Zahlenmengen

Jede Zahl hat eine genaue Position auf dem Zahlenstrahl (eine gerade Linie). Umgekehrt, jede Position auf dem Zahlenstrahl entspricht einer Zahl.

Es werden verschiedene Typen von Zahlen unterschieden, welche wir nun diskutieren werden.

Die natürlichen Zahlen

Das sind die Zahlen, mit denen man Dinge zählt.

N={1,2,3,...}\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}

Die natürlichen Zahlen können weiter in diverse Untergruppen unterteilt werden, wie zum Beispiel:

Beachte: 00 wird nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt. Wir können aber die Notation

N0={0,1,2,3,...}\mathbb{N}_0=\{0, 1,2,3,...\}

verwenden, um die 00 miteinzubeziehen.

Das "N" steht für natürliche Zahl.

Die ganzen Zahlen

Werden zu den natürlichen Zahlen die 00 und die "negativen" natürlichen Zahlen dazu genommen, erhalten wir die ganzen Zahlen:

Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}

Das "Z" steht für ganzen Zahlen.

Die rationalen Zahlen

Nehmen wir zu den ganzen Zahlen noch alle Brüche 12,−13,23,...\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, ... dazu, erhalten wir die rationalen Zahlen:

Q={alle Bru¨che pq mit p∈Z und q∈N}\mathbb{Q} = \text{\{alle Brüche $\frac{p}{q}$ mit $p\in \mathbb{Z}$ und $q\in \mathbb{N}$\}}

Jede ganze Zahl kann natürlich ebenfalls als Bruch dargestellt werden: 1=11,2=21,−2=−21,...1=\frac{1}{1}, 2=\frac{2}{1}, -2=\frac{-2}{1}, .... Die ganzen Zahlen sind also automatisch in der obigen Definition enthalten.

Beachte, dass pp der Zähler und qq der Nenner genannt wird, und die kleine horizontale Linie heisst Bruchstrick ist.

Das "Q" für die rationalen kommt vom englischen Wort "quotient", was übersetzt Bruch heisst.

Die irrationalen Zahlen

Alle Zahlen, die nicht rationale Zahlen sind, d.h. alle Zahlen, die wir nicht als Bruch schreiben können, werden irrationale Zahlen genannt. Wir werden kein Symbol für diese Menge einführen.

Es kann gezeigt werden, dass zum Beispiel π\pi und 2\sqrt{2} irrationale Zahlen sind.

Die reellen Zahlen

Alle Zahlen auf der Zahlengeraden, d. h. die Vereinigung der rationalen und der irrationalen Zahlenmengen.

Exercise 1

Zeichne ein Venn-Diagramm, das die Beziehung zwischen den verschiedenen Zahlenmengen N,Z,Q\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q} und R\mathbb{R} zeigt.

Solution

Wir haben N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}:

Die Dezimaldarstellung von Zahlen

Wir können die Zahlen auch mit Hilfe eines Dezimalpunktes schreiben. Zum Beispiel:

Beobachte, dass die rationalen Zahlen (Brüche) eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung haben. Dies scheint bei den irrationalen Zahlen wie π\pi oder 2\sqrt{2} nicht der Fall zu sein. Dies ist in der Tat eine allgemeine Regel, die wir aber nicht beweisen werden:

Theorem 1

Eine Zahl ist genau dann rational, wenn ihre Dezimaldarstellung endlich oder periodisch ist.

Es ist also nicht möglich, die Dezimaldarstellung einer irrationalen Zahl vollständig zu kennen. Lies dazu auch den folgenden Artikel über dieses Thema (ist auf Englisch).

Im Gegensatz dazu ist es relativ einfach, die Dezimaldarstellung von rationalen Zahlen mit Hilfe einer Division zu finden. Hier ist ein Beispiel:

Example 1

Stelle 23\frac{2}{3} als Dezimalzahl dar.

Es ist auch möglich, den Bruch für eine endliche oder sich wiederholende Dezimalzahl zu finden.

Example 2

Drücke die Dezimalzahlen als Brüche pq\frac{p}{q} aus:

  1. 1.321.32

  2. 0.3‾0.\overline{3}

  3. 1.23‾1.\overline{23}

Solution
  1. 1.32=13.210=1321001.32=\frac{13.2}{10}=\frac{132}{100}
  2. Multipliziere die Zahl 0.3‾0.\overline{3} mit 1010, und ziehe davon die Zahl selbst ab: 10⋅0.3‾−0.3‾=3.3‾−0.3‾=310\cdot 0.\overline{3} - 0.\overline{3} = 3.\overline{3}-0.\overline{3}=3 Aber wir haben auch 10⋅0.3‾−0.3‾=9⋅0.3‾10\cdot 0.\overline{3}- 0.\overline{3}=9\cdot 0.\overline{3} Wir haben also 9⋅0.3‾=39\cdot 0.\overline{3} = 3 und es folgt, dass 0.3‾=39=130.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
  3. Derselbe Trick, aber dieses Mal multiplizieren wir mit 100100: 100⋅1.23‾−1.23‾=123.23‾−1.23‾=122100\cdot 1.\overline{23} - 1.\overline{23} = 123.\overline{23}-1.\overline{23}=122 Aber wir haben auch, dass 100⋅1.23‾−1.23‾=99⋅1.23‾100\cdot 1.\overline{23}- 1.\overline{23}=99\cdot 1.\overline{23} Wir haben also 99⋅1.23‾=12299\cdot 1.\overline{23} = 122 und es folgt, dass 1.23‾=122991.\overline{23} = \frac{122}{99}
Exercise 2

  1. Zu welcher kleinsten Zahlenmenge N,Z,Q,R\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} gehört die Zahl?

    1. −23-23
    2. 42\frac{4}{2}
    3. 0.30.3
    4. 0.3‾0.\overline{3}
    5. 1.14‾1.\overline{14}
    6. 0.101001000100001...0.101001000100001...

  2. Stelle as Dezimalzahl dar:

    1. 14\frac{1}{4}
    2. 108\frac{10}{8}
    3. 17\frac{1}{7}

  3. Gibt es eine Zahl, die jede natürliche Zahl enthält? Wenn ja, würde das bedeuten, dass diese Zahl jedes einzelne Buch enthält, das geschrieben wurde und je geschrieben wird ... .

  4. Schreibe 2.513‾2.\overline{513} als Bruch pq\frac{p}{q}

  5. Zeige, dass 0.9999....=10.9999....=1.

Solution
  1. Wir haben
    1. −23∈Z-23 \in \mathbb{Z}
    2. 42=2∈N\frac{4}{2}=2 \in \mathbb{N}
    3. 0.3∈Q0.3 \in \mathbb{Q} (da endliche Dezimalzahl)
    4. 0.3‾∈Q0.\overline{3} \in \mathbb{Q} (da periodische Dezimalzahl)
    5. 1.14‾∈Q1.\overline{14} \in \mathbb{Q} (da periodische Dezimalzahl)
    6. 0.101001000100001...∈R0.101001000100001... \in \mathbb{R}. Es ist eine irrationale Zahl (nicht periodisch, unendlich).
  2. Sie Bild unten
  3. Ja, zum Beispiel 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ....0.1\,2\,3\,4\,5\,6\,7\,8\,9\,10\,11\,12\,13\,14\,15\,....
  4. Es ist 1000⋅2.513‾−2.513‾⏟999⋅2.513‾=2513.513‾−2.513‾=2511\underbrace{1000\cdot 2.\overline{513}-2.\overline{513}}_{999\cdot 2.\overline{513}}=2513.\overline{513}-2.\overline{513} = 2511 Also 999⋅2.513‾=2511999\cdot 2.\overline{513}=2511 und somit 2.513‾=25119992.\overline{513}=\frac{2511}{999}
  5. Wir schreiben 0.999...=0.9‾0.999...=0.\overline{9} als Bruch: 10⋅0.9‾−0.9‾⏟9⋅0.9‾=9.9‾−0.9‾=9\underbrace{10\cdot 0.\overline{9}-0.\overline{9}}_{9\cdot 0.\overline{9}}=9.\overline{9}-0.\overline{9}=9 Also gilt 9⋅0.9‾=99\cdot 0.\overline{9} = 9 und somit 0.9‾=99=10.\overline{9} = \frac{9}{9}=1