Lineare Funktionen und deren Graphen

Eine Funktion der Form

\boxed{f(x)=a x+b}

nennt man eine lineare Funktion. Die Buchstaben $a$ und $b$ sind feste, gegebene Zahlen und werden Koeffizienten genannt. Hier sind einige Beispiele

$f(x)=3x+1\quad$ ( $a=3, b=1$ )
$g(x)=-x+2\quad$ ( $a=-1, b=2$ )
$h(x)=-2x-\frac{1}{2}\quad$ ( $a=-2, b=-\frac{1}{2}$ )
$k(x)=-5\quad$ ( $a=0, b=-5$ )
$l(x)=0.57x\quad$ ( $a=0.57, b=0$ )
$u(x)=x\quad$ ( $a=1, b=0$ )
$v(x)=\frac{2}{3}x+0.001\quad$ ( $a=\frac{2}{3}, b=0.001$ )

Lineare Funktionen sind recht einfache Funktionstypen (oder Maschinen). Der Input $x$ wird mit der Zahl $a$ multipliziert, und dann wird die Zahl $b$ dazu addiert. Wenn der Input quadriert wird, oder die Wurzel des Inputs gezogen wird, so ist die Funktion nicht linear. Beispiele von nicht-linearen Funktionen sind:

$f(x)=2x^2+1$ (da Input $x$ quadriert)
$g(x)=2\sqrt{x}-3$ (da die Wurzel vom Input $x$ genommen wird)
$k(x)=\frac{2}{x}+5$ (da durch Input $x$ dividiert wird)

Lässt sich eine Funktion $f$ so vereinfachen, dass eine lineare Funktion resultiert, so nennen wir diese Funktion ebenfalls linear. Zum Beispiel:

$f(x)=x^2+2x-3-x^2 = 2x-3$ , also eine lineare Funktion
$f(x)=\frac{2x^2}{4x}=\frac{1}{2}x$ , also eine lineare Funktion
$g(x)=2x^2 \cdot \frac{4}{x}+10.5 = 8x+10.5$ , also eine lineare Funktion
$k(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$ , denn mit der dritten binomischen Formel haben wir $x^2-4=(x-2)(x+2)$ , also eine lineare Funktion

Es ist auch einfach, den Graphen einer linearen Funktion mit Hilfe der Wertetabelle zu finden:

Exercise 1

Bestimmen Sie mithilfe einer Wertetabelle den Graphen der Funktionen $f(x)=2x+3$ und $g(x)=0.5x-1$ . Zeichnen Sie die Graphen in dasselbe Koordinatensystem ein.

Solution

\begin{array}{r|l} x & y=2x+3\\\hline -2 &-1\\ -1 & 1\\ 0 & 3\\ 1 & 5\\ \end{array}

\begin{array}{r|l} x & y=0.5x-1\\\hline -2 &-2\\ -1 & -1.5\\ 0 & -1\\ 1 & -0.5\\ 2 & 0\\ 3 & 0.5\\ \end{array}

In der Übung oben haben wir gesehen, dass der Graph eine Gerade ist. Dies ist für linearen Funktionen immer der Fall:

Theorem 1

Der Graph einer lineare Funktion ist eine Gerade.

Es ist klar, dass sich der Graph der linearen Funktion $f$ in Abhängigkeit von den Werten der Koeffizienten $a$ und $b$ verändert. Aber wie genau? Wir werden das später untersuchen.