Die Normalverteilung

Eine der meist gebrauchten Dichtefunktionen in der Statisitik ist die Normalverteilung (oder Gaussverteilung). Die Funktionsgleichung der Normalverteilung ist

fμ,σ(x)=1σ2π⋅e−12(x−μσ)2f_{\mu,\sigma}(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}

Diese Funktion besitzt zwei Parameter, σ\sigma und μ\mu. Um die Bedeutung dieser Parameter besprechen, setzen wir zuerst σ=1\sigma=1 und μ=0\mu=0. ersetzen wir im obigen Ausdruck μ\mu und σ\sigma durch diese Werte, so erhalten wir den weit einfacheren Ausdruck

f0,1(x)=12π⋅e−x2/2f_{0,1}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2}

ee ist die Euler Konstante, und hat den Wert e=2.7182818...e=2.7182818....

Exercise 1

Aufgabe 1

Skizziere den Graphen von f0,1f_{0,1} durch einsetzen von Punkten.

Der Graph der Funktion f0,1f_{0,1} ist unten abgebildet:

Beachte, dass der höchste Punkt PP bei x=0x=0 ist. Die "Breite" der Kurve ist 22, wobei wir mit Breite die horizontale Distanz zwischen den beiden Wendepunkten AA und BB bezeichnen (siehe Skizze oben). Die Wendepunkte lassen sich wie folgt finden: Denke dir Tangenten an die Kurve gezeichnet. Wenn wir von PP entlang der Kurve nach rechts gehen, so werden die Tangenten zuerst immer steiler. Irgendwann auf der Kurve wendet sich dies aber, und die Tangenten werden weniger steil. Der Punkt auf der Kurve wo dies passiert wird Wendepunkt genannt.

Hier ist der Graph der Normalverteilung für μ=5\mu=5 und σ=2\sigma=2. Wir sehen, dass der höchste Punkt PP bei x=5x=5 liegt, und die Breite der Kurve ist 44.

Allgemein gilt das folgende:

Theorem 1

Der Graph der Normalverteilung fμ,σf_{\mu,\sigma} hat den höchsten Punkt bei x=μx=\mu und besitzt die Breite 2σ2\sigma. Mit anderen Worten, μ\mu bestimmt die Position und σ\sigma die Breite des Graphen.

Wie für jede Dichtefunktion gilt auch für die Normalverteilung, dass die Flächen unter der Kurve 11 ist. Die Normalverteilung hat aber noch andere interessante Eigenschaften:

Theorem 2

Für die Normalverteilung fμ,σf_{\mu,\sigma} gilt: die Fläche unter der Kurve zwischen

  1. μ−σ\mu-\sigma und μ+σ\mu+\sigma ist 0.6830.683
  2. μ−2σ\mu-2\sigma und μ+2σ\mu+2\sigma ist 0.9540.954
  3. μ−3σ\mu-3\sigma und μ+3σ\mu+3\sigma ist 0.9970.997

Oft sind wir auch daran interessiert (siehe später) von wo bis wo die Fläche genau 0.9,0.950.9, 0.95 und 0.990.99 beträgt:

Theorem 3

Für die Normalverteilung fμ,σf_{\mu,\sigma} gilt: die Fläche unter der Kurve zwischen

  1. μ−1.64σ\mu-1.64\sigma und μ+1.64σ\mu+1.64\sigma ist 0.90.9
  2. μ−1.96σ\mu-1.96\sigma und μ+1.96σ\mu+1.96\sigma ist 0.950.95
  3. μ−2.58σ\mu-2.58\sigma und μ+2.58σ\mu+2.58\sigma ist 0.990.99

Beachte:

  1. Oben im Diagramm ist die Fläche als Prozent angegeben. Da die Gesamtfläche 11 ist, entspricht 90%90\% gerade die Fläche 0.90.9, und so weiter.
  2. Wir können uns merken, dass die Fläche etwas oberhalb der xx-Achse die Breite 5σ5\sigma besitzt. Die restliche Fläche ist dann nur noch 1%1\% der Gesamtfläche. Dies ist nützlich, wenn wir die Kurve zeichnen wollen (siehe unten, Aufgabe 2.2).
Exercise 2

Aufgabe 2

  1. Bestimme die Fläche AA unter der Kurve von fμ,σf_{\mu, \sigma} zwischen

    1. −∞-\infty und μ\mu
    2. μ−1.64σ\mu-1.64\sigma und μ\mu
    3. −∞-\infty und μ−1.64σ\mu-1.64\sigma
    4. −∞-\infty und μ+1.64σ\mu+1.64\sigma
    5. μ+1.96σ\mu+1.96\sigma und ∞\infty
    6. μ−2.58σ\mu-2.58\sigma und μ−1.64σ\mu-1.64\sigma

  2. Skizziere den Graphen der Normalverteilung f10,3f_{10,3}. Berechne dazu zuerst die Koordinaten des höchsten Punkts.

Show

Lösung

    1. AA ist die Hälfte der ganzen Kurve, welche 11 ist. Also ist A=0.5‾A=\underline{0.5}.

  2. AA ist die Hälfte der Flächen zwischen μ−1.64σ\mu-1.64\sigma und μ+1.64σ\mu+1.64\sigma, welche 0.90.9 ist. also ist A=0.45‾A=\underline{0.45}.

  3. A=0.5−0.45=0.05‾A=0.5-0.45=\underline{0.05}

  4. A=0.5+0.45=0.95‾A=0.5+0.45=\underline{0.95}

  5. A=(1−0.95)/2=0.05/2=0.025‾A=(1-0.95)/2=0.05/2=\underline{0.025}

  6. A=(0.99−0.9)/2=0.045‾A=(0.99-0.9)/2=\underline{0.045}

  7. Der höchste Punkt PP hat die Koordinaten P(3,y)P(3,y), wobei

y=f10,3(10)=132π⋅e−12(10−103)2⏟=e0=1=132π=0.133\begin{array}{lll} y&=&f_{10,3}(10)\\ &=&\frac{1}{3 \sqrt{2\pi}}\cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{10-10}{3}\right)^2}}_{=e^0=1}\\ &=&\frac{1}{3 \sqrt{2\pi}}\\ &=&0.133\end{array}

Es ist also P(10,0.133)P(10,0.133). Die Breite beim Wendepunkt ist 2σ=2⋅32\sigma=2\cdot 3, und die Breite knapp oberhalb der xx-Achse ist 2⋅2.58σ=2⋅7.742\cdot 2.58\sigma = 2\cdot 7.74. Wir haben also ungefähr den folgenden Graphen: