Nullstellen und y-Achsenabschnitte von Funktionen

Gegeben ist der Graph einer allgemeinen Funktion $f$ , also nicht unbedingt linear. Die $x$ -Werte auf der $x$ -Achse wo der Graph die $x$ -Achse schneidet heissen Nullstellen von f (oder x-Achsenabschnitte von f). Die $y$ -Werte auf der $y$ -Achse wo der Graph die $y$ -Achse schneidet heissen y-Achsenabschnitte von f.

Zum Beispiel, der Graph unten hat die Nullstellen bei $x=-2$ , $x=1$ , und $x=4$ , und einen $y$ -Achsenabschnitt bei $y=2$ .

Exercise 1

Was ist die kleinste und die grösste Anzahl möglicher Nullstellen und $y$ -Achsenabschnitte eines Graphen?

Solution

Beliebig viele Nullstellen sind möglich (auch $0$ ). Die Anzahl der $y$ -Achsenabschnitte ist jedoch entweder $0$ oder $1$ . Warum ist es nicht möglich, mehr als einen $y$ -Achsenabschnitt zu haben? Weil es sich um eine Funktion handelt! Wenn es mehr als einen $y$ -Achsenabschnitt gibt, hat der Input $x=0$ mehr als $1$ Output. Aber dann stellt der Graph keine Funktion mehr dar.

Wir beschränken uns nun auf die linearen Funktionen. Betrachte eine lineare Funktion, deren Funktionsgleichung bekannt ist, z.B.

f(x)=3x+1

Wie kann man die Nullstellen und $y$ -Achsenabschnitte des Graphen von $f$ finden?

Der $y$ -Achsenabschnitt liegt immer auf der $y$ -Achse, hat also die Koordinaten $(0|y)$ , wobei das noch zu bestimmende $y$ der $y$ -Achsenabschnitt ist. Wir wissen auch, dass für jeden Punkt auf dem Graphen von $f$ die $x$ -Koordinate der Input der Maschine bildet, und die $y$ -Koordinate ist der Output. Daher, wir können unser $y$ finden, indem wir $0$ in die Maschine eingeben, und dann berechnen, was der Output ist: $y=f(0)$ .

\begin{array}{ccc} & 0 & \\ & \downarrow & \\ & \boxed{f} & \\ & \downarrow & \\ & y & \\ \end{array}

Daher, $y=f(0)=3\cdot 0+1=1$ . Der $y$ -Achsenabschnitt ist also $1$ .

Da die Nullstelle immer auf der $x$ -Achse liegt, hat sie die Koordinaten (x|0), wobei $x$ die noch zu bestimmende Nullstelle ist. Daher, wir suchen einen Input so, dass die Maschine den Output $0$ produziert: $f(x)=0$

\begin{array}{ccc} & x & \\ & \downarrow & \\ & \boxed{f} & \\ & \downarrow & \\ & 0 & \\ \end{array}

Um $x$ zu berechnen, müssen wir also die Gleichung

$3x+1=0$

lösen. Subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung mit $1$ , und dividieren dann beiden Seiten durch $3$ , erhalten wir die Nullstelle $x=-\frac{1}{3}$ .

Exercise 2

Skizziere die Graphen, und bestimme oder schätze Anhand der Graphen die $y$ -Achsenabschnitte und die Nullstellen ein. Berechne dann die $y$ -Achsenabschnitte und die Nullstellen.
1. $f(x)=3x-1$
2. $g(x)=-2x+3.5$
3. $h(x)=0.25x+3$
4. $i(x)=x^2-4$
Bestimme für eine allgemeine lineare Funktion $f(x)=ax+b$ den $y$ -Achsenabschnitt und die Nullstelle.

Solution

Die Graphen sind unten gezeigt.
1. $y$ -Achsenabschnitt: $y=-1$ , Nullstelle: $x=\frac{1}{3}$
2. $y$ -Achsenabschnitt: $y=3.5$ , Nullstelle: $x=1.75$
3. $y$ -Achsenabschnitt: $y=3$ , Nullstelle: $x=-12$
4. $y$ -Achsenabschnitt: $y=f(0)=-4$ , Nullstelle: Finde $x$ mit $x^2-4=0$ , daher $x^2=4$ , daher $x_1=-2$ und $x_2=2$ .