Lösen linearer Gleichungen

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form

\boxed{a x + b = 0}

wobei $a$ und $b$ feste Zahlen sind. Für die Gleichung

3x - 4=0

gilt beispielsweise $a=3$ und $b=-4$ . Diese Art von Gleichungen sind ziemlich einfach zu lösen. Mit Lösen meinen wir: "Finde alle Zahlen, die man für $x$ einsetzen kann, sodass die linke Seite des Gleichheitszeichen gleich der rechten Seite ist (also $0$ )." Jeder solche Wert wird als eine Lösung der Gleichung bezeichnet.

Die Strategie zur Lösung einer linearen Gleichung ist wie folgt:

"Bringe den $x$ -Term auf die eine Seite des Gleichheitszeichens und den Wert auf die andere Seite."

Zum Beispiel kann die Gleichung

3x-4=0

wie folgt gelöst werden:

\begin{array}{llll} 3x -4& =& 0& \quad| \, +4\\ 3x & =& 4 &\quad| \, :3\\ x & =&\underline{\frac{4}{3}}\\ \end{array}

Beachte, dass wir bestimmte Operationen auf die Gleichung anwenden. In einem ersten Schritt addieren wir eine $4$ auf beiden Seiten. Wenn wir nur auf der linken Seite $4$ hinzufügen würden, würde sich die Gleichung ändern. Stelle dir die Gleichung als Waage vor:

Was immer wir auf der linken Seite tun, müssen wir auch auf der rechten Seite tun, um das Gleichgewicht zu halten.

Wenn wir die Gleichung im zweiten Schritt durch $3$ dividieren, müssen wir dies für die linke Seite und für die rechte Seite tun.

Manchmal ist die "Linearität" der Gleichung versteckt, und man muss ein bisschen arbeiten, um sie in eine Form zu bringen, in der sie gelöst werden kann. Wir geben vier typische Beispiele.

Example 1

Die Variable $x$ steht auf beiden Seiten der Gleichung:

0.5 x-3 = 2 x+1

Bringe alle $x$ auf eine Seite der Gleichung und die Werte auf die andere Seite:

\begin{array}{llll} \hphantom{-}0.5 x-3 & =& 2 x+1 & \quad| \, -2x\\ -1.5 x -3 & =& 1 & \quad| \, +3\\ -1.5 x & =&4 & \quad| \, : -1.5\\ \hphantom{-1.5}x & = &\frac{4}{-1.5}& & \\ & = &\underline{-2.\overline{6}} \end{array}

Example 2

Es ist auch möglich, dass es mehrere $x$ auf einer oder beiden Seiten gibt, und möglicherweise auch mehr als einen Wert. Dann sollte man zunächst vereinfachen, d. h. alle $x$ auf jeder Seite addieren und auch alle Werte addieren:

\begin{array}{llll} 0.5 x-3 +4x +5& = &2.4 x+1 -3x+2-6x&\quad| \, \text{vereinfache}\\ 4.5 x +2 & =& -6.6x +3 &\quad| \, +6.6x\\ 11.1 x +2 & =& 3 &\quad| \, -2\\ 11.1 x & =&1 &\quad| \, :11.1\\ x & = &\frac{1}{11.1}&\\ &=&\underline{0.09009...} \end{array}

Example 3

Die linke oder rechte Seite enthält $x$ mit einer Potenz, welche sich aber aufheben:

2x^2+4x-3 = 2-x+2x^2

Bringe alle $x$ auf eine Seite der Gleichung und die Zahlen auf die andere Seite:

\begin{array}{llll} 2x^2+4x-3 &= & 2-x+2x^2& \quad| \, -2x^2\\ 4x -3 & = &2-x &\quad| \, +x\\ 5x -3 & = &2 &\quad| \, +3\\ 5x & =& 5& \quad| \, :5\\ x & =& \underline{1}\\ \end{array}

Example 4

Das $x$ steht im Nenner eines Bruches:

\frac{4}{x}-3 = 2

Bringe alle $x$ auf eine Seite der Gleichung und die Zahlen auf die andere Seite:

\begin{array}{llll} \frac{4}{x}-3 &=& 2 & \quad| \, +3\\ \frac{4}{x} & = &5& \quad| \, \cdot x\\ 4 & =& 5x&\quad| \, :5\\ \underline{\frac{4}{5}}& =& x & \end{array}

Man kann auch erst beide Seiten mit $x$ multiplizieren, muss dann aber darauf achten, dass man es richtig macht:

\begin{array}{llll} \frac{4}{x}-3 &=& 2 & \quad| \, \cdot x\\ x\cdot (\frac{4}{x}-3) & =& 2x &\\ 4-3x & =& 2x &\quad| \, +3x\\ 4 & = & 5x&\quad| \, :5\\ \underline{\frac{4}{5}}& =& x & \end{array}

Exercise 1

F1

Löse die Gleichung, falls linear:

$6x-10=x-5$
$-x-2=x+3$
$3-4x=5-2x-16$
$15x-73-24x=59-16+20x$
$56x-43-52-19x=7-72x-56x+165x-112$
$92-13x-x^2=52-3x-x^2$
$14-(10-x)=0$
$14-(x-15)=2-(6x+13)$
$5(4x+9)-6(2x-5)=75$
$10-6(x-14)=20-3(2x-25)$
$(15x-3)^2=x(225x-15)$
$(x-5)(x-2)=(x-4)(x-3)$
$(x+3)(x-5)=(x-3)^2$
$x^2-3x+14=x(x+7)$
$(2x-3)^2=(2x+3)^2+12$
$\frac{x}{4}+\frac{1}{5}=\frac{x}{2}+\frac{x}{6}$
$\frac{x+3}{5}=\frac{2x-8}{3}$
$\frac{3}{x}+1 = 2$
$\frac{7}{x}-4 = \frac{2}{x}+2$
$\frac{2}{x}+x = x+7$

F2

Finde eine Gleichung, deren Lösung die Antwort auf die folgende Frage ist. Lösen Sie dann die Gleichung.

Die Summe von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist $960$ . Finden Sie die kleinste dieser Zahlen.
Die Differenz zwischen zwei natürlichen Zahlen ist $3$ . Die Differenz zwischen den Quadraten dieser beiden Zahlen ist $381$ . Finden Sie die kleinere dieser beiden Zahlen?
Eine Treppe zu einer Wohnung im ersten Stock hat $22$ Stufen. Wenn die Höhe jeder Stufe um $1.6 cm$ erhöht würde, bräuchte man nur $20$ Stufen. Wie hoch ist die Höhe der einzelnen Stufen?

Solution

A1

$6x-10=x-5 \rightarrow 5x=5 \rightarrow x=\underline{1}$
$-x-2=x+3 \rightarrow 2x=-5 \rightarrow x=\underline{-2.5}$
$3-4x=5-2x-16 \rightarrow 2x=14 \rightarrow x=\underline{7}$
$15x-73-24x=59-16+20x \rightarrow -29x=116 \rightarrow x=\underline{-4}$
$56x-43-52-19x=7-72x-56x+165x-112 \rightarrow 0 = 10 (?)\rightarrow \underline{\text{keine Lösung}}$
$92-13x-4x^2=52-3x-4x^2 \rightarrow 10x=40\rightarrow x=\underline{4}$
$14-(10-x)=0 \rightarrow 4+x=0 \rightarrow x=\underline{-4}$
$14-(x-15)=2-(6x+13) \rightarrow -x+29= -6x-11 \rightarrow 5x = -40 \rightarrow x=\underline{-8}$
$5(4x+9)-6(2x-5)=75 \rightarrow 20x+45 -12x+30 = 75 \rightarrow \rightarrow 8x=0 \rightarrow x=\underline{0}$
$10-6(x-14)=20-3(2x-25) \rightarrow 10-6x+84 = 20-6x+75 \rightarrow 94=95(?) \rightarrow \underline{\text{keine Lösung}}$
$(15x-3)^2=x(225x-15) \rightarrow 225x^2-90x+9 = 225x^2-15x \rightarrow 75x = 9 \rightarrow x=\underline{0.12}$
$(x-5)(x-2)=(x-4)(x-3)\rightarrow x^2-7x+10 = x^2-7x+12 \rightarrow 10=12(?) \rightarrow \underline{\text{keine Lösung}}$
$(x+3)(x-5)=(x-3)^2\rightarrow x^2-2x-15 = x^2-6x+9 \rightarrow 4x=24 =\underline{6}$
$x^2-3x+14=x(x+7)\rightarrow x^2-3x+14=x^2+7x \rightarrow 10x=14 \rightarrow x=\underline{1.4}$
$(2x-3)^2=(2x+3)^2+12\rightarrow 4x^2 -12x+9 = 4x^2+12x+9+12\rightarrow -24x=12 \rightarrow x=\underline{-0.5}$
$\frac{x}{4}+\frac{1}{5}=\frac{x}{2}+\frac{x}{6}\rightarrow \frac{x}{4}-\frac{x}{2}-\frac{x}{6} = -\frac{1}{5} \rightarrow \frac{3x-6x-2x}{12}=-\frac{1}{5} \rightarrow \frac{-5x}{12}=-\frac{1}{5}\rightarrow x=\frac{12}{25}=\underline{0.48}$
$\frac{x+3}{5}=\frac{2x-8}{3}\rightarrow x+3 = \frac{5(2x-8)}{3}\rightarrow 3(x+3)=5(2x-8) \rightarrow 3x+9=10x-40 \rightarrow 7x=49 \rightarrow x=\underline{7}$
$\frac{3}{x}+1 = 2\rightarrow \frac{3}{x}=1\rightarrow x=\underline{3}$
$\frac{7}{x}-4 = \frac{2}{x}+2\rightarrow \frac{5}{x}=6 \rightarrow 6x=5 \rightarrow x=\underline{0.8\overline{3}}$
$\frac{2}{x}+x = x+7\rightarrow 2+x^2 = x^2+7x \rightarrow 7x=2 \rightarrow x=\underline{\frac{2}{7}}$

A2

Die Variable $x$ bezeichnet die kleinste dieser 5 Zahlen. Die fünf aufeinander folgenden Zahlen sind also $x$ , $x+1$ , $x+2$ , $x+3$ , $x+4$ . Da die Summe $960$ sein muss, erhalten wir die Gleichung
$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=960$
die sich vereinfacht zu
$\underline{5x+10=960}$
Die Lösung ist
$x=\frac{950}{5}=\underline{190}$
Überprüfe das Ergebnis: $190+191+192+193+194=960$
Die Variable $x$ bezeichnet die kleinere der beiden Zahlen. Die zweite Zahl ist also $x+3$ , da die Differenz $3$ sein muss. Wir erhalten also die Gleichung
$\underline{(x+3)^2-x^2=381}$
Um sie zu lösen, erweitern wir zunächst die algebraischen Ausdrücke:
$\begin{array}{llll} (x+3)^2-x^2 & =&381& \\ x^2+6x+9 -x^2 & =& 381 &\quad | \, -9\\ 6x & = &372& \quad | \, :6\\ x & =&\frac{372}{6}&\\ &=&\underline{62}&\\ \end{array}$
Zeichnen Sie die Situation! Du erhältst die folgende Gleichung, wobei $x$ die Höhe einer Stufe bezeichnet:
$\underline{20 (x+1.6) = 22x}$
Lösen wir die Gleichung, so erhalten wir
$\begin{array}{llll} 20 (x+1.6) & =& 22x &\\ 20x+32 & =& 22x &\quad | \, -20x\\ 32 & = &2x &\quad | \, :2\\ \underline{16} & =x \end{array}$
Die Stufenhöhe ist also $16 cm$ .