Funktionen

Definition und Notation einer Funktion

Funktionen, in der Physik oder Biologie auch als Formeln, Regeln oder Gesetze bezeichnet, sind eines der wichtigsten "Objekte" der Mathematik. Ganz allgemein kann man sich Funktionen als kleine Maschinen vorstellen, die eine Input entgegennehmen und nach einer festen Regel eine Output erzeugen:

Input x↓fRegel: 10 ⋅ x↓Output y\begin{array}{cl} \text{Input }x & \\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large f} & \text{Regel: 10 $\cdot$ x}\\ \large\downarrow & \\ \text{Output }y & \\ \end{array}

Diese Maschine hat einen Namen, ff. Beachte auch, dass in der Mathematik der Input normalerweise mit xx und der Output mit yy bezeichnet wird. Die Regel dieser Maschine lautet 10⋅x10\cdot x, d.h. "multipliziere den Input mit 1010". Wenn also der Input 33 ist, so ist der Output 3⋅10=303\cdot 10=30:

Input x=3↓fRegel: 10 ⋅ 3↓Output y=30\begin{array}{cl} \text{Input } x=3 & \\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large f} & \text{Regel: 10 $\cdot$ 3}\\ \large\downarrow & \\ \text{Output } y=30 & \\ \end{array}

Hier ist eine Maschine gg, welche andere Buchstaben für den Input und Output verwendet:

Input t↓gRegel: 4.05⋅t2↓Output s\begin{array}{cl} \text{Input } t & \\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large g} & \text{Regel: $4.05\cdot t^2$}\\ \large\downarrow & \\ \text{Output } s & \\ \end{array}

Diese Maschine berechnet die Strecke ss, die ein frei fallender Stein in der Zeit tt zurückgelegt hat. Diese Regel sollte eigentlich schon bekannt sein: "Distanz in Meter ist 4 mal das Quadrat der Zeit in Sekunden".

Noch ein paar Worte zur Notation von Funktionen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie man eine Funktion beschreiben kann, ohne die Maschine zu zeichnen. Gehen wir zurück zu den beiden Maschinen ff und gg von oben.

  1. Für ff können wir schreiben y=10x\boxed{y=10 x} und für gg s=4.05t2\boxed{s=4.05 t^2} Mit dieser Schreibweise erhält man nicht den Namen der Funktion. Aber sie gibt an, welche Variable man für den Input und den Output verwendet, und sie gibt die Regel der Maschine an.
  2. Für ff und gg können wir auch schreiben f(x)=10x\boxed{f(x)=10 x} und g(t)=4.05t2\boxed{g(t)=4.05 t^2} Diese Notation gibt den Namen der Maschine und auch die Regel an. Sie gibt auch an, welche Variable für den Input verwenden werden, jedoch nicht für den Output. Wenn wir ausserdem schreiben f(3)=3⋅10=30f(3)=3\cdot 10 = 30 bedeutet dies, dass der Input der Maschine 33 und der Output 3030 ist.

Beide Schreibweisen werden als Funktionsgleichung der Funktion bezeichnet. Wir werden meistens die zweite Schreibweise verwenden, aber in der Physik wird wahrscheinlich häufiger die erste Methode verwendet, weil die Variablen für Input und Output sehr unterschiedlich sind, und es nützlich ist, diese anzugeben. In der Mathematik verwenden wir normalerweise nur xx und yy als Input- und Outputvariablen.

Exercise 1

  1. Betrachte die in der folgenden Abbildung dargestellte Funktion. Bestimme die Funktionsgleichung (beide Notationen) und bestimme h(3)h(3).

    u↓hRegel: quadriere Input↓v\begin{array}{cl} u & \\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large h} & \text{Regel: quadriere Input}\\ \large\downarrow & \\ v & \\ \end{array}

  2. Die Funktion kk hat die Funktionsgleichung k(x)=x−1k(x)=x-1. Zeichne die Maschine.

Solution
  1. Die Funktionsgleichung von hh ist h(u)=u2h(u)=u^2 (der v=u2v=u^2), und es gilt h(3)=32=9h(3)=3^2=9 ist der Output für den Input 33.
  2. Das Diagramm der Maschine ist x↓kRegel: x-1↓y\begin{array}{cl} x & \\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large k} & \text{Regel: x-1}\\ \large\downarrow & \\ y & \\ \end{array} Wir gaben der Outputvariable den Namen yy.

Eigenschaften von Funktionen, Definitions- und Werte-Bereich

Gibt es Regeln, die in Funktionen nicht verwendet werden dürfen? Ja, denn wir verlangen von Funktionen, dass jeder Input genau einen Output haben muss. Was nicht erlaubt ist, ist, dass ein Input zwei oder sogar mehre Outputs hat, oder gar keinen.

Schauen wir uns zum Beispiel die folgende Maschine an:

x↓fRegel:finde alle y mit y2=x↓y\begin{array}{cl} x & \\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large f} & \text{Regel:finde alle $y$ mit $y^2=x$}\\ \large\downarrow & \\ y & \\ \end{array}

Der Input x=4x=4 hat zwei Outputs, y=−2y=-2 und y=2y=2 (da 22=42^2=4 und (−2)2=4(-2)^2=4):

4↓fRegel:finde alle y mit y2=4↓−2,2\begin{array}{cl} 4 & \\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large f} & \text{Regel:finde alle $y$ mit $y^2=4$}\\ \large\downarrow & \\ -2,2 & \\ \end{array}

Somit ist diese Maschine keine Funktion. Ebenfalls hat diese Maschine keinen Output für negative Inputs, da keine reelle Zahl quadriert negativ sein kann:

−4↓fRegel:finde alle y mit y2=−4↓no output\begin{array}{cl} -4 & \\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large f} & \text{Regel:finde alle $y$ mit $y^2=-4$}\\ \large\downarrow & \\ \text{no output} & \\ \end{array}

Frage: Wie können wir die Maschine so verändern, dass wir eine Funktion erhalten? Das Problem der zu vielen Ausgaben könnten wir beheben, in dem wir die Regel so abändern, dass nur die positive der zwei Zahlen als Output verwendet werden soll, etwa so:

x↓fRegel:finde alle positiven y mit y2=x↓y\begin{array}{cl} x & \\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large f} & \text{Regel:finde alle $\it{positiven}$ $y$ mit $y^2=x$}\\ \large\downarrow & \\ y & \\ \end{array}

Eine weitere Möglichkeit, das Problem der keinen Output zu lösen, besteht darin, die Inputs der Maschine einzuschränken. Wir führen dazu den Definitionsbereich ein. Der Definitionsbereich einer Funktion ff, geschrieben

DfD_f

besteht aus der Menge aller reellen Zahlen (Inputs), die jeweils genau einen Output erzeugen. Für die obige Maschine wollen wir also die Inputs auf alle reellen Werte grösser oder gleich 00 beschränken:

Df=[0,∞[D_f =[0,\infty[

Die unten stehende Maschine ist also eine Funktion:

x∈Df↓fRegel:finde alle positiven y with y2=x↓y\begin{array}{cl} x \in D_f & \\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large f} & \text{Regel:finde alle $\it{positiven}$ $y$ with $y^2=x$}\\ \large\downarrow & \\ y & \\ \end{array}

Warum wollen wir nicht mehr als eine Output für einen Input haben? In der Physik ist eine Funktion, die zwei Ausgaben erzeugt, oftmals nicht sinnvoll. Nehmen wir zum Beispiel eine Funktion, die für jeden Zeitpunkt (Input) die Position einer fallenden Kugel (Output) angibt. Es ist natürlich nicht sinnvoll, für einen bestimmten Zeitpunkt zwei verschiedene Positionen des Balls zu haben... .

Die Menge aller möglichen Outputs der Funktion heisst Wertebereich und wird mit

WfW_f

bezeichnet. Die obige Maschine erzeugt nur positive Werte als Outputs (einschliesslich 00), also ist der Bereich von ff ebenfalls

Wf=[0,∞[W_f =[0,\infty[
Example 1

Bestimme den Definitions- und Werte-Bereich der folgenden Funktionen.

  1. h(x)=x−1h(x)=x-1

  2. g(x)=2xg(x)=2x

  3. k(x)=1x2k(x)=\frac{1}{x^2}

Solution
  1. Dh=RD_h=\mathbb{R} and Wh=RW_h=\mathbb{R}
  2. Dg=RD_g=\mathbb{R} and Wg=RW_g=\mathbb{R}
  3. Dk=R∖{0}D_k=\mathbb{R}\setminus \{0\} and Wk=]0,∞[W_k=]0,\infty[
Exercise 2
  1. Betrachten die folgenden, mit Worten beschriebenen Funktionen. Zeichne für jede Funktion die Maschinen Darstellung, und schreibe auch die Funktionsgleichung auf.
    1. Der Input wird durch 22 geteilt, und das Ergebnis wird um 11 erhöht.
    2. Der Input wird um 2.52.5 vermindert, und das Ergebnis wird mit 1010 multipliziert.
    3. Der Input wird hoch drei gerechnet, und das Ergebnis wird mit 22 multipliziert.
    4. Der Input wird mit 33 multipliziert, das Ergebnis wird hoch drei gerechnet, und das Ergebnis wird um das Doppelte des Inputs erhöht.
    5. Zwei wird durch das Vierfache des Inputs geteilt, und das Ergebnis wird um den Input vermindert.
  2. Beschreibe die folgenden Funktionsgleichungen in Worten (ähnlich wie in Aufgabe 1), und bestimme f(−3)f(-3).
    1. f(x)=(x−1)2f(x)=(x-1)^2
    2. f(x)=3x−12f(x)=\frac{3x-1}{2}
    3. f(x)=1f(x)=1
    4. f(x)=−2x+2−x2f(x)=-2x+2-x^2
    5. f(x)=xx+1+1f(x)=\frac{x}{x+1}+1
  3. Was ist das Problem mit der folgenden Funktionsgleichung f(x)=±xf(x)=\pm\sqrt{x} ? Bemerkung: die Notation f(x)=±xf(x)= \pm \sqrt{x} bedeutet, dass f(x)f(x) zwei Werte hat, f(x)=+xf(x)= + \sqrt{x} und f(x)=−xf(x)= - \sqrt{x}.
  4. Bestimme den Input für den gegeben Output:
    1. x=?x=?x=?↓↓↓f3x−1gx2hx(x−1)↓↓↓0360\begin{array}{clclcl} x=? & & x=? & & x=? & &\\ \large\downarrow & & \large\downarrow & & \large\downarrow & & \\ \boxed{\large f} & 3x-1 & \boxed{\large g} & x^2 & \boxed{\large h} & x(x-1) &\\ \large\downarrow & & \large\downarrow & & \large\downarrow & &\\ 0 & & 36 & & 0 & &\\ \end{array}

    2. i(x)=4x+2i(x)=4x+2, Output y=−1y=-1

    3. j(x)=3j(x)=3 für alle xx, Output y=3y=3

    4. k(x)=1xk(x)=\frac{1}{x}, Output y=0y=0

Solution
  1. Die Funktionsgleichungen sind
    1. a(x)=x2+1a(x)=\frac{x}{2}+1 x↓ax2+1↓y\begin{array}{cl} x\\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large a} & \frac{x}{2}+1\\ \large\downarrow & \\ y & \\ \end{array}
    2. b(x)=10(x−2.5)=10(x−2.5)b(x)=10(x-2.5)=10(x-2.5) x↓b10(x−2.5)↓y\begin{array}{cl} x\\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large b} & 10(x-2.5)\\ \large\downarrow & \\ y & \\ \end{array}
    3. c(x)=x3⋅2=2x3c(x)=x^3\cdot 2=2x^3 x↓c2x3↓y\begin{array}{cl} x\\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large c} & 2x^3\\ \large\downarrow & \\ y & \\ \end{array}
    4. d(x)=(3x)3+2xd(x)=(3x)^3+2x x↓d(3x)3+2x↓y\begin{array}{cl} x\\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large d} & (3x)^3+2x\\ \large\downarrow & \\ y & \\ \end{array}
    5. e(x)=24x−xe(x)=\frac{2}{4x}-x x↓e24x−x↓y\begin{array}{cl} x\\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large e} & \frac{2}{4x}-x\\ \large\downarrow & \\ y & \\ \end{array}
  2. Es ist
    1. "Der Input is vermindert bei 11, und das Result quadriert" f(−3)=(−3−1)2=(−4)2=16‾f(-3)=(-3-1)^2=(-4)^2=\underline{16}
    2. "Der Input wird mit 33 multipliziert, und das Resultat um 11 vermindert, dann alles durch 22 dividiert" g(−3)=3⋅(−3)−12=−5‾g(-3)=\frac{3\cdot(-3)-1}{2}=\underline{-5}
    3. "Für jeden beliebigen Input ist der Output immer 11" h(−3)=1‾h(-3)=\underline{1}
    4. "Der Input ist multipliziert mit −2-2, dann wird 22 abgezogen, und dieses Resultat with um den Input im Quadrat vermindert" k(−3)=−2⋅(−3)+2−(−3)2=−1‾k(-3)=-2\cdot (-3)+2-(-3)^2=\underline{-1}
    5. "Der Input wird um 11 erhöht, und dann wir der Input durch dieses Resultat dividiert. Dann wird dieses Resultat um 11 erhöht." l(−3)=−3−3+1+1=2.5‾l(-3)=\frac{-3}{-3+1}+1=\underline{2.5}
  3. Für dieselben Input gibt es zwei Outputs, f(4)=±4=±2f(4)=\pm \sqrt{4}=\pm 2. Es handelt sich also nicht um eine Funktion. f(x)=xf(x)=\sqrt{x} ist jedoch eine Funktion, weil die Wurzel immer positiv ist.
  4. Finde xx mit
    1. f(x)=3x−1=0→x=13‾f(x)=3x-1=0 \rightarrow x=\underline{\frac{1}{3}}, g(x)=x2=36→x=±6‾g(x)=x^2=36 \rightarrow x=\underline{\pm 6}, h(x)=x(x−1)=0→x1=0‾h(x)=x(x-1)=0\rightarrow x_1=\underline{0} and x2=1‾x_2=\underline{1}
    2. i(x)=4x+2=−1→4x=−3→x=−34i(x)=4x+2=-1 \rightarrow 4x=-3\rightarrow x=\frac{-3}{4}
    3. j(x)=3j(x)=3 for all xx →\rightarrow xx kann eine irgend eine reelle Zahl sein.
    4. k(x)=1x=0k(x)=\frac{1}{x}=0 →\rightarrow es gibt kein xx.