Relation & Abbildung

Exercise 1: Relation

Was bedeutet das Wort Äquivalenzrelation?

Solution

Äquivalenz stammt vom lateinischen aequivalentia (aequus gleich und valere wert sein) und relatio (referre beziehen auf, zurücktragen) ab und meint daher eine "gleichwertige Beziehung".

Relationen

Personen oder Dinge stehen oft in Beziehung. Manche Beziehungen lassen sich graphisch darstellen und mathematisch beschreiben. Im Folgenden werden Menge und Beziehungen zwischen ihren Elementen betrachtet.

Example 1

Es gibt eine Beziehung, in der Mathematik sagt man Relation, zwischen den Mitgliedern dieser Klasse und den möglicherweise gewählten Freifächern.

Definition 1: Relation

Unter einer Relation $R$ zwischen den Elementen der Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ versteht man eine beliebige Beziehung (Zuordnung), wodurch jedem Element $x\in\mathbb{A}$

kein,
genau ein oder
mehr als ein

Element $y\in\mathbb{B}$ zugeordnet wird. Man schreibt

R:\mathbb{A}\longrightarrow\mathbb{B}

Example 2

Im obigen Beispiel steht $R$ für "zu einem Klassenmitglied das Freifach zuordnen", $\mathbb{A}$ für die Menge der Schüler der Klasse und $\mathbb{B}$ für die Menge der angebotenen Freifächer.

Note 1

Offensichtlich kann jede Relation als Menge von geordneten Paaren $(x|y)$ notiert werden. Um eine Relation via Mengenlehre zu definieren, wird noch folgende Definition benötigt:

Definition 2: Kartesisches Produkt

Die Produktmenge zweier Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ ist die Menge aller geordneten Paare $(a|b)$ , wobei $a\in\mathbb{A}$ und $b\in\mathbb{B}$ ist. Man schreibt

\mathbb{A}\times\mathbb{B}=\{(a|b)\mid a\in\mathbb{A}\text{ und }b\in\mathbb{B}\}

Example 3

$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ , kurz $\mathbb{R}^2$ , ist die Menge aller Punkte einer Ebene. Die Paare $(x|y)$ können als Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem veranschaulicht werden.

Exercise 2: \mathbb{R}^3

Beschreibe die Menge $\mathbb{R}^3$ . Welche Form/Schreibweise hat ein Punkt in dieser Menge?

Solution

Es handelt sich um die Menge aller Zahlentrippel $(x|y|z)$ mit $x,y,z\in\mathbb{R}$ , also den 3D-Raum.

Damit lässt sich der Relationsbegriff auch rein mengentheoretisch definieren.

Definition 3: Relation

Eine Relation $R$ zwischen den Elementen der Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $\mathbb{A}\times\mathbb{B}$ .

Note 2

Die Darstellung der Relationen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem nennt man den Graphen oder Plot der Relation.

Für die folgenden Übungen wird an die Definition des Betrags erinnert:

Definition 4: Absolutbetrag

Für jede reelle Zahl $x$ ist der Betrag von $x$ definiert durch

|x|= \begin{cases} \phantom{-}x\quad\text{falls }x\geq0\\ -x\quad\text{falls }x<0 \end{cases}

Exercise 3: Relationsgraph

Beachte, dass $x$ und $y$ als reelle Zahlen zu betrachten sind, falls keine andere Vereinbarung vorliegt. Zeichne den Graphen der Relation:

a) $R=\{(x|y)\mid y = x\}$

b) $R=\{(x|y)\mid y\leq x\}$

c) $R=\{(x|y)\mid x<2\text{ und }y<4,\, x,y\in\mathbb{Z}\}$

d) $R=\{(x|y)\mid |x|\leq5, |y|\leq5\}$

Solution

a) Dies ist die Gerade $y=x$ .

b) Das ist die Menge aller Punkte unterhalb der Winkelhalbierenden $y=x$ .

c) Das sind alle ganzzahligen Koordinaten ab $x=1$ abwärts und $y=3$ abwärts.

d) Dies entspricht einem Quadrat.

Exercise 4: Relation?

Gib die Relation an, die durch den folgenden Graphen veranschaulicht wird.

Solution

Falls nicht anders erwähnt, ist die Grundmenge $\mathbb{R}$ bzw. $\mathbb{R}^2$ . Zudem wird der Rand teilweise dazugenommen, teilweise nicht.

a) $R=\{(x|y)\mid 1\leq y\leq3\}$

b) $R=\{(x|y)\mid x\cdot y\geq0\}$

c) $R=\{(x|y)\mid -2<x<5\text{ und }-4<y<3\}$

d) $R=\{(x|y)\mid |x+y|>3\text{ oder }|x-y|>3\}$

Abbildungen

In der Mathematik spielen die Relationen, die sich auf die gesamte Ausgangsmenge beziehen und eine eindeutige Zuordnung schaffen, eine besonders wichtige Rolle.

Definition 5: Abbildung

Eine Abbildung $\alpha$ von einer Ausgangsmenge $\mathbb{A}$ in eine Zielmenge $\mathbb{B}$ ist eine Relation, die jedem Element $x\in\mathbb{A}$ genau ein Element $y\in\mathbb{B}$ zuordnet. Man schreibt

\alpha:\mathbb{A}\longrightarrow\mathbb{B}

oder für Elemente

y=\alpha(x)

Man nennt $y$ das Bild von $x$ und $x$ das Urbild von $y$ .

Note 3

Per Definition ist jede Abbildung eine Relation, aber nicht jede Relation eine Abbildung.