Lageparameter

Zufallsvariable

Glücksspiele nennt man gerecht (fair), günstig oder ungünstig, je nachdem, ob der Gewinn, den wir bei mehreren Spielen erwarten können, gleich $0$ , grösser $0$ oder kleiner als $0$ ist. Zur Analyse eines Glücksspiels müssen wir von allen möglichen Ausgängen $\omega$ die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten $P(\omega)$ und die zugehörigen positiven oder negativen Gewinne kennen.

Example 1

Als charakteristisches Beispiel wählen wir ein intuitiv gerechtes Spiel: Peter und Paul werfen je einen Fünfliber; bei gleichen Wurfbildern gewinnt Peter, andernfalls Paul beide Münzen. Die Tabelle enthält alle zur Analyse wichtigen Daten.

$\omega_i\in\Omega$	00	01	10	11
$P(\omega_i)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
Peters Gewinn	$5$	$-5$	$-5$	$5$

Aus dieser Tabelle lässt sich sofort eine Funktion $X:\omega_i\mapsto X(\omega_i)$ erkennen. Diese Funktion ordnet jedem Ausgang $\omega_i$ den zugehörigen Gewinn oder Verlust zu.

Definition 1: Zufallsvariable

Eine Funktion, deren Definitionsmenge der Stichprobenraum $\Omega$ ist und deren Wertemenge die reellen Zahlen sind,

X:\Omega \to \mathbb{R}

nennt man eine Zufallsvariable.

Eine Zufallsvariable ist weder zufällig noch variabel, sondern eine reelle Zahlenfunktion. Derartige Funktionen werden üblicherweise mit grossen Buchstaben $X$ , $Y$ , $Z$ bezeichnet. Beachte ebenfalls die Unterschiede zur Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Wir bezeichnen die Funktionswerte der Zufallsvariablen $X$ mit $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $\dots$ und konzentrieren uns auf die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die einzelnen Funktionswerte angenommen werden. Zu diesem Zweck erstellen wir eine neue Tabelle, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen $X$ angibt.

$\quad x_i\quad$	$\quad5\quad$	$\quad-5\quad$
$P(X=x_i)$	$0.5$	$0.5$

Mit dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen $X$ lässt sich der Durchschnittswert je Spielwiederholung berechnen. Dazu müssen wir jeden Gewinn mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit gewichten: Durchschnittsgewinn entspricht $5\cdot0.5 + (-5)\cdot0.5 = 0$ . Unser Gefühl, dass es sich um ein gerechtes Spiel handelt, also bei vielen Wiederholungen weder Gewinn noch Verlust zu erwarten ist, wird somit rechnerisch bestätigt.

Erwartungswert

Definition 2: Erwartungswert

Allgemein bezeichnet man das mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der Funktionswerte der Zufallsvariablen $X$ als den Erwartungswert:

E(X) = x_1\cdot P(X=x_1) + x_2\cdot P(X=x_2)+\dots.

Example 2

Zwei Würfel werden sehr oft geworfen. Welche Augensumme darf man durchschnittlich erwarten? Die Zufallsvariable $X$ ordnet jedem

\omega_i\in\Omega=\{11,12,\dots,16,\dots,66\}

die Augensumme der beiden Würfel zu. Die möglichen Funktionswerte der Zufallsvariablen sind $x_1=2$ , $x_2=3$ , $x_3=4$ , $\dots$ , $x_{11}=12$ .

Exercise 1: Augensummen

Ergänze in der Tabelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung.

$\;\; x_i\;\;$	$\;\;2\;\;$	$\;\;3\;\;$	$\;\;4\;\;$	$\;\;5\;\;$	$\;\;6\;\;$
$P(X=x_i)$
$\;\; x_i\;\;$	$\;\;8\;\;$	$\;\;9\;\;$	$\;10\;$	$\;11\;$	$\;12\;$
$P(X=x_i)$

Solution

$\;\; x_i\;\;$	$\;\;2\;\;$	$\;\;3\;\;$	$\;\;4\;\;$	$\;\;5\;\;$	$\;\;6\;\;$	$\;\;7\;\;$
$P(X=x_i)$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$
$\;\; x_i\;\;$	$\;\;8\;\;$	$\;\;9\;\;$	$\;10\;$	$\;11\;$	$\;12\;$
$P(X=x_i)$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

Beachte, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 100% beträgt. Für den Erwartungswert ergibt sich dann

E(X) = \frac{1}{36}\cdot(2\cdot1 + 3\cdot2 + 4\cdot3 + \ldots + 11\cdot2 + 12\cdot1) = 7.

Für den Wurf mit zwei Würfeln ergibt sich dieses Bild:

Exercise 2: Der Zufall regiert die Welt

Aus einer Urne mit fünf Kärtchen

\{DER, ZUFALL, REGIERT, DIE, WELT\}

wird eines der fünf Wörter zufällig gezogen. Berechne den Erwartungswert der Zufallsvariablen

a) $W$ , deren Funktionswerte die Länge des gewählten Wortes angeben,

b) $V$ , deren Funktionswerte die Anzahl der Vokale im gewählten Wort angeben,

c) $X$ , deren Funktionswerte die Anzahl e im gewählten Wort angeben.

Solution

a) $E(W) = 3\cdot\frac{1}{5}+6\cdot\frac{1}{5}+7\cdot\frac{1}{5}+3\cdot\frac{1}{5}+4\cdot\frac{1}{5} = 4.6$

b) $E(V) = 1\cdot\frac{1}{5}+2\cdot\frac{1}{5}+3\cdot\frac{1}{5}+2\cdot\frac{1}{5}+1\cdot\frac{1}{5} = 1.8$

c) $E(X) = \frac{5}{5} = 1$

Exercise 3: Neun Franken

Du hast jetzt 9 Franken. Eine Münze wird geworfen. Erscheint "Kopf", wird dein Vermögen verdreifacht; erscheint "Zahl", wird dein Vermögen gedrittelt. Welches Vermögen darfst du nach zweimaligem Werfen erwarten?

Solution

Es gibt 4 Szenarien: $V(KK)=81$ , $V(KZ)=9$ , $V(ZK)=9$ und $V(ZZ)=1$ , die alle dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Damit gilt für den Erwartungswert

E(X) = \frac{81+9+9+1}{4} = 25

Exercise 4: Chuck a Luck

In amerikanischen Casinos findet das Würfelspiel Chuck a Luck grossen Anklang. Setze auf eine der Zahlen $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ . Dann werden drei Würfel geworfen. Erscheint deine Zahl ein-, zwei- oder dreimal, so erhältst du das ein-, zwei- oder dreifache deines Einsatzes und dazu deinen Einsatz zurück. Andernfalls verlierst du natürlich deinen Einsatz. Berechne den zu erwartenden Gewinn bei einem Einsatz von $10$ .

Solution

Äquivalent dazu kann man einen Würfel dreimal nacheinander werfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die getippte Zahl erscheint, ist $\frac{1}{6}$ . Wir notieren die möglichen Prozesswahrscheinlichkeiten: $P(0)=(\frac{5}{6})^3\approx58\%$ , $P(1)=(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^2\cdot\binom{3}{1}\approx35\%$ , $P(2)=(\frac{5}{6})(\frac{1}{6})^2\cdot\binom{3}{2}\approx7\%$ und $P(3)=(\frac{1}{6})^3\approx0.5\%$ . Es folgt $E(X)\approx-80$ Cent.

Exercise 5: Kirschen

Ein Glücksspielapparat hat zwei Räder, die der Spieler durch Hebeldruck in Bewegung setzen kann. Auf jedem Rad sind vier Glocken, fünf Kirschen und ein Apfel in regelmässigen Abständen abgebildet. Der Apparat zahlt für zwei Äpfel Fr. 10.-, für zwei Glocken Fr. 2.- und für zwei Kirschen Fr. 1.- und man kriegt den Einsatz zurück. Der Einsatz beträgt Fr. 1.-. Wer gewinnt hier?

Solution

$E(X) = 10\cdot(\frac{1}{10})^2+2\cdot(\frac{4}{10})^2+1\cdot(\frac{5}{10})^2-1\cdot(1-\frac{42}{100}) = 0.09$

Exercise 6: Tie-Break

Zwei gleich starke Tennisspieler müssen den Sieg in einem Tie-Break entscheiden. Es steht bereits 5:5. Wie viele Punkte müssen voraussichtlich noch bis zur Entscheidung gespielt werden?

Solution

$E(X) = 2\cdot2\cdot(\frac{1}{2})^2+3\cdot2\cdot(\frac{1}{2})^3+2\cdot4\cdot(\frac{1}{2})^4+\dots = 2\cdot\frac{1}{2}+3\cdot(\frac{1}{2})^2+4\cdot(\frac{1}{2})^3+\dots$ . Diese Reihe kann man auf eine geometrische zurückführen. Wir betrachten dazu $\frac{1}{2}E(X)$ bzw. die Differenz

E(X)-\frac{1}{2}E(X)=2\cdot\frac{1}{2}+1\cdot(\frac{1}{2})^2+1\cdot(\frac{1}{2})^3+\dots

Es folgt $\frac{1}{2}E(X) = 1+(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots)$ und damit

E(X) = 2+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots) = 2+\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 3

Tennisspieler kommentiert

Standardabweichung

Als Kennzahl für einen zu erwartenden Wert haben wir bereits den Erwartungswert. Im Folgenden wollen wir eine Masszahl für die Streuung um diesen Erwartungswert kreieren.

Example 3

Zwei Maschinen A und B schneiden bei einem Probelauf Stahlstifte auf eine vorgegebene Länge von $\qty{10.0}{mm}$ zu. Untersuchungen über auftretende Abweichungen ergaben folgende Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die anfallenden Längen:

Maschine A:

$x_i$	9.8	9.9	10.0	10.1	10.2
$P(X=x_i)$	0.1	0.1	0.6	0.1	0.1

Maschine B:

$y_i$	9.8	9.9	10.0	10.1	10.2
$P(Y=y_i)$	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

Exercise 7: Nagellänge

Stelle beide Verteilungen mit verschiedenen Farben im Koordinatensystem grafisch dar und berechne die Erwartungswerte $E(X)$ und $E(Y)$ .

Solution

Die Werte sehen etwa so aus:

Obwohl die grafischen Darstellungen ganz verschieden aussehen, stimmen die Erwartungswerte mit dem Sollwert überein. Offensichtlich wird man aber die Maschine A bevorzugen. Der Erwartungswert gibt nur an, wo das Zentrum der Verteilung liegt, nicht aber, wie stark die Verteilung um ihr Zentrum konzentriert ist. Deshalb benötigt man eine Masszahl für die Abweichung der Funktionswerte der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.

Definition 3: Standardabweichung

Der Ausdruck

s := \sqrt{(E(X)-x_1)^2\cdot P(X=x_1)+\dots+(E(X)-x_n)^2\cdot P(X=x_n)}

ist die Standardabweichung der Zufallsvariablen $X$ .

Exercise 8: Nagelstreuung

Berechne für beide Maschinen aus dem obigen Beispiel die Standardabweichung der Zufallsvariablen $X$ und $Y$ und bestätige somit, dass die Maschine A zu bevorzugen ist.

Solution

Wegen der Symmetrie gilt für beide Maschinen offensichtlich $E(A)=10=E(B)$ ; ansonsten rechnet man nach.

Für die Standardabweichungen erhalten wir:

s_A=\sqrt{(10-9.8)^2\cdot0.1+\dots+(10-10.2)^2\cdot0.1}=\sqrt{0.01}=0.1

und für die Maschine B

s_B=\sqrt{(10-9.8)^2\cdot0.1+\dots+(10-10.2)^2\cdot0.1}=\sqrt{0.012}\approx0.11.

Also streut Maschine B mehr als A.

Exercise 9: Blutdruck

Der Blutdruck in der Oberarmschlagader eines gesunden Menschen beträgt etwa $\qty{120}{mm}$ Quecksilbersäule. Eine Arzneimittelfirma lässt zwei Medikamente A und B zur Regulierung des Blutdrucks klinisch testen. Die Ergebnisse sind in der Tabelle festgehalten:

	$x_i,y_i$	105	110	115	120	125	130	135
A:	$P(X=x_i)$	0.04	0.09	0.16	0.40	0.20	0.07	0.04
B:	$P(Y=y_i)$	0.02	0.08	0.15	0.46	0.23	0.04	0.02

Berechne für jedes Medikament den Erwartungswert und die Standardabweichung. Welches Medikament ist demnach vorteilhafter?

Solution

$E(A)=120=E(B)$ und $s_A\approx6.56$ sowie $s_B\approx5.52$ . Medikament B ist vorteilhafter, da es weniger stark streut.