Variablen und Begriffe

Oft ist es hilfreich, Buchstaben zu verwenden, die für Zahlen stehen. Diese Buchstaben werden Variablen (oder Platzhalter) genannt. Mit Hilfe von Variablen lassen sich Rechenregeln (im Folgenden Terme, algebraische Ausdrücke oder Formeln genannt) mit den Grundoperationen ($\cdot, :, +, -$) kurz und präzise aufschreiben. Ohne Variablen müssten wir diese Rechenregeln in Form eines Satzes aufschreiben, was ziemlich kompliziert und umständlich ist. Hier sind ein paar Beispiele:

Auswerten von Termen

Wenn ein Term gegeben ist, können wir ihn auswerten, sobald wir wissen, welche numerischen Werte die Variablen haben sollen. Es ist oft hilfreich, sich die Variablen als Behälter vorzustellen, die mit Zahlen gefüllt werden können.

Ein Beispiel: Der Term

enthält zwei Container $a$ und $b$, die nicht die gleichen Zahlen enthalten müssen. Aber die Behälter mit dem gleichen Buchstaben müssen immer die gleiche Zahl enthalten. Vielleicht hilft es, tatsächlich Behälter zu zeichnen, etwa einen blauen Kreis $\color{blue}\bigcirc$ für $a$ und einen roten Kreis $\color{red}\bigcirc$ für $b$. Wir haben dann

Wenn ${\color{blue}a}={\color{blue}2}$ und ${\color{red}b}={\color{red}3}$, müssen wir $\color{blue}2$ in $\color{blue}\bigcirc$ und $\color{red}3$ in $\color{red}\bigcirc$ einsetzen und erhalten so

Für ${\color{blue}a}={\color{blue}{-2}}$ und ${\color{red}b}={{\color{red}-3}}$ erhalten wir

Reihenfolge der Operationen und Klammern (oder Klammerung)

Wenn wir mehrere Variablen oder Zahlen addieren oder multiplizieren, tun wir dies im Allgemeinen von links nach rechts. Ein Beispiel: Wir haben den Term

und verwenden $a=2$ und $b=3$. Dann beginnen wir auf der linken Seite und berechnen

und dann

Wenn es jedoch eine Mischung von Operationen gibt, ist dieses Muster von links nach rechts nicht immer korrekt. Oft haben wir kleine Gruppen (nennen wir sie Subterme) innerhalb eines Terms, die zuerst ausgewertet werden müssen. Grundsätzlich gibt es zwei Fälle:

1. Multiplikation und Division binden stärker als Addition oder Subtraktion. Das heisst, wir müssen die Subterme mit den Punktoperatoren zuerst auswerten. Betrachten wir zum Beispiel den Term $a+5\cdot b$. Hier müssen wir den Teilterm $5\cdot b$ zuerst auswerten, weil er von $a$ durch ein Plus getrennt ist, das schwächer bindet. Für $a=2$ und $b=3$ haben wir also $$5\cdot 3=15$$ und $$2+15=17$$ Eine Potenz, z.B. $x^2$, bindet stärker als die Multiplikation. Wir haben also $$3\cdot 5^2 = 3\cdot 25=75$$ Zusammengefasst haben wir die folgende Reihenfolge (von der stärksten zur schwächsten Bindung): $$\boxed{\begin{array}{c} ()\\[1ex] \boxed{\phantom{}}^2\\[1ex] \cdot\quad\text{und}\quad:\\[1ex] +\quad\text{und}\quad - \end{array}}$$
2. Klammern bilden Subterme, die zuerst ausgewertet werden müssen. Nehmen wir zum Beispiel den Term $(a+5)\cdot b$. Da es eine Klammer gibt, müssen wir zuerst den Teilterm $a+5$ auswerten. Für $a=2$ und $b=3$ haben wir also $$2+5=7$$ und $$7\cdot 3=21$$ Man kann auch so denken: Potenz bindet stärker als Multiplikation, und Multiplikation bindet stärker als Addition (und Subtraktion). Aber Klammern binden am stärksten! Natürlich können Subterme auch weitere Subterme enthalten: $${{\color{red}3x}}-({\color{green}{\underbrace{4x}_{\text{ST1}}}+{\color{green}{\underbrace{1}_{\text{ST2}}}}})$$ Hier sind rote und grüne Subterme, und der grüne Subterm besteht aus zwei anderen Subtermen ST1 und ST2.