Die quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

ax2+bx+c=0\boxed{ax^2+bx+c=0}

wobei a,ba, b und cc Koeffizienten genannt werden, und reelle Zahlen sind. In der Tat benötigen wir auch a≠0a\neq 0, denn für a=0a=0 erhalten wir eine lineare Gleichung: bx+c=0bx+c=0. Daran ist nichts falsch, wir nennen es nur nicht mehr quadratische Gleichung, sondern lineare Gleichung. Wenn hingegen bb oder cc Null sind, erhalten wir immer noch eine quadratische Gleichung (ax2+bx=0ax^2+bx=0 oder ax2+c=0ax^2+c=0).

Die Bestimmung der Koeffizienten einer quadratischen Gleichung wird sich später als wichtig erweisen, deshalb wollen wir sie etwas genauer besprechen. Beachte drei Punkte:

  1. Wie oben gezeigt, verwenden wir die Konvention, dass aa den x2x^2-Term multipliziert, bb den xx-Term, und cc der konstante Term ist. Zum Beispiel für die quadratische Gleichung 4x+3+2x2=04x+3+2x^2=0 haben wir a=2,b=4a=2, b=4, und c=3c=3. Und für die quadratische Gleichung −2x2−4x−3=0-2x^2-4x-3=0 lauten die Koeffizienten a=−2,b=−4a=-2, b=-4 und c=−3c=-3.
  2. Wichtig! Um die Koeffizienten a,ba, b und cc zu bestimmen, müssen wir zunächst alle x2x^2-Terme, alle xx-Terme und alle Konstanten sammeln und auf eine Seite der Gleichung bringen, so dass auf der anderen Seite der Gleichung 00 steht. Zum Beispiel, um die Koeffizienten der quadratischen Gleichung zu finden 2x2−5x+3−x−4=5−x2+10x−2.5+12x^2-5x+3-x-4=5-x^2+10x-2.5+1 schreiben wir zunächst 3x2−16x−4.5=03x^2-16x-4.5=0 und so sehen wir, dass a=3,b=−16a=3, b=-16 und c=−4.5c=-4.5. Diese letzte Form, ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, nennt man die Normalform (oder Standardform) der quadratischen Gleichung. Später werden wir eine weitere nützliche Form kennenlernen, die sogenannte Scheitelpunktform.
  3. Ein Koeffizient von a=1a=1 oder b=1b=1 oder b=0b=0 oder c=0c=0 wird normalerweise weggelassen. Z.B. x2+x=0→a=1,b=1,c=0x^2+x=0 \rightarrow a=1, b=1, c=0 oder −x2=0→a=−1,b=0,c=0-x^2=0 \rightarrow a=-1, b=0, c=0
Exercise 1

Bestimme, ob die folgenden Gleichungen quadratische Gleichungen sind. Wenn ja, bringe sie in die Normalform und bestimme die Koeffizienten aa, bb und cc. Die Gleichungen müssen nicht gelöst werden (wir wissen oftmals noch nicht wie).

  1. 2x2−3x−3=02x^2-3x-3=0

  2. x+2=0x+2=0

  3. 3x2+x+3−5x+2=03x^2+x+3-5x+2=0

  4. (x−2)2=−4(x-2)^2=-4

  5. x(x+2)=0x(x+2)=0

  6. (x+3)(x−1)=2x2−4x+10(x+3)(x-1)=2x^2-4x+10

  7. (2x+1)(3x−4)=4(2x+1)(3x-4)=4

  8. x4(1−2x2)=3x^4(1-\frac{2}{x^2})=3

  9. x−x2+1=0\sqrt{x}-x^2+1=0

  10. 3x(1−x)=1−x3x(1-x)=1-x

  11. (3x−1)2=4(3x-1)^2=4

  12. −x2+3=0-x^2+3=0

  13. −x2=x-x^2=x

Solution
  1. ja, 2x2−3x−3=0→a=2,b=−3,c=−32x^2-3x-3=0 \rightarrow a=2, b=-3, c=-3
  2. nein, linear.
  3. ja, 3x2−4x+5=0→a=3,b=−4,c=53x^2-4x+5=0 \rightarrow a=3, b=-4, c=5
  4. ja, x2−4x+8=0→a=1,b=−4,c=8x^2-4x+8=0 \rightarrow a=1, b=-4, c=8
  5. ja, x2+2x=0→a=1,b=2,c=0x^2+2x=0 \rightarrow a=1, b=2, c=0
  6. ja, x2+2x−3=2x2−4x+10→−x2+6x−13=0→a=−1,b=6,c=−13x^2+2x-3=2x^2-4x+10 \rightarrow -x^2+6x-13=0 \rightarrow a=-1, b=6, c=-13
  7. ja, 6x2−5x−8=0→a=6,b=−5,c=−86x^2 -5x-8=0 \rightarrow a=6, b=-5, c=-8
  8. nein
  9. nein
  10. ja, −3x2+4x−1=0→a=−3,b=4,c=−1-3x^2+4x -1= 0 \rightarrow a=-3, b=4, c=-1
  11. ja, 9x2−6x−3=0→a=9,b=−6,c=−39x^2-6x-3=0 \rightarrow a=9, b=-6, c=-3
  12. ja, −x2+3=0→a=−1,b=0,c=3-x^2+3=0 \rightarrow a=-1, b=0, c=3
  13. ja, −x2−x=0→a=−1,b=−1,c=0-x^2-x=0 \rightarrow a=-1, b=-1, c=0

Wie löst man also quadratische Gleichungen? Im Allgemeinen ist das schwierig. Betrachten wir zum Beispiel diese Gleichung:

x2−2x−1=0x^2-2x-1=0

Wir können versuchen, x2x^2 auf die linke Seite und alles andere auf die rechte Seite zu schieben, und dann die Wurzel ziehen:

x2−2x−1=0∣−2x,+1x2=2x+1∣xx=±2x+1\begin{array}{llll} x^2-2x-1&=&0 & | -2x, +1\\ x^2&=& 2x+1 & | \sqrt{\phantom{x}}\\ x&=&\pm \sqrt{2x+1} \end{array}

Aber das hilft nicht wirklich, einen Wert für xx zu finden, weil xx immer noch auf beiden Seiten der Gleichung steht. Wir brauchen also eine neue Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen. Wir werden zwei solcher Methoden kennen lernen. Doch bevor wir diese in den nächsten Abschnitten besprechen, wollen wir zum Abschluss dieses Abschnitts noch einmal wiederholen, wie man bestimmte Typen von quadratischen Gleichungen löst (siehe auch Kapitel 16, wo wir das besprochen haben):

Exercise 2

Löse die quadratischen Gleichungen. Bestimme auch a,ba, b and cc.

  1. 4x2−1=04x^2-1=0

  2. (x−2)(2x+1)=0(x-2)(2x+1)=0

Solution

  1. Die Koeffizienten sind a=4,b=0a=4, b=0 und c=−1c=-1. Die Lösung ist:

    4x2−1=0∣+1,:4x2=14∣xx1,2=±12\begin{array}{rlll} 4x^2-1&=&0&\quad | +1, :4\\ x^2&=& \frac{1}{4}& \quad| \sqrt{\phantom{x}}\\ x_{1,2}&=&\pm \frac{1}{2} \end{array}

  2. Multipliziere aus, um die Koeffizienten zu finden:

    (x−2)(2x+1)=2x2+x−4x−2=2x2−3x−2(x-2)(2x+1)=2x^2+x-4x-2=2x^2-3x-2

    Und somit erhalten wir a=2,b=−3a=2, b=-3 and c=−2c=-2.

    Die Gleichung

    (x−2)(2x+1)=0(x-2)(2x+1)=0

    kann durch die Beobachtung gelöst werden, dass der erste oder zweite Faktor 00 betragen muss

    x−2=0x-2=0

    und

    2x+1=02x+1=0

    Es folgt x1=2x_1=2 und x2=−12x_2=-\frac{1}{2}.