Binomialverteilung

Oft gibt es bei Zufallsversuchen nur zwei mögliche Ausgänge: Mit einer Münze wirft man "Kopf" oder "Zahl", die gewürfelte Augenzahl ist eine $6$ oder keine $6$ , die gezogene Karte ist ein Ass oder kein Ass, ...

Definition 1: Bernoulli-Versuch

Ein Zufallsversuch mit genau zwei Ausgängen, also mit dem Stichprobenraum $\Omega=\{\text{Erfolg, Misserfolg}\}$ oder kurz $\{1,0\}$ , heisst Bernoulli-Versuch.

Man nennt in diesem Zusammenhang eine Zufallsvariable binomialverteilt (binominis: lat. zweinamig).

Jakob Bernoulli (1655 - 1705) war der erste Mathematiker, der die Wahrscheinlichkeitsprobleme, die aus dieser Art von Versuchen entstehen, systematisch untersuchte. Üblicherweise wird die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg $1$ mit $p$ und die für einen Misserfolg $0$ mit $q$ bezeichnet: $P(1) = p$ , $P(0) = q$ , und damit $p + q = 1$ .

Ein Bernoulli-Versuch werde $n$ -mal wiederholt. Man spricht von einem $n$ -stufigen Bernoulli-Versuch, wenn

bei jeder Wiederholung des Bernoulli-Versuchs nur zwei Ausgänge möglich sind,
$P(1) = p$ bei jeder Wiederholung konstant bleibt,
die einzelnen Wiederholungen des Bernoulli-Versuchs voneinander unabhängig sind.

Bei einem $n$ -stufigen Bernoulli-Versuch interessiert man sich nicht so sehr für die Reihenfolge der Erfolge und Misserfolge, sondern nur für deren Anzahl und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten dafür. Beispielsweise hat eine Familie mit sechs Kindern vier Knaben und zwei Mädchen. Wie gross ist bei einem $n$ -stufigen Bernoulli-Versuch die Wahrscheinlichkeit für $0$ , $1$ , $2$ oder $n$ Erfolge? Um diese Frage zu beantworten, führt man die Zufallsvariable $S_n$ ein, die jedem möglichen Ausgang des $n$ -stufigen Versuchs die Anzahl Erfolge zuordnet.

Exercise 1: Erfolge

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $S_n$ ist wieder in einer Tabelle, deren Lücken noch zu füllen sind, dargestellt:

$k$	0	1	2	3	...	$k$	...	$n-1$	$n$
$P(S_n=k)$	$q^n$								$p^n$

Solution

$x$	0	1	2	3	$k$	$n-1$	$n$
$P(S_n=x)$	$q^n$	$n \cdot pq^{n-1}$	$\binom{n}{2}p^2q^{n-2}$	$\binom{n}{3}p^3q^{n-3}$	$\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$	$n \cdot p^{n-1}q$	$p^n$

Exercise 2: Würfeln

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit bei $10$ Würfen genau $3$ mal eine $6$ zu werfen?

Solution

$P(3\text{ mal }6) = \binom{10}{3}(\frac{1}{6})^3(\frac{5}{6})^7 \approx 15.5\%$

Theorem 1

Ist bei einem Bernoulli-Versuch die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg $p$ und für einen Misserfolg $q = 1 - p$ , so ist bei einem $n$ -stufigen Bernoulli-Versuch die Wahrscheinlichkeit für $0\leq k\leq n$ Erfolge

P(S_n=k) = \binom{n}{k}p^kq^{n-k}.

Proof

Die Wahrscheinlichkeit für $k$ Erfolge mit Einzel-Wahrscheinlichkeit $p$ ist $p^k$ ; es bleiben $n-k$ Misserfolge mit Einzel-Wahrscheinlichkeit $q$ , also dafür $q^{n-k}$ . Der Fall von $k$ Erfolgen gefolgt von $n-k$ Misserfolgen tritt also mit der Wahrscheinlichkeit $p^k\cdot q^{n-k}$ auf. Nun muss noch die Anzahl mögliche Reihenfolgen, in der diese Erfolge bzw. Misserfolge bei $n$ Versuchen auftreten können, ermittelt werden. Dies entspricht der Anzahl möglicher Zeichenfolgen der Länge $n$ mit zwei verschiedenen Ziffern ( $0$ oder $1$ ) pro Position, wobei eine Ziffer $k$ mal und die andere $n-k$ auftreten muss; davon gibt es $\binom{n}{k}$ .

Exercise 3: Binomialverteilt

Formuliere zuerst in Worten unten stehende Gleichung, und begründe anschliessend, dass tatsächlich

\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}p^kq^{n-k} = 1.

Solution

Die Gleichung besagt, dass die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung für $k=0$ bis $n$ genau $1$ ergibt (Normierung). Mathematisch ist $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$ die Anwendung des binomischen Lehrsatzes auf den Term $(p+q)^n$ . Da $p+q=1$ gilt, folgt $(1)^n = 1$ .

Exercise 4: n=8

Stelle die Binomialverteilung für $n=8$ und

a) $p=0.3$

b) $p=0.5$

c) $p=0.7$

durch ein Stabdiagramm graphisch dar. ( $k$ sei variabel.)

Solution

Exercise 5: schwarz weiss

Aus einer Urne mit zwei schwarzen und vier weissen Kugeln werden sechs Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, vier weisse und zwei schwarze Kugeln zu erhalten?

Solution

$p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ (weiss), $q = \frac{1}{3}$ (schwarz). $P(4w\text{ und }2s) = \binom{6}{4}(\frac{2}{3})^4(\frac{1}{3})^2 \approx 32.9\%$

Exercise 6: Fünf Würfel

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf mit fünf Würfeln mindestens zwei Sechsen zu erzielen?

Solution

Ich gehe über die Gegenwahrscheinlichkeit. $P(0) = (\frac{5}{6})^5$ und $P(1) = 5\cdot(\frac{5}{6})^4(\frac{1}{6})$ und somit $P(\text{mind. }2) = 1-(P(0)+P(1)) \approx 19.6\%$

Theorem 2

Bei einer Binomialverteilung gilt für den Erwartungswert

E(S_n) = np.

Proof

$E(S_n) = \sum_{k=0}^nk\cdot\binom{n}{k}p^kq^{n-k} = np\cdot\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}p^kq^{n-1-k} = np(p+q)^{n-1} = np\cdot1^{n-1} = np.$

Theorem 3

Für die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsvariablen gilt

\sigma = \sqrt{npq}.

Proof

Ähnliche, aber umfangreichere Rechnung als beim Erwartungswert.

Exercise 7: Werkstück

Werkstücke aus einer Fabrik sind mit der Wahrscheinlichkeit von 2% defekt. Wie gross ist die erwartete Anzahl defekte und die Standardabweichung bei einer Sendung von $10'000$ Werkstücken?

Solution

$E(X) = 10'000 \cdot 0.02 = 200$ und $\sigma_X = \sqrt{10'000 \cdot 0.02 \cdot 0.98} = 14$

Exercise 8

If the probability is 60% that a marriage will end in a divorce within 20 years after its start, what is the probability that out of six couples just married, in the next 20 years

a) none,

b) all,

c) exactly two,

d) at least two

will be divorced? What is the mean and standard deviation for 1000 marriages?

Solution

$p=0.6, q=0.4, n=6$

a) $0.4^6 \approx 0.41\%$

b) $0.6^6 \approx 4.67\%$

c) $\binom{6}{2} \cdot 0.6^2 \cdot 0.4^4 \approx 13.82\%$

d) $1 - (P(0) + P(1)) = 1 - (0.4^6 + 6 \cdot 0.6 \cdot 0.4^5) \approx 1 - 0.041 = 95.9\%$

Für 1000 Ehen ( $n=1000, p=0.6$ ): $\mu = n \cdot p = 600$ , $\sigma = \sqrt{1000 \cdot 0.6 \cdot 0.4} = \sqrt{240} \approx 15.49$

Viele Taschenrechner bieten für binomialverteilte Zufallsvariablen Funktionen zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten gewisser Ereignisse. Seien $n$ die Anzahl Versuche und $k$ die Anzahl Erfolge mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ . Dann berechnet

die Binomial Probability Density Function, binomialpdf(n,p,k), die Wahrscheinlichkeit, in $n$ Versuchen genau $k$ Erfolge zu feiern.
die Binomial Cumulative Distribution Funktion, binomialcdf(n,p,k), die Wahrscheinlichkeit, in $n$ Versuchen höchstens $k$ Erfolge zu feiern.

Also ist binompdf(n,p,k) $=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$ und binomcdf(n,p,k) $=\sum_{j=0}^k\binom{n}{j}p^jq^{n-j}$ .

Exercise 9: Labor

In einem Laborversuch zeigt sich ein bestimmter Effekt mit der Wahrscheinlichkeit von 20%. Der Versuch wird zehnmal durchgeführt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Effekt

a) mindestens

b) genau

c) höchstens

viermal eintritt?

Solution

a) Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: weniger als 4 Mal in 10 Versuchen. Das ist

\sum_{k=0}^3\binom{10}{k}0.2^k\cdot0.8^{10-k}=\texttt{binomcdf(10,0.2,3)}\approx 87.9\%

Also ist $P(\text{mind. 4})\approx 1-87.9\% = 12.1\%$

\binom{10}{4}0.2^4\cdot0.8^6=\texttt{binompdf(10,0.2,4)}\approx 8.8\%

\sum_{k=0}^4\binom{10}{k}0.2^k\cdot0.8^{10-k}=\texttt{binomcdf(10,0.2,4)}\approx 96.7\%

Auf Geogebra können wir die Verteilung mit dem Befehl Binomial(n,p), ohne Angabe der Anzahl Erfolge, plotten lassen.

Exercise 10: 10 Würfe

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei zehnmaligem Würfeln zwischen $2$ und $4$ " $6$ -en" zu würfeln.

Solution

Wir wollen die Spanne $\{2,3,4\}$ und rechnen daher

\begin{align*} P(2\leq X\leq4) &= \sum_{k=2}^4\binom{10}{k}(\tfrac{1}{6})^k\cdot(\tfrac{5}{6})^{10-k}=\texttt{binomcdf(10,1/6,4)}-\texttt{binomcdf(10,1/6,1)}\\ &\approx 0.9845-0.4845 \approx 50.0\% \end{align*}