Der Graph einer Funktion

Man kann sich den Graphen einer Funktion als ihr Bild vorstellen, d.h. der Graph zeigt, wie die Funktion "aussieht". Der Weg dazu ist einfach: Jedes Input-Output-Paar der Funktion definiert einen Punkt in einem Koordinatensystem, wobei die $x$ -Koordinate des Punktes die Eingabe und die $y$ -Koordinate die entsprechende Ausgabe ist:

Die Menge all dieser Punkte (d.h. aller möglichen Input-Output-Paare) nennt man den Graph der Funktion $f$ . Typischerweise bildet der Graph für alle Funktionen, die wir hier besprechen, eine schöne glatte Linie (oder mehrere glatte Linien).

Exercise 1

Skizziere den Graph der Funktion $f(x)=x^2$ .

Solution

Wir müssen ein paar Input-Output-Paare bestimmen, dann die Punkte in einem Koordinatensystem angeben und eine glatte Linie verwenden, um die Punkte zu verbinden. Je mehr Punkte Sie verwenden, desto genauer wird das Diagramm natürlich sein.

Exercise 2

F1

Ordne jedem Graphen unten eine Funktionsgleichung zu:

$f(x)=\frac{1}{2}x^4-2x^2+1$
$h(x)=\frac{1}{x}$
$k(x)=0.5x-1$

F2

Zeichne den Graphen der unten stehenden Funktionen.

$f(x)=\sqrt{x}$
$g(x)=\sqrt{x-1}$
$h(x)=\sqrt{x-2}$

F3

Zeichne den Graphen der unten stehenden Funktionen.

$f(x)=x^3$
$g(x)=0.5x^3$
$h(x)=0.25x^3$

F4

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2x^2-x+1$ . Finde Werte $x$ und $y$ so, dass

die Punkte $A(2\vert y)$ auf dem Graphen von $f$ sind.
die Punkte $B(x\vert 1)$ auf dem Graphen von $f$ sind.

F5

Betrachte den unten dargestellten Graphen einer Funktion $f$ . Schätze auf der Grundlage des Graphen (siehe unten) Folgendes:

$f(-1), f(0)$ , $f(0.5)$ , and $f(-0.5)$
alle Inputs mit Output $-1$
alle Inputs mit Output $0$
den Definitions- und Wertebereich von $f$

F6

Welche dieser Linien sind Graphen einer Funktion $f$ ? Gebe ausserdem den Definitionsbereich jeder Funktion (auf der $x$ -Achse) und den Wertebereich jeder Funktion an (auf der $y$ -Achse) an.

Solution

A1

Die Funktion $h$ ist für $x=0$ nicht definiert, also muss dies der Graph auf der rechten Seite sein. Die Funktion $k$ ist für $x=0$ negativ, also muss dies der Graph auf der linken Seite sein, und $f$ ist für $x=0$ positiv, also muss es der Graph in der Mitte sein.

Natürlich kann man auch den Graphen jeder Funktion skizzieren und dann mit den drei Zahlen vergleichen.

A2

Schiebe den Graph von $f$ um $1$ nach rechts um $g$ zu bekommen, und um 2 nach rechts, um $h$ zu bekommen.

A3

Stauche den Graphen von $f$ um $2$ in $y$ -Richtung, und um $4$ um $g$ um $h$ zu bekommen.

A4

$y=f(2)=2\cdot 2^2-2+1=7$ , also $\underline{A(2\vert 7)}$ . 2. Finde Input $x$ mit $y=f(x)=2x^2-x+1=1$ . Ziehen wir auf beiden Seiten $1$ ab, so erhalten wir die Bedingung für $x$ :
$2x^2-x=0$
Wenn wir $x$ ausklammern, erhalten wir
$x(2x-1)=0$
Daher, $x_1=0$ oder $2x-1=0 \rightarrow x_2=0.5$ . Wir erhalten also zwei Punkte $\underline{B_1(0\vert 1)}$ und $\underline{B_2(0.5\vert 1)}$ .

A5

$f(-1)=0, f(0)=0$ , $f(0.5)\approx -0.55$ , und $f(-0.5)\approx 0.3$
Die Inputs $x\approx -1.4$ , $x\approx 1$ und $x\approx 1.4$ haben den Output $-1$
Die Inputs $x=-1$ , $x=0$ , und $x=2$ haben den Output $0$
$D=R=\mathbb{R}$ (wenn wir annehmen, dass der Graph immer weiter geht.)

A6

$f$ und $h$ sind Funktionen, $g$ ist keine Funktion, da einige Inputs ( $x$ -Werte) mehr als zwei Outputs ( $y$ -Werte) besitzen.
Siehe unten.