Nullstellen und y-Achsenabschnitte von Funktionen

Gegeben ist der Graph einer Funktion $f$ . Die $x$ -Werte auf der $x$ -Achse, wo der Graph die $x$ -Achse schneidet, heissen Nullstellen von f (oder x-Achsenabschnitte von f). Der $y$ -Wert auf der $y$ -Achse, wo der Graph die $y$ -Achse schneidet, heisst y-Achsenabschnitt von f.

Zum Beispiel hat der unten abgebildete Graph Nullstellen bei $x=-2$ , $x=1$ , und $x=4$ . Der $y$ -Achsenabschnitt liegt bei $y=2$ .

Exercise 1

Was ist die kleinste und die grösste Anzahl möglicher Nullstellen und $y$ -Achsenabschnitte eines Graphen?

Solution

Beliebig viele Nullstellen sind möglich (auch $0$ ). Die Anzahl der $y$ -Achsenabschnitte ist jedoch entweder $0$ oder $1$ . Warum ist es nicht möglich, mehr als einen $y$ -Achsenabschnitt zu haben? Weil es sich um eine Funktion handelt! Wenn es mehr als einen $y$ -Achsenabschnitt gibt, hat der Input $x=0$ mehr als $1$ Output. Aber dann stellt der Graph keine Funktion mehr dar.

Betrachte nun eine Funktion, deren Funktionsgleichung bekannt ist, z.B.

f(x)=x^2-2

Wie kann man die Nullstellen und den $y$ -Achsenabschnitt des Graphen von $f$ finden?

Der $y$ -Achsenabschnitt liegt auf der $y$ -Achse und ist somit der Output für den Input $x=0$ . Der $y$ -Achsenabschnitt ist also

\boxed{y_\text{Achsenabschnitt} = f(0)}

Da Nullstellen auf der $x$ -Achse liegen, ist jeder Input, der den Output $0$ ergibt, eine Nullstelle:

\boxed{f(x_\text{Nullstelle})=0}

Example 1

Finde die Nullstellen und den $y$ -Achsenabschnitt von $f(x)=x^2-2$ .

Der $y$ -Achsenabschnitt ist $y=f(0)=0^2-2=\underline{-2}$
Um die Nullstellen zu finden, müssen wir alle $x$ -Werte finden mit $f(x)=0$ , also mit
$x^2-2=0$
Es folgt, dass $x=\pm \sqrt{2}$ . Wir haben also die $2$ Nullstellen $x_1=\underline{1.414...}$ und $x_2=\underline{-1.414...}$

In der Tat, der Graph zeigt genau das (klicke rechts).

Show

Exercise 2

F1

Betrachte die Funktion $f(x)=x(x-2)$ .

Zeichne den Graphen von $f$ mit Hilfe einer Wertetabelle.
Schätze anhand des gezeichneten Graphen die Nullstellen und den $y$ -Achsenabschnitt.
Berechne die Nullstellen und den $y$ -Achsenabschnitt.

F2

Berechne die Nullstellen und den $y$ -Achsenabschnitt der folgenden Funktionen:

$f(x)=3x+1$
$g(x)=2x^2-9$
$h(x)=x^2+1$
$i(x)=2x^2-3x$
$j(x)=4x(x+1)(2x-3)$
$k(x)=\frac{2}{x^2}+1$

F3

Gegeben sind die Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=0.5x+1$ .

Zeichnen die Graphen der beiden Funktionen in dasselbe Koordinatensystem.
Berechnen deren Nullstellen und $y$ -Achsenabschnitte.
Die beiden Graphen schneiden sich. Schätze die Koordinaten der Schnittpunkte.

F4

Finde die Nullstellen der folgenden Funktionen:

$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$
$g(x)=\sqrt{x^2-16}$
$h(x)=x^4+x^3$

Solution

Q1

Graph ist unten.
Graph $\rightarrow x_1\approx\underline{0}$ und $x_2\approx\underline{2}$
Nullstellen: finde $x$ mit $f(x)=x(x-2)=0\rightarrow x_1=\underline{0}$ und $x_2=\underline{2}$ . $y$ -Achsenabschnitt: $y=f(0)=0\cdot (0-2)=\underline{0}$ .

Q2

Nullstellen: $f(x)=3x+1=0\rightarrow x=\underline{-\frac{1}{3}}$ . $y$ -Achsenabschnitt: $y=f(0)=3\cdot 0+1=\underline{1}$
Nullstellen: $g(x)=2x^2-9=0\rightarrow x^2=4.5 \rightarrow x=\underline{\pm\sqrt{4.5}}$ . $y$ -Achsenabschnitt: $y=g(0)=2\cdot 0^2-9=\underline{-9}$
Nullstellen: $h(x)=x^2+1=0\rightarrow x^2=-1 \rightarrow x=\sqrt{-1} \rightarrow$ keine Lösung, also keine Nullstellen. $y$ -Achsenabschnitt: $y=h(0)=0^2+1=\underline{1}$
Nullstellen: $i(x)=2x^2-3x=0\rightarrow x_1=\underline{0}$ and $x_2=\underline{1.5}$ . $y$ -Achsenabschnitt: $y=i(0)=\underline{0}$
Nullstellen: $j(x)=4x(x+1)(2x-3)=0\rightarrow x_1=\underline{0}$ and $x_2=\underline{-1}$ and $x_3=\underline{1.5}$ (Faktoren $0$ setzen). $y$ -Achsenabschnitt: $y=j(0)=\underline{0}$
Nullstellen: $k(x)=\frac{2}{x^2}+1=0\rightarrow 2=-x^2 \rightarrow x^2=-2 \rightarrow x=\sqrt{-2} \rightarrow$ keine Lösung, also keine Nullstellen. $y$ -Achsenabschnitt: $y=k(0)=\frac{2}{0}+1$ . Da Division durch $0$ unendlich ist, also keine reelle Zahl, gibt es auch keinen $y$ -Achsenabschnitt.

Q3

Graphen sind unten.
Nullstellen von $f$ : $f(x)=x^2=0\rightarrow x=\underline{0}$ . $y$ -Achsenabschnitt von $f$ : $y=f(0)=\underline{0}$ . Nullstellen von $g$ : $g(x)=0.5x+1=0\rightarrow x=\underline{-2}$ . $y$ -Achsenabschnitt von $g$ : $y=g(0)=\underline{1}$
Schätzungen: $A(-0.9|0.8)$ , $B(1.1|1.8)$ .

Q4

Finde $x$ mit $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0$ . Jeder Faktor ergibt eine Nullstelle, also $x_1=\underline{1}, x_2=\underline{2}, x_3=\underline{3}, x_4=\underline{4}$ .
Finde $x$ mit $\sqrt{x^2-16}=0$ . Quadriere beide Seiten, also $x^2-16=0^2=0$ und somit $x^2=16$ . Nehmen wir auf beiden Seiten die Wurzel erhalten wir $x_1=\underline{4}, x_2=\underline{-4}$ .
Finde $x$ mit $x^4+x^3=0$ . Klammere $x^3$ aus, wir erhalten $x^3(x+1)=0$ und jeder Faktor ergibt eine Lösung, also $x_1=\underline{0}, x_2=\underline{-1}$ .