgenden Eigenschaften:

Das Verfahren lässt sich unter den gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholen.
Das Verfahren hat mindestens zwei mögliche Ergebnisse (oder Ausgänge). Die Menge der möglichen Ergebnisse wird Ergebnisraum (oder Stichprobenraum) genannt.
Wird das Verfahren durchgeführt, so trifft genau eines dieser möglichen Ergebnisse ein.
Obwohl das Verfahren unter den gleichen Bedingungen durchgeführt wird, ist es nicht möglich vorherzusagen, welches dieser möglichen Ergebnisse eintreten wird.

Example 1

Hier sind ein paar einfache Zusallsexperimente:

Werfen einer Münze. Der Münzwurf hat zwei Ergebnisse, die wir Zahl ( $Z$ ) oder Kopf ( $K$ ) nennen. Der Ergebnisraum ist $S=\{Z, K\}$ .

Beachte, dass es prinzipiell auch möglich ist, dass die Münze auf dem Rand landet. Manchmal werden wir diese Möglichkeit in Betracht ziehen, aber nur, wenn sie ausdrücklich erwähnt wird. Im allgemeinen vernachlässigen wird diese Möglichkeit, da sie sehr, sehr selten eintreten wird.

Werfen eines Würfels. Die möglichen Ergebnisse sind die Zahlen von $1$ bis $6$ . Der Ergebnisraum ist $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ .

Wir werden auch Würfel mit mehr oder weniger als $6$ Seiten.

Diskrete Zufallsauswahl. Es sei ein Korb mit (bis auf die Farbe oder Beschriftung) identischen Kugeln gegeben (z. B. zwei blaue Kugeln $b_1, b_2$ und drei grüne Kugeln $g_1,g_2, g_3$ ) und ziehen eine Kugel. Wir ziehen eine Kugel blind. Der Ergebnisraum ist $S=\{b_1,b_2,g_1,g_2,g_3\}$ .

Zufallsauswahlen werden oft bei Umfragen verwendet. Ziel ist es, eine faire Auswahl and Personen aus einer grossen Population für die Umfrage auszuwählen. Solche Zufallsauswahlen sind in der Statistik sehr wichtig.

Kontinuierliche Zufallsauswahl. Eine beliebige Zahl aus dem Intervall $[0,1]$ wird ausgewählt, indem das Intervall blind an einer beliebigen Stelle zerschnitten wird. Die Zahl an der Schnittstelle ist die ausgewählte Zahl. Der Ergenisraum ist als jede mögliche Zahl zwischen $0$ und $1$ , also $S=[0,1]$ .

Beachte, dass der Ergebnisraum hier kontinierlich ist, daher das Kontinuum aller Zahlen zwischen $0$ und $1$ auf dem Zahlenstrahl sind mögliche Ergebnisse. Im Vergleich dazu sind die möglichen Ergebnisse bei der diskreten Zufallsauswahl klar separierte Einheiten, die aufgelistet werden können (daher abzälbar sind).

Eine andere, äquivalente Art besteht darin, ein Glücksrad mit Umfang $1$ zu verwenden. Das Rad wir angestossen, und es wird gewartet, bis es wieder stehen bleibt. Der Zeiger des Glücksrads zeigt dann auf die ausgewählte Zahl.

Beachte, dass es ist nicht unbedingt klar ist, dass ein Experiment unter exakt derselben Bedingung wiederholt werden kann. Der Luftdruck könnte sich ändern, oder ich benutze nicht die exakt gleiche Handbewegung zum Werfen einer Münze, und so weiter. Der Einfachheit halber gehen wir aber davon aus, dass all diese kleinen Änderungen nur einen vernachlässigbaren Einfluss auf das Ergebnis des Experiments haben, so dass wir davon ausgehen können, dass eine Wiederholbarkeit unter gleichen Bedingungen möglich ist. Siehe dazu auch das nächste Kapitel: "Ein tieferer Blick auf die Zufälligkeit".

Eine grosse Klasse von Zufallsexperimenten besteht aus dem nacheinander Ausführen von anderen Zufallsexperimenten. Das kombinierte Experiment nennen wir mehrstufiges Zufallsxperiment. Mehrstufige Zufallsexperimente werden oft mit Hilfe eines Baums visualisert. Hier ein Beispiel:

Example 2

Eine Münze wird 2-mal geworfen. Dies ist ein mehrstufigen Zufallsexperiment, denn das Experiment "1-mal Münze werfen" wird zweimal nacheinander ausgeführt. Die möglichen Ereignisse sind

S=\{K_1, K_2, K_1Z_2, Z_1, K_2, Z_1, Z_2 \}

wobei hier $K_1$ und $Z_1$ die Ergebnisse im ersten Wurf sind und $K_2$ und $Z_2$ die Ergebnisse im zweiten Wurf. Wir brauchen die Indexe $1$ und $2$ um zu kennzeichnen, bei welcher Stufe (erster oder zweiter Wurf) Kopf oder Zahl aufgetreten ist. Wir sehen aber auch, dass die Indexe nicht wirklich nötig sind, da die Stelle, wo sie auftreten (an erster oder zweiter Stelle) schon die Stufe verrät. Wir schreiben deshalb oftmals der Kürze halber

S=\{KK, KZ, ZK, ZZ \}

Die Pfade im Baum repräsentieren ebenfalls die möglichen Ergebnisse (siehe Skizze unten).

Exercise 1

Bestimme mindestens ein Ergebnis, und die Anzahl mögliche Ergebnisse der folgenden mehrstufigen Zufallsexperimenten. Zeichne ebenfalls den Baum.

Wir führen auch noch zwei Boxen ein: Box 1 enthält 2 grünen und 3 roten Kugeln, Box 2 enthält 3 blaue und 4 rote Kugeln.

Eine Münze 3-mal werfen
Eine Münze 10-mal werfen
Einen Würfel 2-mal werfen
Einen Würfel 3-mal werfen
Zweimal Münze werfen, dann 1-mal einen Würfel werfen
Zweimal Münze werfen, dann 3-mal einen Würfel werfen
Einmal Münze werfen, dann, falls Kopf, eine Kugel aus der Box 1, und falls Zahl eine Kugel aus der Box 2 ziehen.
Zweimal eine Kugel aus Box 2 ziehen, wobei die gezogene Kugel zurückgelegt wird bevor die nächste Kugel gezogen wird (ziehen mit zurücklegen)
Zweimal eine Kugel aus Box 2 ziehen, wobei die gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird bevor die nächste Kugel gezogen wird (ziehen ohne zurücklegen)

Solution