Wissenschaftliche Notation

Häufig treten in alltäglichen oder wissenschaftlichen Kontexten, zum Beispiel in Physik, Biologie oder Chemie, grosse oder kleine Zahlen auf. Potenzen können dazu verwendet werden um sehr grosse oder sehr kleine Zahlen kurz und übersichtlich zu notieren. Zwei wichtige Beispiele für solche Zahlen sind folgend aufgeführt.

150′000′000 km150'000'000\,\mathrm{km} 0.000 000 000 1 m0.000\,000\,000\,1\,\mathrm{m}

Es sollte klar sein, dass das Schreiben so grosser oder kleiner Zahlen mit so vielen Nullen schwer zu lesen ist. Es ist zum Beispiel sehr leicht, eine Null zu übersehen. Hier kommen Zehnerpotenzen ("Zehnerpotenzen") ins Spiel. Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 1010, also 10n10^n, wobei nn eine ganze Zahl ist. Auch diese Potenzen haben viele Nullen, z.B.

104=10000103=1000102=100101=10100=110−1=0.110−2=0.0110−3=0.00110−4=0.000110100=10...0⏟10010−100=0.0...0⏟991\begin{array}{lll} 10^4 = & 10000\\ 10^3 = & 1000\\ 10^2 = & 100\\ 10^1 = & 10\\ \mathbf{10^0 =} & \mathbf{1}\\ 10^{-1} = & 0.1\\ 10^{-2} = & 0.01\\ 10^{-3} = & 0.001\\ 10^{-4} = & 0.0001\\ &\\ 10^{100}= & 1\underbrace{0...0}_{100}\\ 10^{-100}= & 0.\underbrace{0...0}_{99}1 \end{array}

Ich empfehle zu den jeweiligen Zehnerpotenzen auch die entsprechenden Präfixe und Abkürzungen, vielleicht mit einer Tabelle, zu lernen. Die Zehnerpotenzen gehören zu einer umfassenden Allgemeinbildung, da sie uns im Alltag begegnen.

Potenz Dezimalzahl Name SI-Präfix Symbol
101510^{15} 1 000 000 000 000 000 1 Billiarde Peta- P
101210^{12} 1 000 000 000 000 1 Billion Tera- T
101110^{11} 100 000 000 000
101010^{10} 10 000 000 000
10910^{9} 1 000 000 000 1 Milliarde Giga- G
10810^{8} 100 000 000
10710^{7} 10 000 000
10610^{6} 1 000 000 1 Million Mega- M
10510^{5} 100 000
10410^{4} 10 000
10310^{3} 1 000 1 Tausend Kilo- k
10210^{2} 100 Hekto- h
10110^{1} 10 Deka- d
10010^{0} 1
10−110^{-1} 0.1 Dezi- d
10−210^{-2} 0.01 Centi- c
10−310^{-3} 0.001 1 Tausendstel Milli- m
10−410^{-4} 0.0001
10−510^{-5} 0.00001
10−610^{-6} 0.000001 1 Millionstel Mikro- μ
10−710^{-7} 0.0000001
10−810^{-8} 0.00000001
10−910^{-9} 0.000000001 1 Milliardstel Nano- n
10−1010^{-10} 0.0000000001
10−1110^{-11} 0.00000000001
10−1210^{-12} 0.000000000001 1 Billionstel Piko- p
10−1510^{-15} 0.000000000000001 1 Billiardstel Femto f

Wissenschaftliche Notation

Wir können nun grosse oder kleine Zahlen viel kompakter und übersichtlicher schreiben, in dem wir die wissenschaftliche Notation benutzen.

Definition 1

Die wissenschaftliche Notation einer Zahl hat die Form

c⋅10nc\cdot 10^n

oder

c⋅10−nc\cdot 10^{-n}

wobei der Koeffizient cc eine reelle Zahl zwischen 11 und 1010 ist (genauer: c∈[1,10[)c\in [1,10[)) und n∈0,1,2,...n\in {0,1,2,...}.

Um die wissenschafltiche Notation einer Zahl zu finden, beachte, dass nn angibt, um wie viele Schritte man den Dezimalpunkt nach links oder rechts verschieben muss. Zum Beispiel,

24000.0=2400.00⋅101 (step 1)=240.000⋅102 (step 2)=24.0000⋅103 (step 3)=2.40000⋅104 (step 4)=2.4⋅1040.00024=00.0024⋅10−1 (step 1)=000.024⋅10−2 (step 2)=0000.24⋅10−3 (step 3)=00002.4⋅10−4 (step 4)=2.4⋅10−4\begin{array}{lll} 24000\mathbf{.}0 & = & 2400\mathbf{.}00\cdot 10^1 \text{ (step 1)}\\ & = & 240\mathbf{.}000 \cdot 10^2 \text{ (step 2)}\\ & = & 24\mathbf{.}0000 \cdot 10^3 \text{ (step 3)}\\ & = & 2\mathbf{.}40000 \cdot 10^4 \text{ (step 4)}\\ & = & 2\mathbf{.}4 \cdot 10^4 &\\ 0\mathbf{.}00024 &= & 00\mathbf{.}0024\cdot 10^{-1} \text{ (step 1)}\\ &= & 000\mathbf{.}024 \cdot 10^{-2} \text{ (step 2)}\\ &= & 0000\mathbf{.}24 \cdot 10^{-3} \text{ (step 3)}\\ &= & 00002\mathbf{.}4 \cdot 10^{-4} \text{ (step 4)}\\ &= & 2\mathbf{.}4 \cdot 10^{-4}\\ \end{array}
Example 1
  • Abstand Erde-Sonne: 150′000′000 km=1.5⋅108 km150'000'000\,\mathrm{km}=1.5\cdot10^8\,\mathrm{km}
  • Durchmesser eines Atoms: 0.000 000 000 1 m=1⋅10−10 m0.000\,000\,000\,1\,\mathrm{m}=1\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}
  • 92′300=9.23⋅10492'300=9.23\cdot10^4
  • 0.0032=3.2⋅10−30.0032=3.2\cdot10^{-3}
Exercise 1

Schreibe die Zahlen aus:

a) 2.52⋅1052.52\cdot10^{5}

b) 6.52⋅1076.52\cdot10^{7}

c) 5.555⋅10125.555\cdot10^{12}

d) 4.15⋅1094.15\cdot10^{9}

e) 4.31⋅1094.31\cdot10^{9}

f) 3.11⋅1033.11\cdot10^{3}

g) 1.23⋅1061.23\cdot10^{6}

h) 6.22⋅1046.22\cdot10^{4}

Solution

a) 252 000252\,000

b) 65 200 00065\,200\,000

c) 5 555 000 000 0005\,555\,000\,000\,000

d) 4 150 000 0004\,150\,000\,000

e) 4 310 000 0004\,310\,000\,000

f) 31103110

g) 1 230 0001\,230\,000

h) 62 20062\,200

Exercise 2

Schreibe in wissenschaftlicher Darstellung:

a) 99′000′00099'000'000

b) 4′180′000′0004'180'000'000

c) 48′500′00048'500'000

d) 0.000 008 210.000\,008\,21

e) 92′40092'400

f) 0.000 0160.000\,016

g) 190′300190'300

h) 2′3402'340

i) 1′350′0001'350'000

j) 0.000 000 000 1010.000\,000\,000\,101

k) 0.000 000 0770.000\,000\,077

Solution

a) 9.9⋅1079.9\cdot10^7

b) 4.18⋅1094.18\cdot10^9

c) 4.85⋅1074.85\cdot10^7

d) 8.21⋅10−68.21\cdot10^{-6}

e) 9.2400⋅1049.2400\cdot10^4

f) 1.6⋅10−51.6\cdot10^{-5}

g) 1.903⋅1051.903\cdot10^5

h) 2.34⋅1032.34\cdot10^3

i) 1.35⋅1061.35\cdot10^6

j) 1.01⋅10−101.01\cdot10^{-10}

k) 7.7⋅10−87.7\cdot10^{-8}

Exercise 3: 🧩

Wie viele Heliumkerne haben in einem Heliumatom (mit Elektronenhülle) Platz?

Solution

Der Radius eines Heliumskerns beträgt rK≈0.0000000017 μm=1.7⋅10−15 mr_K\approx0.0000000017\,\mu\text{m}= 1.7\cdot10^{-15}\,\text{m} und der eines Atoms rHe≈0.000031 μm=3.1⋅10−11 mr_{\text{He}}\approx0.000031\,\mu\text{m}=3.1\cdot10^{-11}\,\text{m}. Das Volumen einer Kugel berechnet sich via

VK=43πr3.V_K=\frac{4}{3}\pi r^3.

Wir berechnen das Verhältnis

VHeVK=rHe3rK3≈6′000′000′000′000=6⋅1012.\frac{V_{\text{He}}}{V_K}=\frac{r_\text{He}^3}{r_K^3}\approx6'000'000'000'000=6\cdot10^{12}.

Also haben im Heliumatom gute 66 Billionen Kerne Platz!