Polyeder

Als Polyeder (griech.: Vielflächner) bezeichnet man Körper, die nur von ebenen Vielecken begrenzt werden. Beispiele sind Würfel, Pyramiden, Prismen; ein Zylinder ist kein Polyeder.

Die 5 Platonischen Körper

Besteht eine Oberfläche eines konvexen Polyeders aus lauter kongruenten Vielecken und treffen in dessen Ecken immer die gleiche Anzahl Flächen zusammen, so spricht man von einem regelmässigen Polyeder. Ihre Anzahl ist beschränkt und kann ermittelt werden, wenn man bedenkt:

• Die Summe aller Kantenwinkel an jeder Körperecke muss kleiner als $360^\circ$ sein.
• In jeder Körperecke stossen mindestens $3$ Flächen zusammen.

Somit folgt: Wird das Polyeder von regelmässigen Dreiecken begrenzt, so kann eine Ecke nur von $3$, $4$ oder $5$ Seitenflächen gebildet werden (Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder). Wird das Polyeder von regelmässigen Vierecken (Hexaeder) oder regelmässigen Fünfecken (Dodekaeder) begrenzt, so kann eine Ecke nur durch $3$ Seitenflächen gebildet werden. Andere Möglichkeiten gibt es nicht mehr.

Für den griechischen Philosophen Plato (427 - 347 v.Chr.) waren diese fünf Körper Grundbausteine seines Weltsystems: Sie entsprachen den vier Elementen Feuer, Erde, Wasser und Luft. Das Dodekaeder entsprach einer Schale, die das ganze Universum einhüllte. Daher werden die fünf regelmässigen Polyeder auch platonische Körper genannt.

Diese Idee Platons kann als erster bekannter Versuch interpretiert werden, die Welt mit einem Atombild zu erklären. Platon stellte auch Regeln auf, wie die einzelnen Elemente miteinander reagieren oder ineinander übergeführt werden können.

Selbst die Natur bevorzugt bei Kristallformen der Platon'schen Körper Gestalt.

Eine der Erdbahn zugeordnete Kugel bildet den Ausgang. Ihr wird ein Dodekaeder umbeschrieben; auf dessen Umkugel liegt die Bahn des Mars. Das dieser Kugel umbeschriebene Tetraeder enthält auf seiner Umkugel die Bahn des Jupiter, und der dieser Kugel umbeschriebene Würfel bestimmt eine Umkugel, auf der die Bahn des Saturn verläuft. Das der Erdbahnkugel einbeschriebene Ikosaeder trägt auf seiner Inkugel die Bahn der Venus und das dieser Inkugel einbeschrieben Oktaeder enthält auf seiner Inkugel die Bahn des Merkurs.

Der Euler'sche Polyedersatz

Obwohl sich die griechischen Mathematiker intensiv mit den Polyedern beschäftigt haben, wurde der folgende Satz erst von Leonard Euler (1707-1783) entdeckt.

Theorem 2: Euler'scher Polyedersatz

Es sei $E$ die Anzahl Ecken, $K$ die Anzahl Kanten und $F$ die Anzahl Seitenflächen eines beliebigen Polyeders. Dann gilt:

$$E-K+F = 2.$$

Proof

Wir haben diesen Satz bereits als Spezialfall bei den platonischen Körper bestätigt. Die folgenden Beweisschritte werden am Beispiel eines Würfels demonstriert. Man stelle sich dabei vor, dass die Oberfläche des Polyeders aus einer Gummihaut besteht.

1. Nach Herausnehmen einer Fläche ($F\rightarrow F-1$) kann man die Oberfläche so stark deformieren, dass sie schliesslich flach in der Ebene liegt.

2. Triangulation: In jedem Vieleck, das nicht schon ein Dreieck ist, wird eine Diagonale eingezeichnet: ($K\rightarrow K+1, F\rightarrow F+1$) $E-K+F$ bleibt konstant.

3. Bei den Dreiecken, die nur eine Kante auf der Randlinie haben, wird alles entfernt, was nicht zugleich zu anderen Dreiecken gehört: ($K\rightarrow K-1, F\rightarrow F-1$) $E-K+F$ bleibt konstant.

4. Bei den Dreiecken, die zwei Kanten auf der Randlinie haben, wird auch alles entfernt, was nicht zugleich zu anderen Dreiecken gehört: ($E\rightarrow E-1, K\rightarrow K-2, F\rightarrow F-1$) $E-K+F$ bleibt konstant.

5. Die Punkte 3. und 4. werden so lange wiederholt, bis zuletzt nur noch ein Dreieck mit $E-K+F=1$ übrig bleibt.

Bei diesen Operationen hat sich der Wert von $E-K+F = 1$ nicht verändert. Berücksichtigt man noch Punkt 1., so muss für das Polyeder $E-K+F = 2$ gelten.