Die Logistische Funktion

Recap des Walpopulationsmodells

Wir haben für die Entwicklung der Walpopulation ein Modell vom Character

W_{k+1} = W_k+\rho W_k(K-W_k),

wobei $W_k$ die Anzahl Wale zum Zeitpunkt $k$ , $\rho>0$ einen Konstante, die unter anderem vom Wachstum der Population abhängig ist und $K$ die Kapazitätsgrenze der Populationsgrösse bezeichnen. Auf gym math gibts das Video zur Walpopulation auch zum Nachschauen.

Man kann nachrechnen, dass $0$ und $K$ Fixpunkte dieses Iterationsmodells sind und für gewisse, vernünftige $\rho$ und $K$ der Fixpunkt $0$ instabil und der Fixpunkt $K$ stabil ist.

Exercise 1: Stabile und instabile Fixpunkte

Rechne nach.

Solution

Siehe Wale.

Experimentiert man ein bisl, kann man beim Modell gucken, was passiert, wenn man seine Grenzen auslotet. Wir setzen das Modell noch mal auf. Dazu bestimmen wir zuerst den Parameter $\rho$ zu einem vermuteten Wachstum von $\tilde{q} = 8\%$ jährlich, Startwert $W_0 = 1'200$ und Kapazitätsgrenze $K = 20'000$ . Für $r$ berechnen wir den Wert $4.255\cdot10^{-6}$ und plotten.

Mit dem oben aus dem Kontext berechneten $\rho$ ergibt sich was wir erwarten: eine logstische Wachstumskurve mit Startwert $1200$ und Kapazitätsgrenze $K$ . Jetzt aber variieren statt wie im vorangegangenen Modul die Startwerte $W_0$ oder die Fangzahlenquoten den Parameter $\rho$ ; und staunen:

Hier sieht man bloss, dass die Punkte mit fort laufender Iteration "nervös" hin und her springen. Gut ersichtlich ist der zeitliche Verlauf. Um aber die "Punkteverteilung" besser zu sehen, stellen wir auf Scatterplot um, welcher die Punkte nicht verbindet. In der Tat handelt es sich ja auch um einzelne, berechnete Punkte $W_k$ , und nicht um stetige Funktionen.

Analyse

Funktionenschreibweise

Wir wollen für weitere Analysen nun weg von der iterativen Schreibweise hin zur Funktionenschreibweise. Dazu wird die Iteration linear skaliert und normiert, so dass nur noch ein Parameter übrig bleibt.

Exercise 2: Berechne im Modell

Gehe von der Iteration der Wale

W_{k+1} = W_k+\rho W_k(K-W_k)

aus.

a) Zeige, dass daraus $W_{k+1} = (1+\rho K)W_k-\rho W_k^2$ folgt.

b) Setze $r := 1+\rho K$ und $x_k := \dfrac{\rho}{r}W_k$ und zeige, dass daraus die mit dem Parameter $r$ normierte Iterationsgleichung

x_{k+1} = r\cdot x_k(1-x_k)

folgt.

Solution

In diesem Video, Wale zu logistische Funktion, wird der Inhalt obiger Übung noch einmal erläutert.

Die logistische Funktion

Wir arbeiten also jetzt mit der zugehörigen Funktion

f_r(x) = rx(1-x),

welche ich logistische Funktion nenne. Diese quadratische Funktion ist grundsätzlich auf ganz $\mathbb{R}$ definiert. Jetzt wird sich das Geschehen eine Weile um diese Funktion $f_r$ drehen.

Exercise 3: Nullstellen von f_r

Berechne die beiden Nullstellen von $f_r$ und beachte, dass diese unabhängig vom Parameter $r$ sind.

Solution

Aus $f_r(x) \stackrel{!}{=} 0$ folgt sofort $x_1=0$ und $x_2=1$ .

Damit die Funktion "handlicher" wird, schränken wir erstmal den Definitionsbereich $\mathbb{D}$ der freien Variablen $x$ ein, was aber de facto wegen der Isomorphie $\mathbb{R}\simeq(0,1)$ keiner Einschränkung im mathematischen Sinn gleich kommt. Wählen wir also $\mathbb{D}:= [0,1]$ . Nun möchten wir die Wertemenge ebenfalls $\mathbb{W}=[0,1]$ haben.

Exercise 4: \mathbb{R} \cong (0,1)

Ein Isomorphismus ist vereinfacht gesagt eine bijektive Abbildung zwischen zwei Mengen. Findest du einen Isomorphismus $\varphi:\mathbb{R}\to(0,1)$ ? Kannst du auch die Inversfunktion $\varphi^{-1}$ angeben?

Solution

Um einen Isomorphismus $\varphi:\mathbb{R}\to(0,1)$ zu finden, benötigen wir eine Funktion, die die unendliche Menge $\mathbb{R}$ auf das endliche, offene Intervall $(0,1)$ abbildet.

Eine mögliche Inversfunktion ist

\varphi(x) = \frac{1}{\pi} \left(\arctan(x) + \frac{\pi}{2}\right).

Eine andere gängige Bijektion ist die logistische Funktion $\varphi(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$ .

Exercise 5: [0,1]

Wieso wollen wir $\mathbb{W}=[0,1]$ ?

Solution

Damit die Funktion beliebig oft iterierbar wird.

Exercise 6: Parameter Einschränkung

Für welche Werte von $r$ gilt sicher $\mathbb{W}=[0,1]$ ?

Solution

$0<r<4$ erfüllt die Bedingung, wenn man den Scheitelwert, der bei $0.5$ liegt, betrachtet.

Wiederum ist es an der Zeit für etwas Action. Lassen wir einige Orbits zu ausgewählten $r$ s plotten. Wir installieren die logistische Funktion $f_r$ und schreiben eine Funktion, die uns für die logistische Funktion $f_r$ mit Startwert $x_0$ einen Orbit generiert.

Da die Funktion mit $\mathbb{D}=[0,1]$ für $0<r<4$ uneingeschränkt iteriert werden kann, schauen wir uns ein paar Beispiele an. Unten sind die Plots für $r=1.7,2.8,3.3,3.7$ . Man vergleiche mit dem Walmodell.

Exercise 7: Vergleiche mit den Walen

Welchen $r$ -Werten entsprächen obige Plots den im Walmodell gezeigten Plots?

Solution

Es gilt $r = 1 + \rho K$ . Man liest im Walmodell die Werte von $\rho$ und $K$ ab.

Fixpunkte von $f_r$

Exercise 8: Fixpunkte von f_r

Bestimme die Fixpunkte der logistischen Funktion

f_r(x) = rx(1-x).

Solution

$x \stackrel{!}{=} rx(1-x)$ liefert $x_1=0$ und $x_2=1-\frac{1}{r}$ .

Werte von r

0<r<1

Ich verwende die Funktionen- und die Iterationsschreibweise grad passend für meine Argumentationslinie, welche aber in jedem Fall mit beiden Ansätzen vollzogen werden kann. Dieser Fall, wenn $0<r<1$ ist, lässt sich bequem handhaben. Man kann zudem $0\leq r<1$ nehmen, da die Fixpunktbedingung über diesen Bereich gelten. Die Iterationsfolge konvergiert für jeden Startwert $x_0$ , da man $x_k$ nach oben abschätzen kann. Betrachte:

x_k = rx_{k-1}(1-x_{k-1}) < rx_{k-1} < r^2x_{k-2} < \dots < r^kx_0,

was wegen $0 \leq r<1$ klar gegen $0$ geht:

\lim_{k\to\infty}r^kx_0 = 0.

Also konvergiert die Iterationsfolge für diese $r$ für jeden Startwert $x_0$ gegen den Fixpunkt $0$ .

Exercise 9: Attraktorbereich

Bestimme die Bereiche für $r$ , für welche die beiden Fixpunkte (nota bene 1. Ordnung) attaktiv sind.

Solution

Die Attraktorbedingung $|f'_r(x)| = |-2rx+r| < 1$ liefert $|f'_r(0)| = |r| < 1$ und $|f'_r(1-\frac{1}{r})| = |-r+2| < 1$ . Also $0<r<1$ im ersten und $1<r<3$ im zweiten Fall.

Einschub Fixpunktlemma

Es gilt:

Theorem 1

Seien $f:\mathbb{D}\to\mathbb{W}$ mit $\mathbb{W}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}$ , sowie $x_0\in \mathbb{D}$ und $x_k=f(x_{k-1})\quad\forall k\in\mathbb{N}$ . Wenn die Iterationsfolge $<x_k>$ gegen $x_p$ konvergiert, dann ist $x_p$ ein Fixpunkt von $f$ .

Proof

Konvergiere $<x_k>$ gegen $x_p$ , d.h. $\lim_{k\to\infty}x_k = x_p$ , dann folgt

x_p = \lim_{k\to\infty}x_k = \lim_{k\to\infty}f(x_{k-1}) = f(x_p).

Die Umkehrung im Allgemeinen nicht.

Exercise 10: Gegenbeispiel

Finde ein Gegenbeispiel, in dem die Umkehrung nicht gilt.

Solution

Für $f(x) = 2x-1$ ist $x^*=1$ ein Fixpunkt, aber die Folge mit Startwert $x_0 = 1.1$ konvergiert nicht gegen $1$ .

Da wir uns aber für die Umkehrung - oder zumindest eine abgeschwächte Form davon - interessieren, sind wir etwas vorsichtig. Wir formulieren folgenden Satz.

Theorem 2

Sei $I\subset\mathbb{D}$ ein Intervall und $f$ habe in $I$ genau einen Fixpunkt $x_p$ . Ferner gebe es ein $M$ mit $0<M<1$ für das $|f'(x)| < M \quad \forall x\in I$ . Dann gilt für jede Iteration mit Startwert $x_0\in I$ :

Die Folge $\langle x_k\rangle$ konvergiert und der Grenzwert ist ihr Fixpunkt $x_p$ .

Proof

Der Beweis wurde bereits zu Beginn der Iterationen einmal illustiert.

Wenn wir uns für Startwerte $x_0$ interessieren, welche anziehend sind, für welchen Bereich lassen wir dann Startwerte zu, wenn wir den obigen Satz berücksichtigen?

Exercise 11: Attraktorbereich

Zeige, dass wir die Startwerte im Bereich $(\frac{r-1}{2r},\frac{r+1}{2r})$ haben wollen.

Solution

Die Bedingung $|f_r'(x)| < 1$ liefert mit Lösung durch Fallunterscheidung nach $x$ das "Attraktorintervall".

Attraktorwerte von $f_r$

Exercise 12: Plot Attraktoren

Bestätige, dass der Graph der attraktiven Fixpunkte der logistischen Funktion $f_r$ für die Parameterwerte $0<r<3$ wie folgt aussehen muss:

Wir haben also noch durch obigen Satz so was wie ein "sicheres" Attraktorintervall

I_r := \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2r},\frac{1}{2}+\frac{1}{2r}\right)

erhalten.

Betrachtet man für $0<r<1$ den attraktiven Fixpunkt $x_p=0$ , so konvergiert wegen $[0,1]\subset I_r$ die Iterationsfolge für jeden Startwert $x_0$ gegen $0$ . Die Population stirbt immer aus.

Erstaunlich, wie rasch diese Folgen jeweils gegen $0$ gehen!
Interessanter wird es jetzt für $1 < r < 3$ , da dort der Wert des Fixpunktes für jedes $r$ via $x_p = 1-\frac{1}{r}$ berechnet wird; also individuell ist. Ich beziehe mich auf das Beispiel $r = 1.4$ weiter oben, von dem wir bereits einen Plot zum Startwert $0.5$ haben. Für diesen Fall finden wir also den Fixpunkt bei $x_p=0.2857$ . Für das attraktive Startwertintervall rechnen wir $I_n = ( 0.14285714285714285 | 0.8571428571428572 )$ .

Zweimal sind wir ausserhalb des sicheren Attroktorbereichs gestartet, trotzdem sind wir beim Fixpunkt gelandet. Das bedeutet, dass sich vielleicht dieser Attraktorbereich noch weiter fassen lässt.

Was passiert für $r>3$ ?

Klar ist, dass für $r>3$ die beiden Fixpunkte nicht mehr attraktiv sind; sie sind aber natürlich nach wie vor "da". Wenn man oben die Walplots anschaut, so legt $\rho=0.98\cdot 10^{-4}$ den Verdacht nahe, dass Fixpunkte zweiter Ordnung existieren könnten. Daher lösen wir folgende

Exercise 13: Fixpunkte der Ordnung 2

Suche Fixpunkte zweiter Ordnung. Verwende Polynomdivision, um die Fixpunkte erster Ordnung aus der Bedingung "rauszudividieren" und so die "reinen" Fixpunkte der Ordnung $2$ zu erhalten.

Solution

Im Video Fixpunkte von $f_r$ der Periode 2 wird alles erläutert.

Wir kriegen also nebst $x_{p1} = 0$ und $x_{p2} = 1-\frac{1}{r}$ nun zusätzlich

x_{p3,p4} = \frac{(r+1)\pm\sqrt{(r+1)(r-3)}}{2r}

was die Frage aufwirft

Exercise 14: Stabile Fixpunkte der Ordnung 2

Gibt es einen Bereich für $r$ , in dem diese Fixpunkte der Ordnung $2$ stabil sind? Vermutlich ja, wenn man die folgenden Plots anschaut. Dabei habe ich mit den Startwerten $x_0$ gespielt.

Solution

Im Video Fixpunkte von $f_r$ der Periode 2 wird alles erläutert.

Exercise 15: Fixpunktwerte der Ordnung 2

Rechne die Fixpunkt-Werte nach.

Solution

Mit Polynomdivision dividiert man die Fixpunkte der ersten Ordnung raus und löst dann die übrig gebliebene quadratische Gleichung.

Exercise 16

Finde den Attraktivitätsbereich für $r$ für die Fixpunkte zweiter Ordnung.

Solution

Seien $x_3$ und $x_4$ Fixpunkte der Ordnung 2 von $f_r$ . Dann verwendet man am einfachsten die Beziehung $(f_r(f_r(x_3)))' = f'(x_3)\cdot f'(x_4)$ , die man leicht mit der Kettenregel einsieht. Es ist ein schönes Resultat von Nagashima/Baba aus dem Jahr 1999.

Es folgt damit dann, dass $x_3,x_4$ für $3 < r < 1+\sqrt{6}$ stabil sind.

Weitere Fixpunkte sind nicht mehr lustig zum Rechnen. Man stellt rasch fest, dass der Aufwand von Hand höhere Fixpunkte auszurechnen ins Astronomische steigt.

Note 1

Mit einer Induktion zeige man nun, dass analog zu oben dieselbe Aussage für Fixpunkte der Periode $k$ gilt. Das heisst:

Alle Fixpunkte eines $k$ Orbits haben dieselbe Steigung, werden also alle gleichzeitg stabil oder instabil.

(Von den Walen zur logistischen Funktion)

Die Logistische Funktion

Recap des Walpopulationsmodells

Analyse

Funktionenschreibweise

Die logistische Funktion

Fixpunkte von frf_r

Werte von r

0<r<1

Einschub Fixpunktlemma

Attraktorwerte von frf_r

Was passiert für r>3r>3?

Fixpunkte von $f_r$

Attraktorwerte von $f_r$

Was passiert für $r>3$ ?