Der Schnittpunkt zwischen Graphen

Betrachte zwei Funktionen, etwa

und

Wenn wir die Graphen zeichnen, sehen wir, dass sie sich in zwei Punkten $A$ und $B$ schneiden (siehe unten). Wie können wir die Koordinaten dieser Punkte finden?

Halten wir zunächst noch einmal fest, dass die Werte auf der $x$-Achse die Inputs für die Maschinen $f$ und $g$ darstellen und die Werte auf der $y$-Achse sind die Outputs. Wenn wir zum Beispiel den Input $x=0.5$ wählen, hat die Maschine $f$ den Output

und die Maschine $g$ hat für den gleichen Input den Output

was zu den beiden Punkten $P_1(0.5\vert 0.25)$ und $P_2(0.5\vert -1)$ auf dem Graphen von $f$ und $g$ führt. Beachte, dass sie zwar den gleichen Input haben, aber einen unterschiedlichen Output (daher unterschiedliche $y$-Koordinate). Dies ist natürlich zu erwarten, da es sich um unterschiedliche Maschinen handelt. Am Schnittpunkt der Graphen, hingegen, haben die beiden Maschinen für den gleichen Input $x$ den gleichen Output $y$.

Eine kurze Animation ist unten zu sehen (ausklappen) ...

Show

Um also die $x$-Koordinate eines Schnittpunkts zwischen $f$ und $g$ zu finden, müssen wir einen Input für $f$ und $g$ suchen, welcher für beiden Maschinen den gleichen Output ergibt:

Da $f(x)=x^2$ und $g(x)=2x^2-x-1$, müssen wir $x$ so finden, dass gilt:

Wir müssen also diese Gleichung nach $x$ auflösen. Im Moment können wir diese spezielle Art von Gleichung nicht lösen, aber es stellt sich heraus, dass diese Gleichung die beiden Lösungen $x_1=-0.618$ und $x_2=1.618$ hat (überprüfe!). Der Schnittpunkt $A$ hat also die $x$-Koordinate $-0.618$, und $B$ hat die $x$-Koordinate $1.618$. Wie finden wir die $y$-Koordinaten dieser Punkte heraus? Nun, da $A$ auf dem Graphen von $f$ liegt, ist die $y$-Koordinate von $A$ gegeben durch

und die $y$-Koordinate von $B$ durch

Da $A$ und $B$ auch auf dem Graphen $g$ liegen, können wir ihre $y$-Koordinate auch mit Hilfe von $g$ bestimmen:

und

Die Schnittpunkte haben also die Koordinaten $A(-0.618 \vert 0.382)$ und $B(1.618 \vert 2.618)$.