Das Rotationsvolumen

Wir besprechen, wie die Idee der Fläche als Summe von Balkenflächen erweitert werden kann, um Volumen von Körpern zu berechnen. Die Art von Körper, die wir besprechen werden, heissen Rotationskörper, weil sie durch Rotation (oder Drehung) einer Kurve $f$ um die $x$-Achse entstehen:

Die rotierende Kurve bildet die Oberfläche des Körpers. Die Formel zur Berechnung ihres Volumens von $a$ bis $b$ lautet

Beachte, dass die Funktion $f$ zuerst quadriert wird, was zu einer neuen Funktion führt ($f(x)\cdot f(x)$), und es ist diese neue Funktion, die wir integrieren müssen! Ein typischer Fehler ist, zuerst das Integral von $\int_a^b f(x)\, dx$ zu finden und dann das Ergebnis zu quadrieren - das ist aber falsch!

Example 1

Der Graph der Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ (für $0\leq x\leq 4$) wird um die $x$-Achse rotiert und bildet einen Rotationskörper. Zeichne den Körper und bestimmen dessen Volumen.

Solution

$V=\pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\, dx = \pi \int_0^4 x\, dx = \pi \cdot (\frac{1}{2}4^2-\frac{1}{2}0^2)=\underline{8\pi}$

Um zu verstehen, warum die Volumenformel richtig ist, bedecke die Fläche von $a$ bis $b$ unter dem Graphen von $f$ mit einer grossen Anzahl von sehr dünnen Balken der Breite $\Delta x$. Ein Balken an der Stelle $x$ wird die Höhe $f(x)$ haben. Wenn wir nun den Graphen von $f$ um die $x$-Achse drehen, drehen wir auch die Balken mit. Jeder Balken wird dann zu einer Scheibe, deren Breite die Breite des Balkens ist (also $\Delta x$), und deren Radius die Höhe des Balkens ist (also $f(x)$). Der Balken an der Position $x$ hat also das Volumen

wobei

der Radius ist (siehe Bild unten).

Das Volumen des Körpers ist also ungefähr die Summe der Scheibenvolumen:

Je kleiner $\Delta x$, desto bester die Approximation. Für $\Delta x\rightarrow 0$ bekommen wir also in der Tat die obige eingerahmte Formel.

Folgendes 3D-Modell visualisert das Rotiationsvolumen. Die Grenzen, wie auch den Funktionswert können beliebig geändert werden:

Hier sind noch zwei Aufgaben dazu.

Exercise 1

F1

Der Graph der Funktion $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ (für $1\leq x\leq u$) wird um die $x$-Achse rotiert um einen Rotationskörper zu bilden. Finde den Wert $u$ so, dass das Volume des Rotationskörpers $V=20$ beträgt.

F2

Beweise, dass das Volumen einer Kugel mit Radius $r$ durch die Formel

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

gegeben ist.

Hint: Find the function equation of a half-circle of radius $r$.

Solution

A1

Laut Formel gilt

$$\begin{array}{lll} V &=&\pi \int_1^u \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\, dx \\ &=& \pi \int_1^u \frac{1}{x}\, dx \\ &=& \pi (\ln(u)-\ln(1))=20\end{array}$$

Da $\ln(1)=0$, müssen wir die folgende Gleichung lösen:

$$\ln(u)=\frac{20}{\pi} \rightarrow u=e^{20/\pi}=\underline{581.84...}$$

A2

Die Kugel mit dem Radius $r$ ist ein Rotationskörper, der sich durch Rotation des Halbkreises mit dem Radius $r$ um die $x$-Achse ergibt. Um die Funktionsgleichung $f$ des Halbkreises zu finden, sei $f(x)$ die Höhe des Halbkreises bei $x$ (siehe Abbildung).

Mit Pythagoras folgt

$$f(x)^2+x^2=r^2 \rightarrow f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$$

Und somit gilt

$$f(x)^2=(\sqrt{r^2-x^2})^2=r^2-x^2$$

Die Stammfunktion ist

$$F(x)=r^2 x-\frac{1}{3}x^3$$

Die Hälfte des Volumens ist

$$\begin{array}{lll} V_{1/2}&=&\pi \int_0^r (\sqrt{r^2-x^2})^2\, dx \\ &=& \pi (F(r)-F(0)) \\ &= &\pi(r^2 r -\frac{1}{3} r^3)\\ &=& \pi \frac{2}{3}r^3\end{array}$$

und das ganze Volumen ist somit $\frac{4}{3}\pi r^3$.