Lösen von einigen nicht-linearen Gleichungen

Es gibt auch andere Arten von Gleichungen, nicht-lineare, die wir ebenfalls lösen können. Es gibt noch viele weitere nicht-lineare Gleichungen, deren Lösungsverfahren wir aber erst später diskutieren werden.

Gleichungen mit quadratischem Term

Dies sind Gleichungen der Form

\boxed{a x^2+b=0}

Zum Beispiel,

3x^2-12=0

Beachte, dass diese Gleichung der linearen Gleichung ähnlich ist, aber die Variable $x$ ist im Quadrat (daher, hoch zwei). Um diese Art von Gleichung zu lösen, gehen wir ähnlich vor wie bei den linearen Gleichungen:

bringe alle $x^2$ -Terme auf eine Seite und die Zahl auf die andere Seite
isoliere den $x^2$ -Teil
Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens

\begin{array}{llll} 3x^2 -12&= &0 &\quad| +12\\ 3x^2 &= &12 &\quad| :3\, (\text{isoliere})\\ x^2 &= &4 &\quad|\sqrt{\phantom{x}}\\ \sqrt{x^2} &= &\sqrt{4} &\quad| \text{vereinfache} \\ x &= &\pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{array}

Beachte, dass $-2$ auch eine Lösung ist, denn wir haben auch $(-2)^2=4$ . Wir haben also zwei Lösungen, $x=2$ und $x=-2$ . Eine Kurzform für $x=2$ und $x=-2$ ist die Notation

x=\pm 2

Manchmal muss etwas härter gearbeitet werden, um $x^2$ zu isolieren. Betrachte zum Beispiel das folgende Beispiel:

Example 1

Lösen Sie die Gleichung

3x^2-4= x^2+5

Auch hier lösen wir die Gleichung, indem wir zunächst alle Terme von $x^2$ auf die eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen.

\begin{array}{llll} 3x^2-4&= &x^2+5 &\quad| -x^2, +4\\ 3x^2-x^2 &= &5+4 &\quad| \text{vereinfache}\\ 2x^2 &= &9 &\quad| :2\, (\text{isoliere})\\ x^2 &= & 4.5 &\quad| \sqrt{\phantom{x}}\\ \sqrt{x^2} &= & \sqrt{4.5} &\quad|\text{vereinfache}\\ x &= &\pm \sqrt{4.5} = \pm 2.121 \end{array}

Manchmal gibt es für eine Gleichung keine Lösung. Zum Beispiel:

Example 2

Lösen Sie die Gleichung

x^2+4=0

Wir versuchen, die Gleichung wie üblich zu lösen:

\begin{array}{llll} x^2+4&= &0 &\quad| -4\\ x^2 &= & -4 &\quad| \sqrt{\phantom{x}}\\ \sqrt{x^2} &= &\sqrt{-4} &\\ \end{array}

und da $\sqrt{-4}$ nicht existiert, müssen wir schliessen, dass es keinen Wert gibt, für den diese Gleichung gilt.

Gleichungen mit einem Quadratwurzelterm

Dies sind Gleichungen der Form

\boxed{a\sqrt{x}+b=0}

Zum Beispiel,

3\sqrt{x}-10=8

Wir verwenden einen ähnlichen Ansatz wie oben:

Bringe alle $\sqrt{x}$ -Terme auf eine Seite und die Zahl auf die andere Seite
isoliere das $\sqrt{x}$
Quadriere beide Seiten

Wir haben also

\begin{array}{llll} 3\sqrt{x}-10&= &8 &\quad| +10\\ 3\sqrt{x} &= &18 &\quad| :3\, (\text{isolate})\\ \sqrt{x} &= & 6 &\quad| \text{square both sides}\\ \left(\sqrt{x}\right)^2 &= & 6^2 & \quad|\text{vereinfache}\\ x &= & 36 &\\ \end{array}

Typisch für diese Art von Gleichung ist, dass wir manchmal zwar einen Wert für $x$ bekommen, dieser jedoch keine Lösung der Gleichung darstellt. Zum Beispiel:

Example 3

Lösen Sie die Gleichung

3\sqrt{x}+10 = 1

Lösen wir wie üblich, erhalten wir

\begin{array}{llll} 3\sqrt{x}+10&= &1 &\quad| -10\\ 3\sqrt{x} &= &-9 &\quad| :3\, (\text{isoliere})\\ \sqrt{x} &= &-3 &\quad| \text{quadriere beide Seiten}\\ \left(\sqrt{x}\right)^2 &= & (-3)^2 & \quad|\text{vereinfache}\\ x &= & 9 &\\ \end{array}

Tatsächlich hat diese Gleichung keine Lösung - warum bekommen wir also eine? Nun, schauen wir uns die dritte Zeile an, wo es heisst $\sqrt{x}=-3$ . Einen solchen $x$ -Wert gibt es nicht, denn die Wurzel ist immer positiv. Also hätten wir schon da stoppen sollen, und schliessen, dass es keine Lösung geben kann.

Gleichungen mit x im Nenner

Dies sind Gleichungen des folgenden Typs:

\boxed{a\frac{1}{x}+b=0}

oder, etwas kompakter geschrieben:

\boxed{\frac{a}{x}+b=0}

Ein Beispiel ist die folgende Gleichung:

\frac{4}{x}-2=0

Um sie zu lösen, gehe wie folgt vor:

Bringe alle $\frac{1}{x}$ -Terme auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens
Multipliziere beide Seiten mit $x$
Löse die resultierende Gleichung

Also machen wir Folgendes:

\begin{array}{llll} \frac{4}{x}-2&= &0 &\quad| +2\\ \frac{4}{x} &= &2 &\quad| \cdot x\\ 4 &= & 2x &\quad| :2\\ 2 &= & x &\\ \end{array}

Manchmal muss hart gearbeitet werden, um die Gleichung in diese Form zu bringen, und manchmal ist der Nenner nicht nur $x$ , sonder ein komplizierter Ausdruck in $x$ . Aber wir wenden die gleiche Strategie an. Hier ist ein Beispiel.

Example 4

Lösen Sie die Gleichung

\frac{3}{x}-1 = \frac{2}{3x}+\frac{1}{3}

Wieder bringen wir alle Brüche mit $x$ im Nenner auf eine Seite und schreiben sie als einen Bruch. Dasselbe gilt für die Zahlen. Dann multipliziere mit $x$ und löse die Gleichung.

\begin{array}{llll} \frac{3}{x}-1&=& \frac{2}{3x}+\frac{1}{3} &\quad| +1, -\frac{2}{3x}\\ \frac{3}{x}-\frac{2}{3x} &= &\frac{1}{3}+1 &\quad| \text{schreibe als Bruch}\\ \frac{7}{3x} &= & \frac{4}{3} &\quad| \cdot x\\ \frac{7}{3} &= & \frac{4}{3}x &\quad| \cdot \frac{3}{4}\\ \frac{21}{12} &= & x &\\ \end{array}

Das Ergebnis ist $x=\frac{21}{12}=\frac{7}{4}$ . Natürlich hätten wir auch beide Seiten mit $3x$ multiplizieren können, anstatt nur mit $x$ .

Wenn der Nenner einen quadratischen Term $x^2$ oder einen Quadratwurzelterm $\sqrt{x}$ enthält, können wir die gleiche Strategie anwenden. Hier ist ein Beispiel:

Example 5

Lösen Sie die Gleichung

\frac{2}{3x^2}-5=0

Wir lösen wie üblich, multiplizieren aber jede Seite mit $x^2$ :

\begin{array}{llll} \frac{2}{3x^2}-5 &=& 0 &\quad| +5\\ \frac{2}{3x^2} &=& 5 &\quad| \cdot x^2\\ \frac{2}{3} &=& 5x^2 &\quad| :5\\ \frac{2}{15} &=& x^2 &\quad| \sqrt{\phantom{a}}\\ \pm \sqrt{\frac{2}{15}} &=& x \end{array}

Die beiden Lösungen sind also $x_1=-\sqrt{\frac{2}{15}}=-0.365$ und $x_2=\sqrt{\frac{2}{15}}=0.365$

Gleichungen mit einem Produkt, das Null ergibt

Es sei daran erinnert, dass Terme, die an einer Multiplikation beteiligten Terme sind, Faktoren genannt werden. Ein Beispiel: Die Multiplikation

3\cdot 5

hat die Faktoren $3$ und $5$ , und die Multiplikation

(x-1)x(x^2+2)

hat die Faktoren $x-1$ , $x$ , und $x^2+2$ . Wir besprechen nun, wie man Gleichungen löst, die aus Faktoren bestehen, deren Produkt gleich Null ist, der einfachste Fall ist

\boxed{(x-a)(x-b)=0}

Ein Beispiel ist

(x-1)(x+2)=0

Um diese Gleichung zu lösen, beginnen wir mit einer einfachen Beobachtung: Für zwei beliebige Zahlen, sagen wir $a\cdot b$ , wissen wir, dass das Produkt nicht Null sein kann, es sei denn, $a$ oder $b$ sind Null (oder beide). In der Tat ist ein Produkt wie $3\cdot 5=15\neq 0$ , aber $0\cdot 5=0$ und $3\cdot 0=0$ .

Wenden wir diese Beobachtung auf unser obiges Beispiel an:

(x-1)(x+2)=0

Da es sich um ein Produkt aus zwei Faktoren, $x-1$ und $x+2$ , handelt, kann die Linke Seite nur Null sein, wenn der Faktor $x-1$ Null ist oder der Faktor $x+2$ Null ist. Und es ist einfach, diese Werte zu finden:

\begin{array}{ll} x-1=0 & \rightarrow x=1\\ x+2=0 & \rightarrow x=-2\\ \end{array}

Also müssen $1$ und $-2$ die Lösungen dieser Gleichung sein. Überprüfen wir das. Für $x=1$ haben wir

(1-1)(1+2)=0\cdot 3 = 0

also ist $x=1$ eine Lösung. Für $x=-2$ erhalten wir

(-2-1)(-2+2)=-3\cdot 0=0

also ist $x=-2$ ebenfalls eine Lösung.

Es ist einfach, diese Methode auf Gleichungen auszuweiten, die aus mehr Faktoren bestehen, die auch komplexer sein können. Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Example 6

Lösen Sie die Gleichung

(x-1)x(x^2-2)=0

Nach unserer Methode müssen wir alle $x$ -Werte finden, bei denen der Faktor $x-1$ Null ist (also ist $x=1$ eine Lösung), oder der Faktor $x$ Null ist (also ist $x$ =0 eine Lösung), oder der Faktor $x^2-2$ Null ist. Für diesen letzten Faktor müssen wir ein $x$ mit

\begin{array}{llll} x^2 -2 & = & 0 & \quad| +2\\ x^2 & = & 2 & \quad| \sqrt{\phantom{a}}\\ x &=& \pm \sqrt{2} \end{array}

Die Lösungen sind also $x_1=1,x_2=0,x_3=\sqrt{2}$ und $x_4=-\sqrt{2}$ .

Manchmal müssen wir eine Gleichung erst in die richtige Form bringen, d. h. sie als Faktoren schreiben. Meistens geschieht dies durch Ausklammern. Hier ist ein Beispiel:

Example 7

Löse die Gleichung

2x^2-3x=0

Das $x$ , das in beiden Termen vorkommt, soll ausgeklammert werden:

\begin{array}{lll} 2x^2-3x & = & 0 & \text{faktorisiere!}\\ x(2x-3) & = & 0 \end{array}

Der erste Faktor ist $x$ , also ist eine Lösung $x=0$ . Der andere Faktor ist $2x-3$ . Um den $x$ -Wert herauszufinden, für den der Faktor Null ist, müssen wir eine lineare Gleichung lösen:

\begin{array}{llll} 2x-3 & = & 0 & |\quad +3\\ 2x & = & 3 & |\quad :2 \\ x &=& 1.5 \end{array}

Die Lösungen sind also $x_1=0$ und $x_2=1.5$ .

Exercise 1

Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

$x^2-3=5$
$2x^2-4=6x^2-10$
$3\sqrt{x}=4$
$\sqrt{2x}-2=4$
$4x^2-4 = x^2+8$
$3\sqrt{x}-2=0.5 \sqrt{x}$
$\frac{2}{x}=4$
$\frac{2}{x}-1=4$
$\frac{2}{\sqrt{x}}= 5$
$x(x+1)=0$
$x(x+1)(x+2)=0$
$\frac{4}{5x^2} = \frac{2}{10x^2}+1$
$x(2x+1)(x^2-1)=0$
$x^2-x=0$
$3x^3-2x^2=0$
$4x^3-x=0$
$(x-1)x(x^2+2)=0$
$5(x-1)^2=0$
$x^2(x-1)=0$
$3(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0$

Solution

$x_{1,2}=\pm \sqrt{8}=\pm 2.828$
$x_{1,2}=\pm \sqrt{1.5}=\pm 1.225$
$x = \frac{16}{9}=1.778$
$x=18$
$x_{1,2}=\pm 2$
$x=\frac{16}{25}=0.64$
$x=\frac{1}{2}=0.5$
$x=\frac{2}{5}=0.4$
$x=\frac{4}{25}=0.16$
$x_1=0, x_2=-1$
$x_1=0, x_2=-1, x_3=-2$
$x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{3}{5}}=\pm 0.775$
$x_1=0, x_2=-0.5, x_{3,4}=\pm 1$
$x_1=0, x_2=1$
$x_1=0, x_2=\frac{2}{3}=0.\overline{6}$
$x_1=0, x_{2,3}=\pm\frac{1}{2}$
$x_1=1, x_2=0$
$x=1$
$x_1=0, x_2=1$
$x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4$