Die Fläche zwischen Kurven

Bis jetzt können wir die Fläche zwischen einer Kurve und der $x$ -Achse bestimmen. Wir verallgemeinern dies nun und bestimmen die Fläche zwischen zwei Kurven. Betrachten wir zum Beispiel die zwei Funktionen

f(x)=3.5-x^2

und

g(x)=0.5x+1.5

Wie gross ist die Fläche $A$ des Bereichs, der von diesen beiden Funktionen eingeschlossen wird (schattierte Fläche in der Abbildung unten)?

Die Idee ist einfach, wir bestimmen die Fläche unter der oberen Kurve (siehe Abbildung unten, links): und subtrahieren davon die Fläche unter der unteren Kurve (siehe Abbildung unten, rechts):

\begin{array}{lll} A &=& A_{oben}-A_{unten}\\ &= & \int_a^b f(x)\, dx - \int_a^b g(x)\, dx\\ &=& \int_a^b ( f(x)-g(x) )\, dx \end{array}

Der letzte Schritt kann leicht mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung gezeigt werden kann (siehe Übung unten).

Exercise 1

Zeige, dass das folgende für zwei Funktionen $f$ and $g$ gilt:

\int_a^b f(x)\, dx - \int_a^b g(x)\, dx = \int_a^b ( f(x)-g(x) )\, dx

Solution

Es sei $F$ die Stammfunktion von $f$ , und $G$ die Stammfunktion von $g$ . Somit ist $H=F-G$ die Stammfunktion von $h=f-g$ :

\begin{array}{ccc} F & G & H=F-G\\ \downarrow ^\prime & \downarrow ^\prime & \downarrow ^\prime \\ f & g & h=f-g \end{array}

Wegen

\int_a^b f(x)\, dx = F(b)-F(a)

\int_a^b g(x)\, dx = G(b)-G(a)

\int_a^b h(x)\, dx = H(b)-H(a)

haben wir nun

\begin{array}{lll} \int_a^b f(x)\, dx - \int_a^b g(x)\, dx &=& (F(b)-F(a))-(G(b)-G(a)\\ &=& F(b)-F(a)-G(b)+G(a)\\ &=& (\underbrace{F(b)-G(b)}_{=H(b)})-(\underbrace{F(a)-G(a)}_{=H(a)})\\ &=& H(b)-H(a)\\ &=& \int_a^b h(x)\, dx \\ &=& \int_a^b ( f(x)-g(x) )\, dx \end{array}

Und somit haben wir den Beweis erbracht.

Exercise 2

Bestimme die Fläche $A$ zwischen den beiden Funktionen $f(x)=3.5-x^2$ und $g(x)=0.5x+1.5$ im obigen Beispiel.

Solution

Um die Integrationsgrenzen $a$ und $b$ zu finden, müssen wir die $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte zwischen den Graphen $f$ und $g$ bestimmen. Finde also $x$ mit

\begin{array}{lll} f(x) & = &g(x) \\ 3.5-x^2 & =& 0.5x+1.5\\ -x^2-0.5x+2 & =& 0\\ \end{array}

Durch Anwendung der Mitternachtsformel erhalten wir $a=-1.7$ und $b=1.2$ . We benötigen nun die Stammfunktion von

h(x)=f(x)-g(x)=3.5-x^2-0.5x-1.5

und dies ist

H(x)=3.5x-\frac{1}{3}x^3-0.25 x^2-1.5x

Die Fläche der schattierten Region is somit

\begin{array}{lll} A &=& A_{oben}-A_{unten}\\ &=&\int_{-1.7}^{1.2} (f(x)-g(x))\, dx\\ &=& H(1.2)- H(-1.7))\\ &=&\underline{3.94} \end{array}

Was aber, wenn der Bereich zwischen den Kurven wie im Beispiel unten links gegeben ist? Wir können naiv vorgehen und die Region in kleinere Unterregionen aufteilen, deren Flächen wir mit Hilfe von Integralen bestimmen können. Das funktioniert zwar, ist aber aufwendig. Es gibt einen viel einfacheren Weg (siehe die Abbildung unten):

Recipe 1

Verschiebe die beiden Graphen (und damit den Bereich) um die gleiche Konstante $c$ nach oben, wobei $c$ gross genug sein muss, damit der gesamte Bereich oberhalb der $x$ -Achse liegt. Siehe dazu die Abbildung unten rechts. Der Flächeninhalt verändert sich dadurch nicht, wir können nun aber vorgehen wir schon oben besprochen:

Die um $c$ nach oben verschobenen Funktionen sind

\begin{array}{lll} h(x) &=& f(x)+c\\ k(x) &=& g(x)+c \end{array}

Für den verschobenen Flächeninhalt haben wir nun

\begin{array}{lll} A^{shifted} &=& \int_{a}^{b} (h(x)-k(x))\, dx\\ &=& \int_{a}^{b} (f(x)+c-g(x)-c)\, dx\\ &=& \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx \end{array}

Es fällt auf, dass die Konstante $c$ weg fällt. Mit anderen Worten, wir müssen eigentlich gar nicht verschieben. Wir können also immer die folgende Formel zur Berechnung der Fläche $A$ zwischen zwei Funktionen $f_{oben}$ und $f_{unten}$ verwenden:

\boxed{A = \int_a^b (f_{oben}(x)-f_{unten}(x))\, dx}

Exercise 3

F1

Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Funktionen $f(x)=x^2-0.5$ and $g(x)=1.5-x^2$ .

F2

Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Funktionen $\sin(x)$ and $\cos(x)$ (siehe Abbildung unten).

F3

Betrachte die zwei Polynome vom Grad $2$ (unten dargestellt). Bestimme die von diesen beiden Funktionen eingeschlossene Fläche.

Solution

A1

Es ist $f_{oben}(x)=1.5-x^2$ und $f_{unten}(x)=x^2-0.5$ . Sie schneiden sich bei $a=-1$ und $b=1$ .

Wir müssen die Stammfunktion von

h(x)=f_{oben}(x)-f_{unten}(x)=1.5-x^2-x^2+0.5=2-2x^2

bestimmen, welche gegeben ist durch

H(x)=2x-\frac{2}{3}x^3

Wir haben also

\begin{array}{lll} A &=& \int_{-1}^1 (f_{oben}(x)-f_{unten}(x))\, dx \\ &=& \int_{-1}^1 (2-2x^2)\, dx\\ &=& H(1)-H(-1)\\ &=&(2-\frac{2}{3})-(-2+\frac{2}{3})\\ &=&\underline{\frac{8}{3}} \end{array}

A2

Finde zuerst die Schnittpunkte zwischen den Graphen. Thus, find $x$ with

\begin{array}{lll} \sin(x) &=&\cos(x) \quad \vert :\cos(x)\\ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} &=& 1\\ \tan(x) &=& 1\\ x &=& \tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4} \end{array}

Der zweite Schnittpunkt müsste eigentlich aus Symmetriegründen bei $x=\frac{5\pi}{4}$ liegen. In der Tat, es ist schnell mit dem Taschenrechner überprüft, dass $\sin(\frac{5\pi}{4})=\cos(\frac{5\pi}{4})$ .

Mit $f_{oben}(x)=\sin(x)$ und $f_{unten}(x)=\cos(x)$ müssen wir nun die Stammfunktion von

h(x)=f_{oben}(x)-f_{unten}(x)=\sin(x)-\cos(x)

finden, welche gegeben ist durch

H(x)=-\cos(x)-\sin(x)

Es ist also

\begin{array}{lll} A &=&\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin(x)-\cos(x))\, dx \\ &=& H(\frac{5\pi}{4})-H(\frac{\pi}{4})\\ &=&=-\cos(\frac{5\pi}{4})-\sin(\frac{5\pi}{4})+\cos(\frac{\pi}{4})+\sin(\frac{\pi}{4})\\ &=&\underline{2\sqrt{2}} \end{array}

A3

Wir müssen zunächst die Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ finden. Da $f$ ein Polynom vom Grad $2$ ist und die Nullstellen $-1$ und $3$ hat, schreiben wir
$f(x)=a(x-(-1))(x-3)=a(x+1)(x-3)$
Wegen $f(1)=2$ folgt $a(2)(-2)=-4a=2$ und somit $a=-\frac{1}{2}$ . Wir haben also
$\begin{array}{lll} f(x) &=& -\frac{1}{2}(x+1)(x-3)\\ &=&\underline{-\frac{1}{2}x^2+x+1.5} \end{array}$
Da $g$ ebenfalls ein Polynom 2. Grades ist, und die Nullstellen $-2$ und $3$ besitzt, machen wir den Ansatz
$g(x)=a(x-(-2))(x-3)=a(x+2)(x-3)$
Wegen $g(1)=-1$ folgt $a(3)(-2)=6a=1$ und somit $a=\frac{1}{6}$ . Wir haben also
$\begin{array}{lll} g(x) &=& \frac{1}{6}(x+2)(x-3)\\ &=&\underline{\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{6}x-1} \end{array}$
Wir müssen die Schnittpunkte zwischen den Graphen von $f$ und $g$ finden. Finde also $x$ mit
$\begin{array}{lll} f(x) &=& g(x)\\ -\frac{1}{2}x^2+x+1.5 &=& \frac{1}{6}x^2-\frac{1}{6}x-1\\ -\frac{4}{6}x^2+\frac{7}{6}x+2.5 &=& 0 \quad \vert \cdot(-6)\\ 4x^2-7x-15 &=& 0 \end{array}$
Mit der Mitternachtsformel folgt $x_1=-1.25$ und $x_2=3$ .
Mit
$f_{upper}(x)=f(x)=-\frac{1}{2}x^2+x+1.5$
und
$f_{lower}(x)=g(x)=\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{6}x-1$
haben wir
$\begin{array}{lll} h(x)&=&f_{upper}(x)-f_{lower}(x)\\ &= & -\frac{1}{2}x^2+x+1.5-\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{6}x+1\\ &=& -\frac{2}{3}x^2+\frac{7}{6}x+2.5 \end{array}$
Die Stammfunktion ist
$H(x)=-\frac{2}{9}x^3+\frac{7}{12}x^2+2.5x$
Die Fläche ist somit
$\begin{array}{lll} A &=& \int_{-1.25}^{3} (f_{upper}(x)-f_{lower}(x))\, dx\\ &=& \int_{-1.25}^{3} (-\frac{2}{3}x^2+\frac{7}{6}x+2.5)\, dx\\ &=& H(3)-H(-1.25)\\ &=&6.75-(-1.779)\\ &=&\underline{\underline{8.5295}}\\ \end{array}$