Fakultät

Wir definieren eine neue Operation für Zahlen, die Fakultät. Sie kommt oft vor in der Wahrscheinlichkeit und der Statistik.

Definition 1

Die Fakultät einer natürlichen Zahl nn, geschrieben als n!n! (sage "n Fakulät"), ist definiert als

n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅2⋅1n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 2\cdot 1

Daher, wir multiplizieren nn mit allen natürlichen Zahlen, die kleiner sind als nn. Ebenfalls definieren wir noch die Fakultät von 00 als

0!=10!=1

Wir haben also

0!=11!=12!=2⋅1=23!=3⋅2⋅1=64!=4⋅3⋅2⋅1=245!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120...\begin{array}{lll} 0! &=& 1\\ 1! &=& 1\\ 2! &=& 2\cdot 1 &=& 2\\ 3! &=& 3\cdot 2\cdot 1 &=& 6\\ 4! &=& 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 &=& 24\\ 5! &=& 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 &=& 120\\ ... \end{array}
Exercise 1

  1. Bestimme die folgenden Werte ohne Taschenrechner:

    1. 6!6!
    2. (4−2)!(4-2)!
    3. 5⋅4!5\cdot 4!
    4. 8!⋅10!8! \cdot 10! Mit Taschenrechner, brauche die !\boxed{!}-Taste

  2. Schreibe als Fakultät: 1000⋅999!1000\cdot 999!

  3. Schreibe ohne Bruchstrich: 100!5!\frac{100!}{5!}

Solution
  1. Es ist
    1. 6!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=720‾6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = \underline{720}
    2. (4−2)!=2!=2⋅1=2‾(4-2)!=2!=2\cdot 1 =\underline{2}
    3. 5⋅4!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120‾5\cdot 4! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = \underline{120}
    4. 8!⋅10!=146 313 216 000‾8! \cdot 10! = \underline{146\,313\,216\,000}
  2. 1000⋅999!=1000⋅999⋅998⋅...⋅2⋅1=1000!‾1000\cdot 999!=1000\cdot 999\cdot 998\cdot ...\cdot 2\cdot 1 = \underline{1000!}
  3. 100!5!=100⋅99⋅...⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅15⋅4⋅3⋅2⋅1=100⋅99⋅...7⋅6‾\frac{100!}{5!}=\frac{100\cdot 99\cdot ...\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5\cdot4\cdot 3 \cdot 2\cdot 1}= \underline{100\cdot 99\cdot ... 7\cdot 6}