Analysis - Funktionen 2 -- integriert oben

F1: Funktionstypen

Ordne jedem unten stehenden Graphen einer der in der Liste aufgeführten Grundfunktionen zu (die Liste enthält mehr Funktionen als Graphen).

2, -2, 2x+1, -2x+1, 2x-1, -2x-1, x^2, x^3, x^{-2}, x^{-3}

x^{1/2}, x^{1/3}, e^x, \ln(x), \sin(x), \cos(x), \tan(x), x^3-4x, x^2-4x

Bestimme ebenfalls für jede Funktion (a)-(l) den $x$ -Achsenabschnitt, den $y$ -Achsenabschnitt, die Ableitung und die Stammfunktion.

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Lösung 1

Wir bezeichnen die Stammfunktion mit $F$ , den $y$ -Achsenabschnitt mit $y_0$ und den/die $x$ -Achsenabschnitt(e) mit $x_0, x_1, ...$

1.a)

$f(x)=2x+1$ , $y_0=1, x_0=-0.5$ , $f^\prime(x)=2$ , $F(x)=x^2+x$

1.b)

$f(x)=x^2$ , $x_0=y_0=0$ , $f'(x)=2x$ , $F(x)=\frac{1}{3}x^3$

1.c)

$f(x)=e^x$ , $y_0=1$ , $f'(x)=e^x$ , $F(x)=e^x$

1.d)

$f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ , $f'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$ , $F(x)=-x^{-1}=-\frac{1}{x}$

1.e)

$f(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ , $f'(x)=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}$ , $F(x)=-\frac{1}{2}x^{-2}=-\frac{1}{2x^2}$

1.f)

$f(x)=\ln(x)$ , $x_0=1$ , $f'(x)=\frac{1}{x}$ , $F(x)\text{ skip, not required}$

1.g)

$f(x)=2=2x^0$ , $y_0=2$ , $f'(x)=0$ , $F(x)=2x$

1.h)

$f(x)=\sin(x)$ , $y_0=0$ , $x_0=0, x_1=\pm\pi, x_2=\pm 2\pi, ...$ , $f'(x)=\cos(x)$ , $F(x)=-\cos(x)$

1.i)

$f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}$ , $x_0=y_0=0$ , $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}$

1.j)

$f(x)=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}$ , $x_0=y_0=0$ , $f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ , $F(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}=\frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4}$

1.k)

$f(x)=\tan(x)$ , $y_0=0, x_0=0, x_1=\pm\pi, x_2=\pm 2\pi, ...$ (da $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ ).

Um die Ableitung zu finden, wenden wir die Produktregel und die Kettenregel auf die Funktion an

f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\sin(x)\cdot (\cos(x))^{-1}

also

\begin{array}{lll} f'(x)&=&\cos(x)\cdot(\cos(x))^{-1}\\ &+&\sin(x)\cdot (-1)(\cos(x))^{-2}\cdot (-\sin(x))\\ &=&1+\frac{\sin(x)^2}{\cos(x)^2}\\ &=&1+\tan(x)^2 \end{array}

Die Berechnung der Stammfunktion ist schwieriger, und Sie müssen nicht wissen, wie das geht.

1.l)

$f(x)=x^3-4x$ , $y_0=f(0)=0$ . Um $x_0$ zu finden schreiben wir $f(x)=x(x^2-4)=0$ , and it follows $x_0=0, x_1=\pm 2$ . $f'(x)=3x^2-4$ , $F(x)=\frac{1}{4}x^4-4\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{4}x^4-2x^2$

F2: Vom Graphen zur Funktionsgleichung

Nachfolgend sind die Graphen mehrerer Funktionen abgebildet. Wenn es sich um eine Potenzfunktion oder ein Polynom handelt, wurde der kleinstmögliche Exponent verwendet. Bestimme die Funktionsgleichungen der einzelnen Graphen.

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2.f)

Polynom: $f(x)=a(x+1)(x-1)(x-3)$ . From $f(0)=3$ follows $a(1)(-1)(-3)=3\rightarrow a=1$ .

2.g)

Polynom oder quadratische Funktion (der Graph ist eine Parabel): $g(x)=a(x+4)^2$ (das Quadrat, weil der Graph die $x$ -Achse bei $-4$ berührt). Wegen $g(-2)=-2$ folgt $a(2)^2=-2\rightarrow a=-0.5$

2.h)

Polynom: $h(x)=a(x-4)^2(x-6)^2$ (das Quadrat da Berührungspunkte). Da $h(5)=2$ folgt $a(-1)^2(1)^2)=2\rightarrow a=2$

2.i)

Sinusfunktion, aber in $x$ -Richtung um einen Faktor $u$ skaliert, $f(x)=2\sin(ux)$ :

\begin{array}{lll} f(0)&=&\sin(u\cdot 0)=0\\ f(2)&=&\sin(u\cdot 2)=0\\ f(4)&=&\sin(u\cdot 4)=0\\ ... \end{array}

\begin{array}{lll} \sin(0)&=&0\\ \sin(\pi)&=&0\\ \sin(2\pi)&=&0\\ ... \end{array}

wähle $u$ so, dass

\begin{array}{lll} f(0)&=&\sin(\underbrace{u\cdot 0}_{0})=0\\ f(2)&=&\sin(\underbrace{u\cdot 2}_{\pi})=0\\ f(4)&=&\sin(\underbrace{u\cdot 4}_{2\pi})=0\\ ... \end{array}

also ist $u=\frac{\pi}{2}$ . Es ist $f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}x)$ . Man beachte, dass der Graph auch in $y$ -Richtung um den Faktor $2$ gestreckt wird, so dass man das folgende Endergebnis erhält

f(x)=2\sin(\frac{\pi}{2}x)

2.k)

Exponentialfunktion, die durch die Punkte $A(0|2)$ und $B(2|3)$ verläuft. Interpretiere diese Punkte als exponentiellen Wachstumsprozess:

\begin{array}{r|l|l} \text{quantity }y & 2 & 3 \\\hline \text{time }x & 0 & 2 \end{array}

Wir bekommen den Wachstumsfaktor $u=3/2=1.5$ , und haben somit

k(x)=2\cdot 1.5^{x/2}

2.m)

Lineare Funktion: $m(x)=ax+b$ with slope $a=\frac{-1}{2}=-0.5$ . Also

m(x)=-0.5x+b

Um $b$ zu finden, brauchen wir, dass $m(1)=5$ , und somit $-0.5\cdot 1+b=5$ , also $b=5.5$ . Somit gilt

m(x)=-0.5x+5.5

2.l)

Quadratische Funktion.

Methode 1: Wegen des Fehlens von $x$ -Achsenabschnitten wählen wir den Ansatz

l(x)=ax^2+bx+c

Wir haben (siehe Graph)

f(-3)=2 \rightarrow 9a-3b+c=2

f(-2)=4 \rightarrow 4a-2b+c=4

f(-4)=4 \rightarrow 16a-4b+c=4

Aus Gleichung (1) folgt $c=2-9a+3b$ und setzt man dies in die Gleichungen (2) und (3) ein, erhält man

4a-2b+2-9a+3b=4 \rightarrow -5a+b=2

16a-4b+2-9a+3b=4\rightarrow 7a-b=2

Und aus diesen beiden Gleichungen folgt $b=2+5a$ und damit

7a-2-5a=2 \rightarrow a=2

and thus $b=2+5\cdot 2=12$ and $c=2-9\cdot 2+3\cdot 12=20$ . Somit haben wir

l(x)=\underline{2x^2+12x+20}

Methode 2: Wir verschieben den Graphen um $2$ nach unten, so dass er die $x$ -Achse bei $-3$ berührt. Auch dieser Graph geht durch den Punkt $(-2|2)$ . Für diesen verschobenen Graphen gilt also

L(x)=a(x+3)^2

und

L(-2)=2 \rightarrow a(1)^2=2\rightarrow a=2

Also haben wir $L(x)=2(x+3)^2$ . Verschiebt man den Graphen um $2$ nach oben, so erhält man

l(x)=\underline{2(x+3)^2+2}

Wenn wir expandieren, erhalten wir in der Tat das Ergebnis des ersten Ansatzes:

2(x+3)^2+2=2(x^2+6x+9)+2=2x^2+12x+20

F3: Transformation von Graphen

Betrachte die Funktion $f(x)=x^2$ und die Funktionen

$g(x)=2x^2$
$g(x)=x^2+1$
$g(x)=-x^2$
$g(x)=(x-1)^2$

Durch welche geometrischen Operationen (Verschieben, Spiegeln, Strecken) lassen sich die Graphen von $g$ , $h$ , $i$ , $j$ und $k$ aus dem Graphen von $f$ gewinnen? Falls unklar, zeichne die Graphen (mit Hilfe eines Taschenrechners oder einer Wertetabelle), um es herauszufinden.

Können allgemeine Regeln angeben? Das heisst, durch welche geometrische Operation, die auf den Graphen von $f$ angewendet wird, erhalte ich den Graphen von $g$ ?

f \xrightarrow[]{\text{operation?}}g

$g(x)=2 f(x)$
$g(x)=f(x)+1$
$g(x)=-f(x)$
$g(x)=f(x-1)$

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Lösung 3

Streckung des Graphen $f$ in $y$ -Richtung um den Faktor $2$
Verschiebung des Graphen $f$ um $1$ nach oben
Spiegeln des Graphen $f$ um die $x$ -Achse
Rechtsverschiebung des Graphen $f$ um $1$

F4: Gleichungen

Löse ohne Taschenrechner:

$3x+2=5x-1$
$2x^2-3x=0$
$2x^2-6x=-4$
$2x^3-4x=0$
$0.5\sqrt{x}=0.5x-1$
$2x^{2/3}+1=19$
$3\cdot 2^{(x-2)/3}=24$
$4\log_{10}(2x+1)=8$
$(x^2-1)e^{10x}=0$

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Lösung 4

Alle $x$ auf eine Seite, Zahlen auf die andere Seite: $2x=3 \rightarrow x=1.5$
Quadratische Gleichung, also Mitternachtsformel, oder einfacher, faktorisiere aus $x$ : $x(2x-3)=0 \rightarrow x_1=0, x_2=1.5$
Quadratische Gleichung, Mitternachtsformel: $2x^2-6x+4=0 \rightarrow x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{4}\rightarrow x_1=2, x_2=1$
Faktorisiere $2x$ aus: $2x(x^2-2)=0 \rightarrow x_1=0, x_2=\pm \sqrt{2}$
Teile beide Seiten durch $0,5$ : $\sqrt{x}=x-2$ und quadriere dann beide Seiten: $x=(x-2)^2=x^2-4x+4$ . Dies ist eine quadratische Gleichung: $x^2-5x+4=0$ . Mit der Mitternachtsformel erhalten wir $x_1=1$ und $x_2=4$ . Beim Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung sehen wir, dass nur $x=4$ funktioniert.
Subtrahiere beide Seiten durch $1$ , und dividiere dann beide Seiten durch $2$ : $x^{2/3}=9$ . Erhöhe dann beide Seiten um $\frac{3}{2}$ :
$\underbrace{(x^{2/3})^{3/2}}_{x}=\underbrace{9^{3/2}}_{27}$
Daraus folgt $x=27$ . 7. Teile beide Seiten durch $3$ : $2^{(x-2)/3}=8$ . Wende $\log_2(.)$ auf beide Seiten an:
$\underbrace{\log_2(2^{(x-2)/3})}_{(x-2)/3\cdot\log_2(2)} =\underbrace{\log_2(8)}_{3}$
Aufgrund von $\log_2(2)=1$ und $\log_2(8)=3$ erhalten wir die Gleichung
$\frac{x-2}{3}=3$
und es folgt $x=11$ .
Dividiere beide Seiten durch 4: $\log_{10}(2x+1)=2 \rightarrow 10^2=2x+1$ , also folgt $x=49.5$
Da $e^{(...)}>0$ , muss gelten $x^2-1=0\rightarrow x=\pm 1$ .