Das Dreieck von Pascal

Das Pascalsche Dreieck hat viele Anwendungen. Hier besprechen wir nur einige Aspekte davon. Beginnen wir mit einem bekannten Problem:

Wie steht es mit $(x+y)^4$ oder sogar $(x+y)^{10}$. Die Berechnungen werden länger und länger. Es gibt jedoch eine Abkürzung, die das Pascalsche Dreieck bietet. Betrachten wir zuerst die Konstruktionsweise dieses Dreiecks (siehe Abbildung unten):

An der Spitze des Dreiecks steht eine $1$, und jede Reihe beginnt und endet ebenfalls mit einer $1$. In Reihe 2 erhält man die mittlere Zahl durch Addition der beiden oberen Zahlen, die mit ihr verbunden sind, also $1+1=2$. Das Gleiche gilt für jede andere Reihe. Auf diese Weise können wir das Dreieck mit Zahlen füllen, während wir uns Zeile für Zeile nach unten bewegen.

Das Pascalsche Dreieck enthält viele interessante Zahlenmuster. Kannst du einige von ihnen erkennen? Siehe dazu auch die folgende Übung:

Exercise 2

Wo sind diese Zahlenmuster im Pascalschen Dreieck zu finden?

Kehren wir zum ursprünglichen Problem zurück, so stellen wir fest, dass die Zahlen in Zeile $2$ im Dreieck die Koeffizienten der Expansion von $(x+y)^2$ sind, und die Zahlen in Zeile drei sind die Koeffizienten der Expansion von $(x+y)^3$:

Die Koeffizienten von $(x+y)^4$ sind in der vierten Zeile zu finden:

Beachte auch, wie sich die Exponenten verändern:

oder vereinfacht

Die höchste Potenz ist $4$, und $x$ verringert seine Potenz um $1$ und $y$ erhöht die Potenz um $1$, wenn wir uns von rechts nach links bewegen.

Um das Muster etwas besser zu verstehen, können wir die Linien mit $x$ und $y$ beschriften. Die Bewegung entlang eines Pfades entspricht der Multiplikation der Variablen, die wir auf dem Weg treffen: