Der Schnittpunkt zwischen Graphen

Betrachte zwei Funktionen, etwa

f(x)=x+1f(x)=x+1

und

g(x)=−x+2g(x)=-x+2

Wenn wir die Graphen zeichnen, sehen wir, dass sie sich im Punkt SS schneiden (siehe unten). Wie können wir die Koordinaten dieses Punktes finden?

Halten wir zunächst noch einmal fest, dass die Werte auf der xx-Achse die Inputs für die Maschinen ff und gg darstellen und die Werte auf der yy-Achse sind die Outputs. Wenn wir zum Beispiel den Input x=1.5x=1.5 wählen, hat die Maschine ff den Output

y=f(1)=1+1=2y=f(1)=1+1=2

und die Maschine gg hat für den gleichen Input den Output

y=g(1)=−1+2=1y=g(1)=-1+2=1

was zu den beiden Punkten P1(1∣2)P_1(1\vert 2) und P2(1∣1)P_2(1\vert 1) auf dem Graphen von ff und gg führt. Beachte, dass die Maschinen ff und gg zwar den gleichen Input haben, aber einen unterschiedlichen Output (daher unterschiedliche yy-Koordinaten). Dies ist natürlich zu erwarten, da es sich um unterschiedliche Maschinen handelt. Am Schnittpunkt der Graphen, hingegen, müssen die beiden Maschinen für den gleichen Input xx den gleichen Output yy.

Um also die xx-Koordinate eines Schnittpunkts zwischen ff und gg zu finden, müssen wir einen Input für ff und gg suchen, welcher für beiden Maschinen den gleichen Output ergibt:

Theorem 1

Gegeben sind zwei Funktionen ff und gg. Für jede xx-Koordinate eines Schnittpunkts zwischen den Graphen von ff und gg muss gelten

f(x)=g(x)f(x)=g(x)

Da f(x)=x+1f(x)=x+1 und g(x)=−x+2g(x)=-x+2, müssen wir also einen Wert für xx so finden, dass gilt:

x+1=−x+2x+1 = -x+2

Wir müssen also diese Gleichung nach xx auflösen. Wir wissen bereits, wie das gemacht wird, und finden x=0.5x=0.5 als Lösung dieser Gleichung. Die xx-Koordinate des Schnittpunkts SS ist also x=0.5x=0.5.

Wie finden wir die yy-Koordinate des Schnittpunktes heraus? Nun, da SS auf dem Graphen von ff liegt, ist die yy-Koordinate von SS gegeben durch

y=f(0.5)=0.5+1=1.5y=f(0.5)=0.5+1=1.5

Da SS aber auch auf gg liegt, könnten wir die yy-Koordinate mit Hilfe von gg berechnen, und sollten den gleichen yy-Wert bekommen. In der Tat gilt:

y=g(0.5)=−.5+2=1.5y=g(0.5)=-.5+2=1.5

Der Schnittpunkte hat also die Koordinaten S(0.5∣1.5)S(0.5 \vert 1.5).

Exercise 1

Gegen sind die linearen Funktionen f(x)=2x+1f(x)=2x+1 und g(x)=6x−4g(x)=6x-4. Bestimme die Nullstellen und den yy-Achsenabschnitt von ff. Bestimme auch den Schnittpunkt zwischen den Graphen von ff und gg.

Solution
  • yy-Achsenabschnitt: y=f(0)=2⋅0+1=1‾y=f(0)=2\cdot 0+1=\underline{1}
  • Nullstellen: Find xx with f(x)=02x+1=02x=−1x=−12‾\begin{array}{lll} f(x) &=& 0\\ 2x+1 &=& 0\\ 2x &=& -1\\ x &=& \underline{-\frac{1}{2}} \end{array}
  • Schnittpunkte: Finde xx mit f(x)=g(x)2x+1=6x−45=4xx=1.25\begin{array}{lll} f(x) &=& g(x)\\ 2x+1 &=& 6x-4\\ 5 &=& 4x\\ x &=& 1.25 \end{array} Um die yy-Koordinate zu finden, können wir ff oder gg benützen. Wir nehmen ff: y=f(1.25)=2⋅1.25+1=3.5y=f(1.25)=2\cdot 1.25+1 = 3.5 Also, die Koordinaten des Schnittpunkts sind S(1.25∣3.5)‾\underline{S(1.25\vert 3.5)}.
Exercise 2

Finde die Schnittpunkte von ff und gg.

  1. f(x)=2xf(x)=2x, g(x)=−0.5x+1g(x)=-0.5x+1

  2. f(x)=1f(x)=1, g(x)=x2g(x)=x^2

  3. f(x)=1f(x)=1, g(x)=25x2g(x)=\frac{25}{x^2}

  4. f(x)=x2+1f(x)=x^2+1, g(x)=−2x2g(x)=-2x^2

Solution

Finde xx mit f(x)=g(x)f(x)=g(x), dann löse die Gleichung um die xx-Koordinate des Schnittpunkts zu finden:

  1. S(0.4∣0.8)S(0.4\vert 0.8)
  2. S1(−1∣1),S2(1∣1)S_1(-1\vert 1), S_2(1\vert 1)
  3. S1(−5∣1),S2(5∣1)S_1(-5 \vert 1), S_2(5 \vert 1)
  4. keine Lösung, also kein Schnittpunkt.