Grundprobleme 2 -- integriert oben

Exercise 1: Tangenten and Flächen

Betrachte die Funktion f(x)=x3f(x)=x^3.

  1. Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x)f(x) bei x=2x=2.

  2. Bestimme den Winkel in Grad zwischen dieser Tangente und der x-Achse.

  3. Bestimme die Gleichung dieser Tangente.

  4. Finde den Punkt PP, wo die Tangente an ff die Steigung 99 hat.

  5. Bestimme das Integral ∫−12x3dx\int_{-1}^{2} x^3 dx.

  6. Bestimme die Fläche, die von der x-Achse, dem Graphen von f(x)f(x) und den senkrechten Linien bei x=−1x=-1 und x=2x=2 eingeschlossen wird.

Solution

Die Ableitung von f(x)=x3f(x)=x^3 ist f′(x)=3x2f'(x)=3x^2, und die Stammfunktion ist F(x)=14x4F(x)=\frac{1}{4}x^4.

  1. Die Steigung der Tangente bei x=2x=2 ist f′(2)=3⋅22=12f'(2)=3\cdot 2^2=12

  2. Der Winkel ist (SOHCAHTOA, siehe Grafik unten links):

    tan⁡(α)=OA=ΔyΔx⏟Steigung der Tangente=12\tan(\alpha)=\frac{O}{A}=\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x}}_{\text{Steigung der Tangente}}=12

    Daraus folgt,

    α=arctan⁡(12)=tan⁡−1(12)=85.23∘\alpha=\arctan(12)=\tan^{-1}(12)=85.23^\circ

  3. Die Gleichung der Tangente ist eine lineare Funktion: t(x)=ax+bt(x)=ax+b, wobei die Steigung a=12a=12 ist. Es ist also

    t(x)=12x+bt(x)=12x+b

    Um bb (der yy-Achsenabschnitt) zu finden, nutzen wir die Tatsache, dass die Tangente den Graphen von ff bei x=2x=2 berührt, d.h. wir haben

    t(2)=f(2)t(2)=f(2)

    und somit

    12⋅2+b=23=8→b=−1612\cdot 2+b=2^3=8 \rightarrow b=-16

    Die Gleichung der Tangente lautet also t(x)=12x−16t(x)=12x-16.

  4. Finde xx mit

    f′(x)=9→3x2=9f'(x)=9 \rightarrow 3x^2=9

    Daraus folgt x=±3x=\pm \sqrt{3}. Es gibt also zwei Tangenten an den Graphen von ff mit der Steigung 99. Eine liegt hat den Berührungspunkt P1(−1.732∣−5.196)P_1(-1.732|-5.196) und die den Berührungspunkt P2(−1.732∣5.196)P_2(-1.732|5.196).

  5. Wir haben

    ∫−12x3 dx=F(2)−F(−1)=14⋅24−14⋅(−1)4=3.75\int_{-1}^2 x^3\, dx = F(2)-F(-1)=\frac{1}{4}\cdot 2^4 - \frac{1}{4}\cdot(-1)^4=3.75

  6. Das Integral ergibt den orientierte Flächeninhalt. Um den Flächeninhalt zu ermitteln, müssen wir die Fläche unterhalb der xx-Achse und die Fläche oberhalb der xx-Achse einzeln bestimmen (siehe Abbildung unten, rechts):

    A1=∫−10x3 dx=F(0)−F(−1)=14⋅04−14⋅(−1)4=−0.25A_1=\int_{-1}^0 x^3\, dx = F(0)-F(-1)=\frac{1}{4}\cdot 0^4 - \frac{1}{4}\cdot(-1)^4=-0.25

    und

    A2=∫02x3 dx=F(2)−F(0)=14⋅24−14⋅04=4A_2=\int_{0}^2 x^3\, dx = F(2)-F(0)=\frac{1}{4}\cdot 2^4 - \frac{1}{4}\cdot 0^4=4

    Die Fläche ist also A=0,25+4=4,25A=0,25+4=4,25.

Exercise 2: Kann die Ableitung immer bestimmt werden?

An welchem Punkt auf dem Graphen von f(x)=∣x∣f(x)=|x| existiert keine Ableitung? Zeichne den Graphen und erkläre.

Anmerkung: ∣x∣|x| nennt man den Absolutwert oder Betrag von xx. Er ist der positive Teil einer beliebigen Zahl xx. Zum Beispiel ∣3∣=3|3|=3 und ∣−3∣=3|-3|=3.

Solution

Siehe die Abbildung unten. Bei x=0x=0 gibt es mehr als Tangente an den Graphen von ff. In diesem Fall ist daher nicht klar, welchen f′(0)f'(0) haben soll (es gibt unendlich viele). Wir sagen, dass ff bei x=0x=0 nicht differenzierbar ist. Überall sonst können wir f′(x)f'(x) bestimmen.

Exercise 3: Differentialregeln
  1. Nenne die 4 Ableitungsregeln.
  2. Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen:

    1. f(x)=x2+3x−1f(x)=x^2+3x-1

    2. f(x)=3f(x)=3 for all xx

    3. f(x)=xxf(x)=x\sqrt{x}

    4. f(x)=3x5+4x2−2xf(x)=3x^5+4x^2-2\sqrt{x}

    5. f(x)=x2(1−x)f(x)=x^2(1-x)

    6. f(x)=x(x2−2x+1)f(x)=\sqrt{x}(x^2-2x+1)

    7. f(x)=2(x−1)2f(x)=2(x-1)^2

    8. f(x)=2(x−1)5f(x)=2(x-1)^5

    9. f(x)=2(1−2x)5f(x)=2(1-2x)^5

    10. f(x)=(2x−1)(x+1)f(x)=(2x-1)(x+1)

    11. f(x)=2(x−1)x(x+3)f(x)=2(x-1)x(x+3)

    12. f(x)=2x+3x+4x2f(x)=\frac{2}{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{4}{x^2}

    13. f(x)=ln⁡(x)⋅sin⁡(x)f(x)=\ln(x)\cdot \sin(x)

    14. f(x)=x2⋅exf(x)= x^2 \cdot e^x

    15. f(x)=cos⁡(x3)f(x)= \cos(x^3)

    16. f(x)=ln⁡(sin⁡(x))f(x)= \ln(\sin(x))

    17. f(x)=1+x2f(x)=\sqrt{1+x^2}

    18. f(x)=(sin⁡(x))2f(x)=(\sin(x))^2

    19. f(x)=(xex)3f(x)=(xe^x)^3

    20. f(x)=11+x2f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

    21. f(x)=(2x3+15x+1)⋅e−2x2f(x)=(2x^3+15x+1)\cdot e^{-2x^2}

    22. f(x)=(x4−2x3)⋅sin⁡(2x2)f(x)=(x^4-2x^3)\cdot\sin(2x^2)

Solution

  1. Die vier Ableitungsregeln sind:

    • Potenzregel:
    f(x)=xn→f′(x)=nxn−1f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=n x^{n-1}

    • Summenregel:

      f(x)=u(x)+v(x)→f′(x)=u′(x)+v′(x)f(x)=u(x)+v(x) \rightarrow f'(x)=u'(x)+v'(x)

      oder mit Koeffizienten aa und bb:

      f(x)=a⋅u(x)+b⋅v(x)→f′(x)=a⋅u′(x)+b⋅v′(x)f(x)=a \cdot u(x)+ b \cdot v(x) \rightarrow f'(x)=a \cdot u'(x)+b \cdot v'(x)

    • Produktregel:

      f(x)=u(x)⋅v(x)→f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)f(x)=u(x)\cdot v(x) \rightarrow f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)

    • Kettenregel:

      f(x)=u(v(x))→f′(x)=u′(v(x))⋅v′(x)f(x)=u({\color{red} v(x)}) \rightarrow f'(x)=u'({\color{red} v(x)})\cdot v'(x)

  2. Es ist

    1. f(x)=x2+3x−1f(x)=x^2+3x-1 →f′(x)=2x+3\rightarrow f'(x)=2x+3
    2. f(x)=3=3x0f(x)=3 =3x^0 →f′(x)=0\rightarrow f'(x)=0
    3. f(x)=xx=x3/2f(x)=x\sqrt{x}=x^{3/2} →f′(x)=32x1/2=1.5x\rightarrow f'(x)=\frac{3}{2} x^{1/2}=1.5\sqrt{x}
    4. f(x)=3x5+4x2−2xf(x)=3x^5+4x^2-2\sqrt{x} →f′(x)=15x4+8x−x−1/2\rightarrow f'(x)=15x^4+8x-x^{-1/2}
    5. f(x)=x2(1−x)=x2−x3f(x)=x^2(1-x)=x^2-x^3 →f′(x)=2x−3x2\rightarrow f'(x)=2x-3x^2
    6. f(x)=x(x2−2x+1)=x2.5−2x1.5+x0.5f(x)=\sqrt{x}(x^2-2x+1)=x^{2.5}-2x^{1.5}+x^{0.5} →f′(x)=2.5x1.5−3x0.5+0.5x−0.5\rightarrow f'(x)=2.5x^{1.5}-3x^{0.5}+0.5x^{-0.5}
    7. f(x)=2(x−1)2=2x2−4x+2f(x)=2(x-1)^2 =2x^2-4x+2 →f′(x)=4x−4\rightarrow f'(x)=4x-4
    8. f(x)=2(x−1)5f(x)=2({\color{red}x-1})^5 →f′(x)=10(x−1)4⋅1=10(x−1)4\rightarrow f'(x)=10({\color{red}x-1})^4\cdot 1=10(x-1)^4 (Kettenregel)
    9. f(x)=2(1−2x)5f(x)=2({\color{red}1-2x})^5 →f′(x)=10(1−2x)4⋅(−2)=−20(1−2x)4\rightarrow f'(x)=10({\color{red}1-2x})^4\cdot (-2)=-20(1-2x)^4 (Kettenregel)
    10. f(x)=(2x−1)(x+1)f(x)=(2x-1)(x+1) →f′(x)=2⋅(x+1)+(2x−1)⋅1=4x+1\rightarrow f'(x)=2\cdot(x+1)+(2x-1)\cdot 1=4x+1 (Produktregel) or f(x)=(2x−1)(x+1)=2x2+x−1f(x)=(2x-1)(x+1)=2x^2+x-1 →f′(x)=4x+1\rightarrow f'(x)=4x+1
    11. f(x)=2(x−1)x(x+3)=2x3+4x2−6xf(x)=2(x-1)x(x+3)=2x^3+4x^2-6x →f′(x)=6x2+8x−6\rightarrow f'(x)=6x^2+8x-6
    12. f(x)=2x+3x+4x2=2x−1+3x−0.5+4x−2f(x)=\frac{2}{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{4}{x^2} = 2x^{-1}+3x^{-0.5}+4x^{-2} →f′(x)=−2x−2−1.5x−1.5−8x−3=−2x2−1.5x1.5−8x3\rightarrow f'(x)=-2x^{-2}-1.5x^{-1.5}-8x^{-3}=-\frac{2}{x^2}-\frac{1.5}{x^{1.5}}-\frac{8}{x^3}
    13. f(x)=ln⁡(x)⋅sin⁡(x)f(x)=\ln(x)\cdot \sin(x) →f′(x)=1x⋅sin⁡(x)+ln⁡(x)⋅cos⁡(x)\rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}\cdot \sin(x)+\ln(x)\cdot \cos(x) (Produktregel)
    14. f(x)=x2⋅exf(x)= x^2 \cdot e^x →f′(x)=2xex+x2ex=exx(2x+1)\rightarrow f'(x)=2x e^x+x^2e^x=e^x x(2x+1) (Produktregel)
    15. f(x)=cos⁡(x3)f(x)= \cos({\color{red}x^3}) →f′(x)=−sin⁡(x3)⋅3x2\rightarrow f'(x)=-\sin({\color{red}x^3})\cdot 3x^2 (Kettenregel)
    16. f(x)=ln⁡(sin⁡(x))f(x)= \ln({\color{red}\sin(x)}) →f′(x)=1sin⁡(x)⋅cos⁡(x)\rightarrow f'(x)=\frac{1}{{\color{red}\sin(x)}}\cdot \cos(x) (Kettenregel)
    17. f(x)=1+x2=(1+x2)0.5f(x)=\sqrt{{\color{red}1+x^2}}=({\color{red}1+x^2})^{0.5} →f′(x)=0.5(1+x2)−0.5⋅2x=x1+x2\rightarrow f'(x)=0.5({\color{red}1+x^2})^{-0.5}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} (Kettenregel)
    18. f(x)=(sin⁡(x))2f(x)=({\color{red}\sin(x)})^2 →f′(x)=2sin⁡(x)⋅cos⁡(x)\rightarrow f'(x)=2{\color{red}\sin(x)}\cdot \cos(x) (Kettenregel). Oder brauche die Produktregel ... .
    19. f(x)=(xex)3=x3e3xf(x)=(x e^x)^3=x^3 e^{{\color{red}3x}} →f′(x)=3x2⋅e3x+x3⋅e3x⋅3=3e3x(x2+x3)\rightarrow f'(x)=3x^2 \cdot e^{3x}+x^3\cdot e^{{\color{red}3x}}\cdot 3=3e^{3x}(x^2+x^3) (Produktregel und Kettenregel)
    20. f(x)=11+x2=(1+x2)−0.5f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=({\color{red}1+x^2})^{-0.5} →f′(x)=−0.5(1+x2)−1.5⋅2x=−x(1+x2)1.5\rightarrow f'(x)=-0.5({\color{red}1+x^2})^{-1.5}\cdot 2x = -\frac{x}{(1+x^2)^{1.5}} (Kettenregel)
    21. f(x)=(2x3+15x+1)⋅e−2x2f(x)=(2x^3+15x+1)\cdot e^{{\color{red}-2x^2}} →f′(x)=6x2+15)e−2x2+(2x3+15x+1)⋅e−2x2⋅(−4x)\rightarrow f'(x)=6x^2+15)e^{-2x^2}+(2x^3+15x+1)\cdot e^{{\color{red}-2x^2}}\cdot (-4x) (Produktregel und Kettenregel)
    22. f(x)=(x4−2x3)⋅sin⁡(2x2)f(x)=(x^4-2x^3)\cdot\sin({\color{red}2x^2}) →f′(x)=(4x3−6x2)sin⁡(2x2)+(x4−2x3)⋅cos⁡(2x2)⋅4x\rightarrow f'(x)=(4x^3-6x^2)\sin(2x^2)+(x^4-2x^3)\cdot\cos({\color{red}2x^2})\cdot 4x (Produktregel und Kettenregel)
Exercise 4: Integrale
  1. Gebe die allgemeine Regel für die Bestimmung der Stammfunktion einer Potenzfunktion f(x)=xnf(x)=x^n an und beweise sie.
  2. Finden Sie die Stammfunktion der folgenden Potenzfunktionen:
    1. f(x)=5f(x)=5 for all xx
    2. f(x)=5xf(x)=5x
    3. f(x)=5x2f(x)=5x^2
    4. f(x)=5xf(x)=5\sqrt{x}
    5. f(x)=5xf(x)=\frac{5}{x}
    6. f(x)=5x2f(x)=\frac{5}{x^2}
    7. f(x)=5x43f(x)=\frac{5}{\sqrt[3]{x^4}}
    8. f(x)=5x+2f(x)=\frac{5}{x}+2
  3. Bestimme die folgenden Integrale mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung:

    1. ∫12x dx\int_1^2 x\, dx

    2. ∫01(2x2+3x+1) dx\int_0^1 (2x^2+3x+1)\, dx

    3. ∫π/2π2sin⁡(x) dx\int_{\pi/2}^\pi 2\sin(x)\, dx

    4. ∫123xx dx\int_1^2 3x\sqrt{x}\, dx

    5. ∫−1112x2(1−x) dx\int_{-1}^1 \frac{1}{2}x^2(1-x)\, dx

    6. ∫1e(2x+1) dx\int_1^e (\frac{2}{x}+1)\, dx

Solution

Bezeichne mit FF die Stammfunktion von ff.

  1. f(x)=xn→F(x)=1n+1xn+1f(x)=x^n \rightarrow F(x)=\frac{1}{n+1} x^{n+1}

  2. Es ist

    1. f(x)=5=5x0f(x)=5=5x^0 →F(x)=5⋅11x1=5x\rightarrow F(x)=5\cdot \frac{1}{1}x^1=5x
    2. f(x)=5x=5x1f(x)=5x = 5x^1 →F(x)=5⋅12x2=\rightarrow F(x)=5\cdot \frac{1}{2}x^2=
    3. f(x)=5x2f(x)=5x^2 →F(x)=5⋅13x3=53x3\rightarrow F(x)=5\cdot \frac{1}{3}x^3=\frac{5}{3}x^3
    4. f(x)=5x=5x0.5f(x)=5\sqrt{x}=5x^{0.5} →F(x)=5⋅11.5x1.5=103x1.5\rightarrow F(x)=5\cdot \frac{1}{1.5}x^{1.5}=\frac{10}{3}x^{1.5}
    5. f(x)=5xf(x)=\frac{5}{x} →F(x)=5ln⁡(x)\rightarrow F(x)=5\ln(x)
    6. f(x)=5x2=5x−2f(x)=\frac{5}{x^2}=5x^{-2} →F(x)=5⋅1−1x−1=−5x\rightarrow F(x)=5\cdot \frac{1}{-1}x^{-1}=-\frac{5}{x}
    7. f(x)=5x43=5x−4/3f(x)=\frac{5}{\sqrt[3]{x^4}}=5x^{-4/3} →F(x)=5⋅1−1/3x−1/3=−15x3\rightarrow F(x)=5\cdot \frac{1}{-1/3}x^{-1/3}=-\frac{15}{\sqrt[3]{x}}
    8. f(x)=5x+2f(x)=\frac{5}{x}+2 →F(x)=5⋅ln⁡(x)+2x\rightarrow F(x)=5\cdot \ln(x)+2x

  3. Der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung lautet: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a)

    1. F(x)=12x2F(x)=\frac{1}{2}x^2 →∫12x dx=(12⋅22)−(12⋅12)=1.5\rightarrow \int_1^2 x\, dx = (\frac{1}{2}\cdot 2^2)-(\frac{1}{2}\cdot 1^2)= 1.5
    2. F(x)=23x3+1.5x2+xF(x)= \frac{2}{3}x^3+1.5x^2+x →∫01(2x2+3x+1) dx=(23⋅13+1.5⋅12+1)−(23⋅03+1.5⋅02+0)=3.16‾\rightarrow \int_0^1 (2x^2+3x+1)\, dx = (\frac{2}{3}\cdot 1^3+1.5\cdot 1^2+1) - (\frac{2}{3}\cdot 0^3+1.5\cdot 0^2+0)=3.1\overline{6}
    3. F(x)=−2cos⁡(x)F(x)=-2\cos(x) →∫π/2π2sin⁡(x) dx=(−2cos⁡(π))−(−2cos⁡(π/2))=2\rightarrow \int_{\pi/2}^\pi 2\sin(x)\, dx=(-2\cos(\pi))-(-2\cos(\pi/2))=2
    4. F(x)=1.2x2.5F(x)= 1.2x^{2.5} →∫123xx dx=1.2⋅22.5−1.2⋅12.5=5.588\rightarrow \int_1^2 3x\sqrt{x}\, dx=1.2\cdot 2^{2.5}-1.2\cdot 1^{2.5}=5.588
    5. F(x)=16x3−18x4F(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{8}x^4 →∫−1112x2(1−x) dx=(16⋅13−18⋅14)−(16⋅(−1)3−18⋅(−1)4)=13\rightarrow \int_{-1}^1 \frac{1}{2} x^2(1-x)\, dx = \left(\frac{1}{6}\cdot 1^3-\frac{1}{8}\cdot 1^4\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot (-1)^3-\frac{1}{8}\cdot (-1)^4\right)=\frac{1}{3}
    6. F(x)=2ln⁡(x)+xF(x)=2\ln(x)+x →∫1e(2x+1) dx=(2ln⁡(e)+e)−(2ln⁡(1)+1)=e+1\rightarrow \int_1^e (\frac{2}{x}+1)\, dx= (2\ln(e)+e)-(2\ln(1)+1)=e+1
Exercise 5: Ableitungen höherer Ordnung, stationäre Punkte und Wendepunkte

Der Graph einer Funktion f(x)f(x) ist unten dargestellt. Kopiere den Graphen (mehr oder weniger).

  1. Was sind stationäre Punkte? Was sind Wendepunkte? Zeichne alle diese Punkte auf dem unten stehenden Graphen ein. Klassifiziere die stationären Punkte auch als lokale Maxima, lokale Minima und Sattelpunkte.
  2. Skizziere den Graphen der ersten Ableitung. Leite aus diesem Graphen die Bedingungen für ein lokales Maximum, lokales Minimum, Sattelpunkt und Wendepunkt ab.
  3. Betrachte die Funktion g(x)=x3(1−2x)g(x)=x^3(1-2x). Finde die stationären Punkte und klassifiziere sie mit Hilfe der Ableitungen höherer Ordnung.

Nebenbei bemerkt: Der Graph hat die Funktionsgleichung f(x)=0.25(x+1)3(x−1)(x−2)f(x)=0.25(x+1)^3(x-1)(x-2).

Solution

  1. Es ist

    • Ein Punkt PP auf dem Graphen von ff, an dem die Tangente horizontal verläuft, heisst stationärer Punkt von ff. Er ist ein lokales Maximum, wenn er die Spitze des Hügels ist, und ein lokales Minimum, wenn er der Boden eines Tals ist (wird zusammenfassend auch als lokales Extremum bezeichnet). Er ist ein Sattelpunkt, wenn er wie ein Sattel aussieht, d.h. er geht nach unten, wenn er sich nach links bewegt, und nach oben, wenn er sich nach rechts bewegt (oder andersherum). In der folgenden Abbildung ist AA ein Sattelpunkt, BB ein lokales Maximum und CC ein lokales Minimum.
    • Ein Punkt PP auf dem Graphen von ff, an dem die Steigung der Tangente ihre lokal grösste (oder lokal kleinste) Steigung erreicht, wird als Wendepunkt von ff bezeichnet. Sattelpunkte sind Wendepunkte und stationäre Punkte. Im Allgemeinen müssen Wendepunkte nicht unbedingt stationäre Punkte sein. In der Skizze unten sind die Punkte AA, DD und EE Wendepunkte.

  2. Aus der Skizze der ersten Ableitung ergibt sich für einen Punkt P(x∣y)P(x|y) im Graphen von ff folgendes:

    • f′(x)=0,f′′(x)>0→P locales minf'(x)=0, f''(x)>0 \rightarrow P\text{ locales min}
    • f′(x)=0,f′′(x)<0→P locales maxf'(x)=0, f''(x)<0 \rightarrow P\text{ locales max}
    • f′(x)=0,f′′(x)=0,f′′′(x)≠0→P Wendepunkt und Sattelpunktf'(x)=0, f''(x)=0, f'''(x)\neq 0 \rightarrow P\text{ Wendepunkt und Sattelpunkt}
    • f′(x)≠0,f′′(x)=0,f′′′(x)≠0→P Wendepunkt, kein Sattelpunktf'(x)\neq 0, f''(x)=0, f'''(x)\neq 0 \rightarrow P\text{ Wendepunkt, kein Sattelpunkt}

    Falls f′(x)=f′′(x)=f′′′(x)=0f'(x)=f''(x)=f'''(x)=0 könnte ein flacher Sattelpunkt, oder ein flaches Maximum oder Minimum vorliegen. In diesem Falle muss der Graph skizziert werden, um zu entscheiden.

  3. g(x)=x3(1−2x)=x3−2x4g(x)=x^3(1-2x)=x^3-2x^4. g′(x)=3x2−8x3g'(x)=3x^2-8x^3, g′′(x)=6x−24x2g''(x)=6x-24x^2, g′′′(x)=6−48xg'''(x)=6-48x.

    • stationäre Punkte: Finde xx mit

      g′(x)=0→3x2−8x3=x2(3−8x)=0g'(x)=0 \rightarrow 3x^2-8x^3=x^2(3-8x)=0

      also x1=0x_1=0 und x2=38x_2=\frac{3}{8}. Die Stationären Punkte sind P1(0∣0)P_1(0|0) und P2(0.375∣0.0131)P_2(0.375|0.0131).

    • lokales max/min/Sattelpunkt? g′′(0)=0g''(0)=0 also ist P1P_1 kein lokales Minimum oder Maximum. Da g′′′(0)=6≠g'''(0)=6\neq muss P1P_1 ein Sattelpunkt sein. g′′(8/3)=−98<0g''(8/3)=-\frac{9}{8}<0, also ist P2P_2 ein lokales Maximum.

    • Wendepunkte? Find xx with

      g′′(x)=0→x(6−24x)=0g''(x)=0 \rightarrow x(6-24x)=0

      also x1=0x_1=0 und x2=0.25x_2=0.25. Der Punkt x1x_1 ist ein Sattelpunkt (siehe oben). Der Punkt bei x2x_2 ist ebenfalls ein Wendepunkt, da g′′′(0.25)=−6≠0g'''(0.25)=-6\neq 0. Er hat die Koordinaten P3(0.25∣0.0078)P_3(0.25|0.0078).