Mengen und Elemente

Eine Menge in der Mathematik ist im wesentlichen das, was wir auch in der Umgangssprache darunter verstehen: eine Ansammlung von Objekten. Wir können uns eine Menge als eine Tasche vorstellen, die gewisse Waren vom Einkaufsladen enthält. Speziell an der Menge ist,

dass es keine Rolle spielt, wie die Objekte in der Menge angeordnet sind. Wenn sich die Waren in der Tasche verschieben, bleibt es trotzdem noch dieselbe Tasche mit denselben Waren.
die Menge unterschiedliche Objekte enthält. Bei den Waren in der Tasche ist das autoatisch der Fall. Auch wenn wir zwei Äpfel in der Tasche haben, sind diese unterscheidbar, wenn genau genug hingeschaut wird.

Der Begriff der Menge ist grundlegend in der Mathematik und kommt überall vor. Insbesondere auch, wir wir sehen werden, um logische Zusammenhänge in mathematischer Notation exakt und kurz zu formulieren.

Beginnen wir mit der Definition der Menge:

Definition 1

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. (George Cantor, 1895)

Definition 2

Die Objekte in der Menge werden Elemente genannt. Die Menge mit den Elementen wird aufgelisted, in dem die Elemente durch Kommas getrennt werden, und geschwungenen Klammern umschlossen werden. Zum Beispiel wird die Menge mit den Zahlen $1,2,3,10$ geschrieben als

Equation 1

\{1,2,3,10\}

Mengennotation mit geschwungenen Klammern.

und sagen, "die Menge mit den Elementen $1,2,3$ und $10$ ". Wir können der Menge auch einen Namen geben

Equation 2

A=\{1,2,3,10\}

Die Menge A.

Und wir sagen dann " $A$ ist die Menge mit den Elementen $1,2,3$ und $10$ ".

Note 1

Wir können zwar $\{1,2,2,3\}$ schreiben, aber die Menge, die damit gemeint ist, ist $\{1,2,3\}$ (es dürfen ja nur unterschiedliche Elemente in der Menge auftauchen).
Die Mengen $\{1,2,3\}$ und $\{2,1,3\}$ ist diesselbe Menge, da die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Example 1

Die Menge der Elemente Münze, Schlüssel und Taschentuch schreiben wir wie folgt:

M=\{\textnormal{Münze, Schlüssel, Taschentuch}\}

Schlüssel ist ein Element dieser Menge. Wir haben der Mengen den Namen $M$ gegeben. Ausserdem gilt:

Die Mengennotationen $\{\textnormal{Münze, Schlüssel, Taschentuch}\}$ und $\{\textnormal{Schlüssel, Taschentuch, Münze}\}$ bezeichnen die gleichen Mengen.
Die Mengennotationen $\{\textnormal{Münze, Schlüssel}\}$ und $\{\textnormal{Schlüssel, Münze, Münze}\}$ bezeichnen ebenfalls die gleichen Mengen

Note 2

Wir werden Mengen oft auch blildlich mit Kreisen darstellen. Solch ein Diagramm nennen wir Venn-Diagramm. Das Venn-Diagramm der Menge $\{\textnormal{Münze, Schlüssel, Taschentuch}\}$ ist

Manchmal lassen wir die Elemente selbst auch weg, und zeichnen nur Kreise, welche die Mengen symbolisieren (siehe unten).

Note 3

In der Mathematik verwenden wir auch Listen, bei denen die Reihenfolge wichtig ist. Solche Listen nennen wir Tupel, und um diese Arten von Listen zu kennzeichnen, verwenden wir runde Klammern $(...)$ . Zum Beispiel wird die Position eines Punktes in einem Koordinatensystem durch ein Tupel von Koordinaten beschrieben, z.B.

(1,2)

Es ist klar, dass die Position $(2,1)$ sich von der Position $(1,2)$ unterscheidet. Die Position eines Punktes als Menge $\{1,2\}$ anzugeben ist also nicht sinvoll, da dann nicht klar ist, welche Position wir meinen.

Wir führen nun noch zwei spezielle Mengen ein.

Definition 3

Die leere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthält, und wir bezeichnen sie mit

Equation 3

\{\} \text{ oder }\phi

Leere Menge

Wir brauchen hauptsächlich die Notation $\{\}$ .

Definition 4

Eine Menge ist immer in einem "Universum" eingebettet. Dies ist eine gewöhnliche Menge, die aber die Aufgabe hat zu spezifizieren, welche Objekte überhaupt vorkommen können or sollen. Diese Menge wird Universalmengen (oder Grundmengen) genannt.

Eine Universalmenge wird oft mit $U$ gekennzeichnet, und wird im Venn-Diagramm als Rechteck gezeichnet. Die Mengen werden dann als Kreise in diesem Rechteck eingezeichnet.

Example 2

Die Menge $\{1,2,3\}$ könnte die Univerversalmenge $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ besitzen.
Die Menge $\{\textnormal{Münze, Schlüssel, Taschentuch}\}$ könnte als Universalmenge alle Objekte haben, die einem Warenhaus vorkommen.

Wir besprechen wir kurz Möglichkeiten, wie Mengen beschrieben werden können. Wir machen dies anahnd von einem Beispiel.

Definition 5

Alle bisherigen Beispielen zählten die Elemente auf, die zur Menge gehören, etwa

A=\{2,4,6\}

Werden die Elemente explizit geschrieben, so nennen wir das die explizite Beschreibung. Die Menge $A$ könnten wir aber auch mit beschreiben, etwa

A=\text{"alle geraden Zahlen kleiner als 7"}

Hier müssen die Zahlen hergeleitet werden, kommen aber immer noch auf die Elemente $2,4$ und $6$ . Dies ist die implizite Beschreibung.

Example 3

$A=\{1,2,3,5\}$ ist eine explizite Methode
$B=\,$ "natürliche Zahlen von $1$ bis $5$ " ist eine implizite Methode.
$C=\,$ "die Lösungen der Gleichung $x^2=4$ " ist eine implizite Methode.
$D=\{2,4,6,...,10\}$ ist eine implizite Methode. "Alle geraden Zahlen von $2$ bis $10$ ."
$E=\{2,4,6,...\}$ ist eine implizite Methode. "Alle geraden Zahlen von $2$ bis unendlich."

Beachte: drei Punkte ( $...$ ) stehen für "und so weiter", und es wir angenommen, dass die Regel ersichtlich ist, wie die fehlenden Zahlen zu ergänzen sind. Die explizite Methode ist nur bei Mengen mit wenigen Elementen praktikabel.

Exercise 1

Betrachte die Menge $A=\,$ "Vielfaches von 3". Welche Aussagen sind richtig?
1. $4\in A$
2. $21\not\in A$
3. $111 \in A$
Schreibe die explizite Form der Mengen
1. $A=\,$ "alle ungeraden Zahlen zwischen $0$ und $20$ , die auch Primzahlen sind"
2. $L=\,$ "die Lösungen der Gleichung $3x+15=0$ "

Solution

1. nein
nein
ja
$A=\{3,5,7,11,13,17,19\}$
$L=\{-5\}$