Direkte Proportionalität

Wann sich zwei Grössen $x$ und $y$ proportional zueinander verhalten, sollte schon bekannt sein, wir wiederholen es hier aber nochmals kurz anhand eines Beispiels:

Example 1

Gegeben seien gleich schwere Steine von $0.5kg$ . Wir packen einige dieser Steinen in einen Sack und wiegen ihn. Es sei $x$ die Anzahl Steine und $y$ das Gewicht des Sacks (wir nehmen an, der leere Sack ist extrem leicht und wiegt $0$ kg). Wir können dann die folgende Tabelle aufstellen:

\begin{array}{c|c} \text{Anzahl Steine}\, x & \text{Gesamtgewicht}\, y \\ \hline 1 & 0.5\\ 2 & 1\\ 5 & 2.5 \\ 0.5 & 0.25 \\ 0 & 0 \end{array}

Wir sehen, je grösser $x$ (Anzahl Steine), desto grösser $y$ (das Gewicht). Aber es gilt sogar mehr: Verdoppeln wir $x$ , dann verdoppelt sich auch $y$ , halbieren wir $x$ , dann halbiert sich auch $y$ , multiplizieren wir $x$ mit $3$ , so multipliziert sich $y$ ebenfalls mit $3$ , und so weiter. Daraus folgt auch, dass wenn wir $x=0$ Steine auswählen, wir das Gewicht $y=0$ bekommen.

Wir können die Grössen $x$ und $y$ auch als Input und Output einer Funktion $f$ auffassen, so dass die obigen Tabelle gerade die Wertetabelle der Funktion ist.

\begin{array}{cl} \text{Input }x & \\ \large\downarrow & \\ \boxed{\large f} & \text{Regel ?}\\ \large\downarrow & \\ \text{Output }y & \\ \end{array}

Wenn wir den Graph von $f$ zeichnen (mit Hilfe der Wertetabelle) so sehen wir, dass der Graph einen Gerade bildet.

Es ist also eine lineare Funktion, $f(x)=ax+b$ . Da die Gerade durch den Nullpunkt geht, muss gelten $b=0$ , und mit dem Steigungsdreieck finden wir schnell heraus, dass die Steigung gilt $a=0.5$ . Die Funktionsgleichung ist also

f(x)=0.5x

Im Kontext von Proportionalität wird die Steigung $a=0.5$ Proportionalitätskonstante genannt. Dass wir eine direkte Proportionalität als lineare Funktion mit $b=0$ auffassen können gilt nicht nur für dieses Beispiel, sondern immer, wie leicht einzusehen ist. Fassen wir zusammen:

Theorem 1

Gegeben seien zwei Grössen $x$ (z.B. Anzahl Steine) und $y$ (z.B. Gewicht im Sack), welche wir als Input und Output einer Funktion $f$ auffassen können. Falls

die Funktionsgleichung linear ist, daher $f(x)=ax+b$ , und
für den $y$ -Achsenabschnitt $b=0$ gilt (daher der Graph geht durch den Koordinatennullpunkt $(0|0)$ )

so sind die Grössen $x$ und $y$ direkt proportional. Die Steigung $a$ wird Proportionalitätskonstante genannt. Wir haben also

f(x)=\text{Proportionalitätskonstante} \cdot x

oder

y = \text{Proportionalitätskonstante} \cdot x

Es gilt:

Wird der Input $x$ mit einer beliebigen Zahl multipliziert, so wird der dazugehörige Output mit der gleichen Zahl multipliziert.
Die Proportionalitätskonstante kann mit Hilfe des Steigungsdreiecks gefunden werden. Am einfachsten wählt man ein Steigungsdreieck, das beim Koordinatennullpunkt $(0|0)$ beginnt. Es wird dann noch ein anderer Punkt auf dem Graphen gebraucht.

Exercise 1

Eine Spaziergängerin wandert so, dass die zurückgelegte Distanz (direkt) proportional zur Wanderzeit ist. Daher, bei doppelter Wanderzeit verdoppelt sich auch die Distanz, und so weiter. Zur Zeit $t=3$ Stunden Wanderzeit ist die zurückgelegte Distanz $s=2 km$
1. Bestimme die Funktionsgleichung, wenn die Zeit $t$ der Input und die Distanz $s$ als Output einer Funktion $f$ interpretiert wird. Bestimme auch die Proportionalitätskonstante.
2. Bestimme die Funktionsgleichung, wenn die Distanz $s$ der Input und die Zeit $t$ als Output einer Funktion $g$ interpretiert wird. Bestimme auch die Proportionalitätskonstante.
Das Wachstum eines Baumes wird beobachtet und das Alters des Baumes in Jahren ( $t$ ) wie auch die Baumhöhe in Meter ( $h$ ) gemessen. Folgenden Messungen werden gemacht:
$\begin{array}{c|c} t & h \\ \hline 3 & 6\\ 5 & 8 \end{array}$
Wächst der Baum proportional zur Zeit? Falls ja, bestimme die Proportionalitätskonstante. Falls nein, bestimme die Höhe des Baums zur Zeit $t=8$ so, dass das Wachstum proportional wird. Was ist dann die Proportionalitätskonstante?
Die Wassermenge (in Liter) in einem Becken sei proportional zur Regendauer (in Stunden), wobei die Proportionalitätskonstante $3$ Liter pro Stunde beträgt. Wie viel Liter hat es im Becken nach $10$ Stunden Regen?

Solution

Da Input und Output von $f$ und $g$ proportional sind, sind beide Funktionen $f$ und $g$ linear mit $y$ -Achsenabschnitt $b=0$ . Um die Steigung zu bestimmen, wählen wir das Steigungsdreieck zwischen den Punkten $(0|0)$ und $A$ :
1. $A(3|2)$ , also $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{3}$ . Die Funktionsgleichung ist also $f(x)=\frac{2}{3}x$ und die Proportionalitätskonstante ist $\frac{2}{3}=0.\overline{6}$ .
2. $A(2|3)$ , also $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3}{2}=1.5$ . Die Funktionsgleichung ist also $f(x)=1.5x$ und die Proportionalitätskonstante ist $1.5$ .
Bestimme den Multiplikationsfaktor, um von $t=3$ auf $t=5$ zu kommen. Dieser Faktor ist $5/3$ , da $3\cdot\frac{5}{3}=5$ . Falls die Daten proportional sind, muss dann ebenfalls gelten, dass $6\cdot \frac{5}{3}=8$ , was aber nicht der Fall ist, es ist $10$ . Für proportionale Daten müsste also gelten, dass zur Zeit $t=5$ die Höhe $h=10m$ ist. Die Funktionsgleichung wäre dann $f(x)=2x$ (bestimme zum Beispiel das Steigungsdreieck zwischen $(0|0)$ und $A(3|6)$ ), die Proportionalitätskonstante ist also $2$ .
Es ist $f(x)=3x$ wobei der Input $x$ die Zeit und der Output $y$ die Anzahl Liter ist. Nach $10$ Stunden hat es also $f(10)= 3\cdot 10=30$ Liter im Becken.