Zusammenhang Steigung und Winkel

Bis jetzt haben wir die "Steilheit" einer Geraden mit Hilfe der Steigung

\frac{\Delta y}{\Delta x}

beschrieben, wobei $\Delta x$ und $\Delta y$ die Seitenlängen eines beliebigen Steigungsdreiecks an die Gerade sind:

Eine andere Möglichkeit ist es, die Steilheit mit dem Winkel zwischen der Geraden und der $x$ -Achse auszudrücken. Messungen von Geraden mit verschiedenen Winkelergeben die folgenden Steigungen (siehe Klasse):

\begin{array}{c|c|c} \text{Winkel}\,\alpha & \text{Steigung gemessen} & \tan(\alpha)\\ \hline 0^\circ & 0 & 0\\ 10^\circ & 0.182 & 0.176\\ 20^\circ & 0.356 & 0.364\\ 30^\circ & 0.593 & 0.577\\ 40^\circ & 0.87 & 0.839\\ 50^\circ & 1.233 & 1.192\\ 60^\circ & 1.64 & 1.732\\ 70^\circ & 2.59 & 2.747\\ 80^\circ & 5.67 & 5.671\\ 90^\circ & \infty & Error\\ \end{array}

Die exakte Steigung für jeden Winkel ist in der letzten Spalte gezeigt, und kann mit dem Taschenrechner berechnet werden, und zwar mit dem sogenannten Tangens (im Taschenrechner die Taste $tan$ ):

\text{Winkel } \alpha\quad \xrightarrow[]{\tan} \quad\text{Steigung}\, \frac{\Delta y}{\Delta x}

Example 1

\tan(45^\circ) = 1

Umgekehrt kann aus der Steigung einer Geraden der Winkel $\alpha$ zwischen der Geraden und der $x$ -Achse mit dem Arkustangens (im Taschenrechner die Taste $\tan^{-1}$ ) berechnet werden:

\text{Winkel } \alpha\quad \xleftarrow[]{\tan^{-1}} \quad\text{Steigung}\, \frac{\Delta y}{\Delta x}

Eine andere Notation für $\tan^{-1}$ ist auch $\arctan$ .

Example 2

$\tan^{-1}(1) = 45^\circ$ $\arctan(1) = 45^\circ$

Der Tangens ist ein Beispiel einer trigonometrischen Funktion. Sie "wandelt" einen Winkel in die Steigung, oder in das Verhältnis $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ von den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks (des Steigungsdreiecks) um. Es gibt noch zwei weitere trigonometrische Funktionen, der Sinus und der Kosinus. Um diese Funktionen zu besprechen, werden wir uns nun weg von Geraden und Steigungen bewegen, und generell rechtwinklige Dreiecke anschauen. Siehe dazu die nächsten Kapitel.

Exercise 1

Zeige mit Hilfe der Tabelle oben, dass der Winkel nicht proportional zur Steigung ist.

Solution

Der $80^\circ$ -Winkel ist $8$ -mal grösser als der $10^\circ$ -Winkel. Bei Proportionalität müsste also die Steigung beim $80^\circ$ -Winkel ( $5.671$ ) $8$ -mal grösser sein als die Steigung beim $10^\circ$ -Winkel ( $0.176$ ). Dies ist aber nicht der Fall, da

0.176\cdot 8=1.408

was weit entfernt ist von $5.671$ . Der Winkel ist also nicht proportional zur Steigung.