Zufallsexperimente

Die Natur scheint Prozesse, Verfahren oder Experimente zuzulassen, deren Endergebnis nicht mit absoluter Sicherheit vorhergesagt werden kann. Der Zweig der Mathematik, der diese Ungewissheit und Zufälligkeit untersucht und modelliert, heiss Wahrscheinlichkeitstheorie oder etwas allgemeiner, Stochastik (griechisch für "die Kunst des Vorhersehen"). Die Wahrscheinlichkeitstheorie beruht auf der grundlegenden Beobachtung, dass das Ergebnis eines Experiments zwar ungewiss sein kann, dass es aber dennoch möglich ist, langfristig (d. h. durch viele Wiederholungen des Experiments) Aussagen über die Häufigkeit seines Auftretens zu machen.

Ein wichtiges Teilgebiet der Stochastik ist die Statistik. Da Daten oft unsicher sind (z. B. Messfehler oder unvollständige Erhebungen), sind alle Interpretationen und Schlussfolgerungen, die auf einem Datensatz basieren, nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit gültig. Die Wahrscheinlichkeitstheorie hilft, diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

Wir beginnen mit dem Begriff des Zufallsexperiments.

Definition 1

Ein Zufallsexperiment ist ein Verfahren oder ein Prozess, den wir unter denselben Bedingungen beliebig oft wiederholen können. Darüber hinaus hat das Experiment mindestens zwei mögliche Ergebnisse. Jedes Mal, wenn wir das Experiment durchführen, wird exakt eines dieser möglichen Ergebnisse eintreten. Obwohl das Experiment unter den gleichen Bedingungen durchgeführt wird, ist es nicht möglich vorherzusagen, welches dieser Ergebnisse eintreten wird, bis das Experiment beendet ist.

Example 1

  1. Werfen einer Münze

    Der Münzwurf hat zwei Ergebnisse, die wir Zahl (ZZ) oder Kopf (KK) nennen. Wie wir aus Erfahrung wissen, ist es nicht möglich, vorherzusagen, welches Ergebnis eintreten wird.

    Beachte, dass es prinzipiell auch möglich ist, dass die Münze auf dem Rand landet. Manchmal werden wir diese Möglichkeit in Betracht ziehen, aber nur, wenn sie ausdrücklich erwähnt wird. Im allgemeinen vernachlässigen wird diese Möglichkeit, da sie sehr, sehr selten eintreten wird.

  1. Einen Würfel werfen

Die möglichen Ergebnisse sind die Zahlen von 11 bis 66. Wir verwenden auch Würfel mit mehr oder weniger als 66 Seiten.

  1. Zufallsauswahl

Es sei ein Korb mit Gegenständen gegeben (z. B. Bälle in verschiedenen Farben). Wenn wir sagen, dass wir einen Gegenstand zufällig auswählen, meinen wir, dass wir blind einen Gegenstand aus dem Beutel auswählen, so dass jeder Gegenstand die gleiche Chance hat, ausgewählt zu werden (was genau damit gemeint ist, müssen wir noch spezifizieren).

Zufallsselektionen werden oft bei Umfragen angewandt. Das Ziel ist es, eine Untergruppe von Personen aus einer grösseren Gruppe zufällig auszuwählen, um eine Voreingenommenheit zu vermeiden. Dieses Konzept wird relevant werden, wenn wir über Statistik sprechen. Aber wir sehen schon jetzt eine erste Verbindung zwischen Wahrscheinlichkeit und Statistik.

Beachte, dass es ist nicht unbedingt klar ist, dass ein Münzwurf unter exakt denselben Bedingungen wiederholt werden kann. Der Luftdruck könnte sich ändern, oder ich benutze nicht die exakt gleiche Handbewegung zum Werfen, und so weiter. Das gilt eigentlich für alle Experimente, die wir in diesem Kurs betrachten. Der Einfachheit halber gehen wir aber davon aus, dass all diese kleinen Änderungen nur einen vernachlässigbaren Einfluss auf das Ergebnis des Experiments haben, so dass wir davon ausgehen können, dass eine genaue Wiederholbarkeit möglich ist. Siehe zu diesem Thema auch den Abschnitt "Ein tieferer Blick auf die Zufälligkeit".

Oft führen wir mehrere Zufallsexperimente nacheinander durch und wollen mehr über das Ergebnis all dieser Experimente wissen. Ein typisches Beispiel ist das dreimalige Werfen einer Münze, und wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass jedes Mal ZZ eintritt. Oder wir werfen erst eine Münze und dann einen Würfel und wollen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir ZZ gefolgt von einer 66 beobachten. Diese Art von Experimenten hat einen Namen:

Definition 2

Ein Zufallsexperiment, das aus einer Kette von weiteren Zufallsexperimenten besteht, wird als mehrstufiges Zufallsexperiment bezeichnet.

Example 2
  • das dreimalige Werfen einer Münze ist ein 33-stufiges Zufallsexperiment
  • das Werfen einer Münze mit anschliessendem Würfeln ist ein 22-stufiges Zufallsexperiment
  • die zufällige Auswahl von 77 Bällen aus einem Korb mit Bällen ist ein 77-stufiges Zufallsexperiment
Exercise 1

  1. Fast alle Experimente lassen sich als Werfen einer Münze, Würfeln oder zufällige Auswahl aus einem Korb darstellen. Wir können sogar noch weiter gehen, und den Münzwurf oder würfeln als ein Auswahlproblem betrachtet werden. Inwiefern?

  2. Drücke "dreimal würfeln" als ein 33-stufiges Zufallsauswahlproblem aus.

Solution
  1. Ein Korb enthält 66 Kugeln, die von 11 bis 66 beschriftet sind. Die zufällige Auswahl einer Kugel ist dasselbe wie das Würfeln (für den Münzwurf nehmen wir einfach zwei Kugeln).
  2. Der Korb enthalte die Kugeln beschriftet von 11 bis 66. Wähle zufällig eine Kugel aus dem Korb und notiere die Zahl, gib die Kugel zurück, wähle eine andere Kugel und notiere wieder die Zahl, gib die Kugel zurück und wähle wieder eine Kugel. Dies ist dasselbe wie dreimal würfeln.