Einheiten

Dies ist eine Repetition von Einheiten und deren Umwandlung. Jede physikalische Grösse besteht aus zwei Teilen:

Physikalische Gro¨sse=Zahlenwert Einheit\text{Physikalische\ Grösse} = \text{Zahlenwert}\, \text{Einheit}
Example 1
La¨nge=2.5  km\text{Länge} = \qty{2.5}{km}

Es ist aber mühsam, Grössen so zu schreiben:

La¨nge=0.000′000′005  m\text{Länge} = \qty{0.000'000'005}{m}

oder

Frequenz=3′000′000′000  Hz\text{Frequenz} = \qty{3'000'000'000}{Hz}

Es werden deshalb die schon bekannten Präfixe benutzt:

Präfix Symbol Bedeutung (als Zehnerpotenz)
Giga G 10910^9 (eine Milliarde)
Mega M 10610^6 (eine Million)
Kilo k 10310^3 (tausend)
(Basis) - 100=110^0 = 1
Zenti c 10−210^{-2} (ein Hundertstel)
Milli m 10−310^{-3} (ein Tausendstel)
Mikro μ\mu 10−610^{-6} (ein Millionstel)
Nano n 10−910^{-9} (ein Milliardstel)
Note 1

Der Buchstabe kk ist die Zahl 10310^3. Der Buchstabe nn ist die Zahl 10−910^{-9}. Buchstabe und Zahl sind also austauschbar. Wir können dann wie folgt argumentieren:

2  km\qty{2}{km} sind 22 mal 10001000 Meter, also 2  km=2⋅k  m\qty{2}{km}=\qty{2\cdot k}{m}

Dies gilt auch für die anderen Präfixe, zum Beispiel:

4.5  nm=4.5⋅n  m=4.5⋅10−9  m\qty{4.5}{nm}=\qty{4.5\cdot n}{m}=\qty{4.5\cdot 10^{-9}}{m}

Wie wandeln wir das folgende um: 3  m\qty{3}{m} in km\unit{km}?

3  m=3⋅kk  m=3⋅1k⋅k  m=3⋅1k  km=3⋅1103  km=3⋅10−3  km=0.003  km\begin{array}{lcl} \qty{3}{m} &=& \qty{3\cdot \frac{k}{k} }{m}\\[0.2em] &=&\qty{3\cdot \frac{1}{k}\cdot k }{m}\\[0.2em] &=&\qty{3\cdot \frac{1}{k} }{km}\\[0.2em] &=&\qty{3\cdot \frac{1}{10^3} }{km}\\[0.2em] &=&\qty{3\cdot 10^{-3} }{km}\\[0.2em] &=&\qty{0.003}{km} \end{array}

Und schlussendlich der schwierigste Fall. Wandle 7  nm\qty{7}{nm} in dm\unit{dm} um. Wir machen das am besten in zwei Schritten, zuerst in m\unit{m} umwandeln, dann von m\unit{m} in $\unit{dm}

7  nm=7⋅10−9  m=7⋅10−9⋅dd  m=7⋅10−9⋅1d  dm=7⋅10−9⋅110  dm=7⋅10−10  dm\begin{array}{lcl} \qty{7}{nm} &=& \qty{7\cdot 10^{-9} }{m}\\[0.2em] &=&\qty{7\cdot 10^{-9}\cdot \frac{d}{d} }{m}\\[0.2em] &=&\qty{7\cdot 10^{-9}\cdot \frac{1}{d} }{dm}\\[0.2em] &=&\qty{7\cdot 10^{-9}\cdot \frac{1}{10} }{dm}\\[0.2em] &=&\qty{7\cdot 10^{-10} }{dm}\\[0.2em] \end{array}
Exercise 1

  1. Wandle 0.4  MJ\qty{0.4}{MJ} (Megajoule) in J\unit{J} (Joule) um.

  2. Wandle 3  μg\qty{3}{\mu g} (Mikrogramm) in kg\unit{kg} um.

Solution
  1. 0.4  MJ=0.4×106  J=400′000  J\qty{0.4}{MJ} = \qty{0.4 \times 10^6}{J}=\qty{400'000}{J}
  2. Zuerst in g\unit{g}, dann in kg\unit{kg}: 3  μg=3⋅10−6  g=3⋅10−6⋅kk  g=3⋅10−6⋅1k  kg=3⋅10−6⋅1103  kg=3⋅10−9  kg\begin{array}{lcl} \qty{3}{\mu g}&=&\qty{3\cdot 10^{-6}}{g}\\ &=&\qty{3\cdot 10^{-6}\cdot \frac{k}{k}}{g}\\ &=&\qty{3\cdot 10^{-6}\cdot \frac{1}{k}}{kg}\\ &=&\qty{3\cdot 10^{-6}\cdot \frac{1}{10^3}}{kg}\\ &=&\qty{3\cdot 10^{-9}}{kg} \end{array}

Flächen und Volumen

Der Schlüssel zur korrektion Umwandlung von Flächeneinheiten und Volumeneinheiten beginnt damit, die Einheiten mit Klammern zu schreiben. Also 1  cm2\qty{1}{cm^2} (daher eine Fläche von 55 Quadratzentimeter) schreiben wir als

5  cm2=5  (cm)2\qty{5}{cm^2}= \qty{5}{(cm)^2}

oder 15  km3\qty{15}{km^3} (daher 17 Kubik-Kilometer) als

17  km3=17  (km)3\qty{17}{km^3}= \qty{17}{(km)^3}

Wollen wir nun 5  cm2\qty{5}{cm^2} in m2\unit{m^2} umwandeln wollen, können wir schreiben

5  cm2=5  (cm)2=5  c2m2=5⋅c2  m2=5⋅(10−2)2  m2=5⋅10−4  m2\qty{5}{cm^2} = \qty{5}{(cm)^2} = \qty{5}{c^2 m^2} = \qty{5\cdot c^2}{m^2} = \qty{5\cdot (10^{-2})^2}{m^2} = \qty{5\cdot 10^{-4}}{m^2}

Wollen wir das Volumen 17  km3\qty{17}{km^3} in m3\unit{m^3} umwandeln, schreiben wir analog

17  km3=17  (km)3=17  k3m3=17⋅k3  m3=17⋅(103)3  m2=17⋅109  m3\qty{17}{km^3} = \qty{17}{(km)^3} = \qty{17}{k^3 m^3} = \qty{17\cdot k^3}{m^3} = \qty{17\cdot (10^3)^3}{m^2} = \qty{17\cdot 10^9}{m^3}
Note 2

Die Einheit Liter (l\unit{l}) ist eine Volumeneinheit. Es gilt:

1  l=1  dm3\qty{1}{l}=\qty{1}{dm^3}

Dichte

Die Dichte gibt das Verhältnis von Masse zu Volumen eines Stoffes an:

Dichte=MasseVolumen\text{Dichte} = \frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}

Die Umrechnung von Dichten erfordert die Substitution im Zähler und im Nenner. Hier ist ein Beispiel:

Example 2

Wandle die Dichte 1  kgm3\qty{1}{\frac{kg}{m^3}} in gcm3\unit{\frac{g}{cm^3}} um.

1  kgm3=1  (103g)(102cm)3=1  103g106cm3=1⋅103106  gcm3=1⋅10−3  gcm3=0.001  gcm3\begin{array}{lcl} \qty{1}{\frac{kg}{m^3}}&=&\qty{1}{\frac{(10^3 g)}{(10^2 cm)^3}}\\[0.3em] &=&\qty{1}{\frac{10^3 g}{10^6 cm^3}}\\[0.3em] &=&\qty{1 \cdot \frac{10^3}{10^6}}{\frac{g}{cm^3}}\\[0.3em] &=&\qty{1 \cdot 10^{-3}}{\frac{g}{cm^3}}\\[0.3em] &=& \qty{0.001}{\frac{g}{cm^3}} \end{array}
Theorem 1

Wir sehen also: Um von kgm3\unit{\frac{kg}{m^3}} auf gcm3\unit{\frac{g}{cm^3}} umzuwandeln, rechne durch 10001000. Um von gcm3\unit{\frac{g}{cm^3}} auf kgm3\unit{\frac{kg}{m^3}} umzuwandeln, rechne mal 10001000.

Geschwindigkeit

Im Unterschied zu den obigen Einheiten hat eine Stunde nicht 1010 Minuten, und eine Minute hat nicht 1010 Sekunden, sondern

1  h=60  min1  min=60  s\begin{array}{lcl} \qty{1}{h} &=& \qty{60}{min}\\ \qty{1}{min} &=& \qty{60}{s} \end{array}

Also

1  h=3600  s\qty{1}{h} = \qty{3600}{s}

Die Geschwindigkeit gibt das Verhältnis von Zurückgelegter Strecke zur dafür gebrauchten Zeit an:

Geschwindigkeit=StreckeZeit\text{Geschwindigkeit} = \frac{\text{Strecke}}{\text{Zeit}}

Die Umrechnung von Geschwindigkeiten erfordert, wie bei Dichten, ebenfalls die Substitution im Zähler und im Nenner. Hier ist ein Beispiel:

Example 3

Wandle die Geschwindigkeit 90  kmh\qty{90}{\frac{km}{h}} in ms\unit{\frac{m}{s}} um. Wir haben

90  kmh=90  1000m3600s=90⋅10003600  ms=90⋅13.6  ms=25  ms\begin{array}{lcl} \qty{90}{\frac{km}{h}}&=&\qty{90}{\frac{1000m}{3600s}}\\[0.3em] &=&\qty{90\cdot \frac{1000}{3600}}{\frac{m}{s}}\\[0.3em] &=&\qty{90\cdot \frac{1}{3.6}}{\frac{m}{s}}\\[0.3em] &=& \qty{25}{\frac{m}{s}} \end{array}
Theorem 2

Wir sehen also: Um von kmh\unit{\frac{km}{h}} auf ms\unit{\frac{m}{s}} umzuwandeln, rechne durch 3.63.6. Um von ms\unit{\frac{m}{s}} auf kmh\unit{\frac{km}{h}} umzuwandeln, rechne mal 3.63.6

Exercise 2

  1. 3.5  km\qty{3.5}{km} in m\unit{m}

  2. 250  g\qty{250}{g} in kg\unit{kg}

  3. 12  ms\qty{12}{ms} (Millisekunden) in s\unit{s}

  4. 500  mg\qty{500}{mg} (Milligramm) in kg\unit{kg}

  5. 5  cm2\qty{5}{cm^2} in m2\unit{m^2}

  6. 2  L\qty{2}{L} (Liter) in m3\unit{m^3}

  7. 120  km/h\qty{120}{km/h} in m/s\unit{m/s}

  8. 0.4  m\qty{0.4}{m} in μm\unit{\mu m} (Mikrometer)

  9. 0.05  m3\qty{0.05}{m^3} in cm3\unit{cm^3}

  10. 7.8  g/cm3\qty{7.8}{g/cm^3} (Dichte von Eisen) in kg/m3\unit{kg/m^3}

  11. 4.7  GB\qty{4.7}{GB} (Gigabyte) in MB\unit{MB} (Megabyte)

  12. 20  m/s\qty{20}{m/s} in km/h\unit{km/h}

  13. 0.2  km2\qty{0.2}{km^2} in m2\unit{m^2}

  14. 250  mL\qty{250}{mL} (Milliliter) in L\unit{L}

  15. 1000000  mm3\qty{1000000}{mm^3} in L\unit{L} (Anspruchsvoll!)

Solution
  1. 3.5  km=3.5⋅(103)m=3500  m\qty{3.5}{km} = 3.5 \cdot (10^3) \unit{m} = \qty{3500}{m}
  2. 250  g=250⋅10−3kg=0.25  kg\qty{250}{g} = 250 \cdot 10^{-3} \unit{kg} = \qty{0.25}{kg}
  3. 12  ms=12⋅10−3s=0.012  s\qty{12}{ms} = 12 \cdot 10^{-3} \unit{s} = \qty{0.012}{s}
  4. 500  mg=500⋅(10−3)g=0.5  g\qty{500}{mg} = 500 \cdot (10^{-3}) \unit{g} = \qty{0.5}{g}. Und 0.5  g=0.5⋅(10−3)kg=5⋅10−4  kg\qty{0.5}{g} = 0.5 \cdot (10^{-3}) \unit{kg} = \qty{5 \cdot 10^{-4}}{kg}
  5. 5  cm2=5(cm)2=5⋅(10−2m)2=5⋅10−4m2=5⋅10−4  m2\qty{5}{cm^2} = 5 (\unit{cm})^2 = 5 \cdot (10^{-2} \unit{m})^2 = 5 \cdot 10^{-4} \unit{m^2} = \qty{5 \cdot 10^{-4}}{m^2}
  6. 2  L=2  dm3=2(dm)3=2⋅(10−1m)3=2⋅10−3m3=2⋅10−3  m3\qty{2}{L} = \qty{2}{dm^3} = 2 (\unit{dm})^3 = 2 \cdot (10^{-1} \unit{m})^3 = 2 \cdot 10^{-3} \unit{m^3} = \qty{2 \cdot 10^{-3}}{m^3}
  7. 120  km/h=1201000  m3600  s=1203.6m/s≈33.33  m/s\qty{120}{km/h} = 120 \frac{\qty{1000}{m}}{\qty{3600}{s}} = \frac{120}{3.6} \unit{m/s} \approx \qty{33.33}{m/s} (oder 1003m/s\frac{100}{3} \unit{m/s})
  8. 4⋅105  μm\qty{4 \cdot 10^5}{\mu m}.
  9. 50000  cm3\qty{50000}{cm^3} (oder 5⋅104  cm3\qty{5 \cdot 10^4}{cm^3}).
  10. 7.8  g/cm3=7.810−3  kg(10−2  m)3=7.810−3  kg10−6  m3=7.8⋅103kg/m3=7800  kg/m3\qty{7.8}{g/cm^3} = 7.8 \frac{\qty{10^{-3}}{kg}}{(\qty{10^{-2}}{m})^3} = 7.8 \frac{\qty{10^{-3}}{kg}}{\qty{10^{-6}}{m^3}} = 7.8 \cdot 10^3 \unit{kg/m^3} = \qty{7800}{kg/m^3}
  11. 4700  MB\qty{4700}{MB}.
  12. 20  m/s=201/1000km1/3600h=20⋅36001000km/h=20⋅3.6km/h=72  km/h\qty{20}{m/s} = 20 \frac{1/1000 \unit{km}}{1/3600 \unit{h}} = 20 \cdot \frac{3600}{1000} \unit{km/h} = 20 \cdot 3.6 \unit{km/h} = \qty{72}{km/h}
  13. 0.2  km2=0.2(km)2=0.2⋅(103m)2=0.2⋅106m2=200000  m2\qty{0.2}{km^2} = 0.2 (\unit{km})^2 = 0.2 \cdot (10^3 \unit{m})^2 = 0.2 \cdot 10^6 \unit{m^2} = \qty{200000}{m^2} (oder 2⋅105  m2\qty{2 \cdot 10^5}{m^2})
  14. 250  mL=250⋅(10−3)L=0.25  L\qty{250}{mL} = 250 \cdot (10^{-3}) \unit{L} = \qty{0.25}{L}
  15. 1000000  mm3=106(mm)3=106⋅(10−3m)3=106⋅10−9m3=10−3  m3\qty{1000000}{mm^3} = 10^6 (\unit{mm})^3 = 10^6 \cdot (10^{-3} \unit{m})^3 = 10^6 \cdot 10^{-9} \unit{m^3} = \qty{10^{-3}}{m^3}. Wir wissen: 1  L=1  dm3=(10−1m)3=10−3  m3\qty{1}{L} = \qty{1}{dm^3} = (10^{-1} \unit{m})^3 = \qty{10^{-3}}{m^3}. Lösung: 1  L\qty{1}{L}.
Exercise 3

Mache die Umwandlung im Kopf:

  1. 1  km\qty{1}{km} in m\unit{m}

  2. 1  m\qty{1}{m} in cm\unit{cm}

  3. 1  cm\qty{1}{cm} in mm\unit{mm}

  4. 1  m\qty{1}{m} in mm\unit{mm}

  5. 3  kg\qty{3}{kg} in g\unit{g}

  6. 7000  g\qty{7000}{g} in kg\unit{kg}

  7. 500  cm\qty{500}{cm} in m\unit{m}

  8. 2  L\qty{2}{L} (Liter) in mL\unit{mL} (Milliliter)

  9. 4000  mL\qty{4000}{mL} in L\unit{L}

  10. 0.5  kg\qty{0.5}{kg} in g\unit{g}

  11. 0.1  m\qty{0.1}{m} in cm\unit{cm}

  12. 1  m2\qty{1}{m^2} in cm2\unit{cm^2}

  13. 1  km2\qty{1}{km^2} in m2\unit{m^2} (Nur die Zehnerpotenz)

  14. 1  L\qty{1}{L} in cm3\unit{cm^3} (Tipp: 1 L=1 dm31 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3)

  15. 1  m3\qty{1}{m^3} in L\unit{L}

  16. 36  km/h\qty{36}{km/h} in m/s\unit{m/s}

  17. 10  m/s\qty{10}{m/s} in km/h\unit{km/h}

  18. 1  km\qty{1}{km} in cm\unit{cm}

  19. 2  m\qty{2}{m} in mm\unit{mm}

  20. 1  m3\qty{1}{m^3} in cm3\unit{cm^3} (Nur die Zehnerpotenz)

Solution
  • 1000  m\qty{1000}{m} (kilo = 10310^3)
  • 100  cm\qty{100}{cm} (centi = 10−210^{-2}, also 1m=1/10−2cm=100cm1 \unit{m} = 1 / 10^{-2} \unit{cm} = 100 \unit{cm})
  • 10  mm\qty{10}{mm} (centi = 10−210^{-2}, milli = 10−310^{-3}. Faktor 10110^1)
  • 1000  mm\qty{1000}{mm} (milli = 10−310^{-3}, also 1m=1/10−3mm=1000mm1 \unit{m} = 1 / 10^{-3} \unit{mm} = 1000 \unit{mm})
  • 3000  g\qty{3000}{g} (kilo = 10310^3)
  • 7  kg\qty{7}{kg} (kilo = 10310^3, also 7⋅103g=7kg7 \cdot 10^3 \unit{g} = 7 \unit{kg})
  • 5  m\qty{5}{m} (centi = 10−210^{-2}, also 500⋅10−2m=5m500 \cdot 10^{-2} \unit{m} = 5 \unit{m})
  • 2000  mL\qty{2000}{mL} (milli = 10−310^{-3}, also 1L=1000mL1 \unit{L} = 1000 \unit{mL})
  • 4  L\qty{4}{L} (milli = 10−310^{-3}, also 4000⋅10−3L=4L4000 \cdot 10^{-3} \unit{L} = 4 \unit{L})
  • 500  g\qty{500}{g} (kilo = 10310^3, also 0.5⋅103g=500g0.5 \cdot 10^3 \unit{g} = 500 \unit{g})
  • 10  cm\qty{10}{cm} (centi = 10−210^{-2}, also 0.1/10−2cm=0.1⋅100cm=10cm0.1 / 10^{-2} \unit{cm} = 0.1 \cdot 100 \unit{cm} = 10 \unit{cm})
  • 10000  cm2\qty{10000}{cm^2} ((102  cm)2=104cm2(\qty{10^2}{cm})^2 = 10^4 \unit{cm^2})
  • 106m210^6 \unit{m^2} ((103  m)2=106m2(\qty{10^3}{m})^2 = 10^6 \unit{m^2})
  • 1000  cm3\qty{1000}{cm^3} (1  dm3=(10  cm)3=1000cm3\qty{1}{dm^3} = (\qty{10}{cm})^3 = 1000 \unit{cm^3})
  • 1000  L\qty{1000}{L} (1  m3=(10  dm)3=1000dm3=1000L\qty{1}{m^3} = (\qty{10}{dm})^3 = 1000 \unit{dm^3} = 1000 \unit{L})
  • 10  m/s\qty{10}{m/s} (Faktor 3.63.6: 36/3.6=1036 / 3.6 = 10)
  • 36  km/h\qty{36}{km/h} (Faktor 3.63.6: 10⋅3.6=3610 \cdot 3.6 = 36)
  • 100000  cm\qty{100000}{cm} (1  km=103m\qty{1}{km} = 10^3 \unit{m} und 1  m=102cm\qty{1}{m} = 10^2 \unit{cm}. Also 103⋅102=10510^3 \cdot 10^2 = 10^5)
  • 2000  mm\qty{2000}{mm} (1  m=1000mm\qty{1}{m} = 1000 \unit{mm})
  • 106cm310^6 \unit{cm^3} (1  m3=(102  cm)3=(102)3cm3=106cm3\qty{1}{m^3} = (\qty{10^2}{cm})^3 = (10^2)^3 \unit{cm^3} = 10^6 \unit{cm^3})